热统

18
§7.2 理想气体的物态方程
一、理想气体
气体分子之间的相互作用势能被忽略。
1 2 2 ( px p2 p y z) 2m

r3
二、配分函数
Z1
e

2m
2 2 ( px p2 y pz )
dxdydzdpx dp y dpz h3

1 3 h
dxdydz e
单位体积内在速度区间 v x v x dvx , v y v y dvy , vz vz dvz 的粒子数
2 2 ( vx v2 m 3/ 2 2m y vz ) f (vx , v y , vz )dvx dv y dvz n( ) e kT dvx dv y dvz 2 kT
l 0 l 0

令
Z1 l e l
l 0

叫配分函数
则
N Z1e

e
热统

N Z1

9
二、热力学量
1. 内能
U l l e l
l 0

e (

l 0

l e )
l
N Z1 l n Z1 ( ) N Z1

p 2 x
2m
dpx e
p 2 y
2m
dpy e

2 pz
2m
dpz
2m 3 / 2 Z1 V ( 2 ) h
热统

19
三、物态方程
N ln Z1 p V N 3 2m [lnV ln( 2 )] V 2 h
NkT p V
四、内能
3 l n Z1 3 2m U N N [l nV l n ( 2 )] U NkT 2 2 h
N ln Z1 p V
l al 功 Ydy dy y l
广义力统计表达式
热统
al d l
l

11
3. 熵
由 得
dQ dU Ydy dS T T
dQ dU Ydy
ln Z1 1 ln Z1 Nd ( ) N dy y
2. 功
l
统计表达式
al '
dU dW dQ
l

1
能级不变 分布变
al
1
0
l'
0

U al l
l 0
al
1'
能级变 分布不变
0'
热统

10
dU al d l l dal
l 0 l 0


能级 l 的值，是力学方程 在指定的边界条件下的解。 力学系统不变，方程不变， 能级变，只有边界条件变。 改变边界，即做功。
玻尔兹曼关系
热统
l ln
l
al

14
S k ln
说明：1、统计意义，熵——混乱度——微观状态数 2、满足经典极限条件的不可分辨（玻色，费米）系统
l n Z1 U N
对于玻色、费米分布
1 ln Z1 Y N y
N ln Z1 p V
e

al
l l e r h0
N l l e Z1 h0r
N Z1
al
不含有
r h0
ln Z1 U al l N l
ln Z1 S Nk(ln Z1 ) k ln N !
与h0有关
与h0无关
l 1 ln Z1 Y al N y l y
热统

22
在速度区间 v x v x dvx , v y v y dvy , vz vz dvz 的粒子数
2 2 ( vx v2 m 3/ 2 2m y vz ) f (vx , v y , vz )dvx dv y dvz N ( ) e kT dvx dv y dvz 2 kT
e
l
l
al l e l
al
l
1
热统
F .D
l ! l al !(l al )!

6
al
e
l
l
1
e 1

al l e l
玻色分布和费米分布 趋向于玻耳兹曼分布。
满足经典极限条件时，玻色（费米）系统中的近独立粒子在 平衡态遵从玻尔兹曼分布。
k[ N ln N N U ]
N al
l 0
k[ N ln N ( l )al ]
l
U al l
l 0
k[ N ln N al lnl al lnal ]
l l
al l e l
S k ln
出发点：
l l al e 3 h
热统
1 2 2 ( px p2 p y z) 2m

21
二、速度分布率
al
是能量在 l 粒子数目 ，求动量在
px px dpx , p y p y dpy , pz pz dpz 中粒子数目，对空间积分
B.E .
M .B. F . D. N!
ln Z1 S Nk(ln Z1 ) k ln N !
热统
M .B S k ln N!

15
自由能
对于定域系统
F U TS
N ln Z1 ln Z1 TNk(ln Z1 )
即 麦克斯韦速度分布率
x y z x
n
N V
z
为单位体积内粒子数
f (v , v , v )dv dv dv
y
热统
n

23
三、速率分布
速率与方向无关，故需对上式进行角度积分。


f (v, , )v 2 sin dvd d
mv 2 2 kT
m 3/ 2 4 N ( ) e 2 kT
热统

2
4、与经典描述之间的关系 对于宏观大小的容积， 是很小的量，量子描述趋近于
经典描述。
以一维自由粒子为例，其相空间的体积元为 xp 。
p
p p
h 由于不确定关系， xp 。 即在体积元 h 内的各运动状态， 它们的差别都在测量误差之内， 即被认为是相同的！
一个量子态对应粒子相空间的
等式两边同乘β：
(dU Ydy) Nd (
ln Z1 ln Z1 ) N dy y
l fl y
而
Z1 l e l
l 0

且
所以
Z1 Z1 ( , y )
热统

12
求全微分 之前求得
d ln Z1
ln Z1 ln Z1 d dy y
NkT ln Z1
满足经典极限条件的玻色、费米系统
F U TS
N ln Z1 ln Z1 TNk (ln Z1 ) kT ln N !
NkT ln Z1 kT ln N !
热统

16
四、经典统计表达式
所有热力学量都可以通过配分函数表示。 经典表达式
l l al e 3 h
e

N Z1
Z1 V (
2m 3 / 2 ) 2 h

al

V
dxdydzdp x dpy dpz h
1
3
e
l
N 2m 3 / 2 V( 2 ) h
2 2 ( p2 1 x p y pz ) 3/ 2 N( ) e 2 mkT dpx dpy dpz 2mkT
l 每个粒子受力：f l y
能级变 分布不变
外界对系 统的力
能级不变 分布变
Y
l
l al l l e l y y l
e (
1 l e ) l y l
N 1 1 ln Z1 Z1 N Z1 y y
系统的微观状态确定，每个粒子的微观状态确定。
Nr 个广义坐标和 Nr 个广义动量都确定。
热统

4
几何表示： μ –空间 N 个代表点。
玻耳兹曼分布、玻耳兹曼粒子。 3、 量子系统的微观状态
粒子不可区分，只知道几个粒子在哪个量 子态，不知道哪几个粒子在这个量子态。
泡利不相容原理： 自旋半整数的粒子，在一个量子态 不可能有一个以上的粒子。
经典极限条件
e 1
3 2

e

N Z1
V 2 mkT a e N h2
1
经典条件下： 1、N/V愈小，即气体愈稀薄 2、温度愈高
热统
3、分子的质量愈大

20
§7.3 麦克斯韦速度分布率
一、思路
l
vl

1
al
v1

v0
bl ?
0
能量分布
速度分布
(dU Ydy) Nd (
ln Z1 ln Z1 ) N dy y
ln Z1 d ( N ln Z1 N )
由 得到
dQ dU Ydy dS T T
ln Z1 N dS d (ln Z1 ) T ln Z1 Nkd (ln Z1 )