二次函数与图形面积
适用学科数学适用年级九年级
适用区域全国课时时长（分钟）120分钟
知识点二次函数面积问题
教学目标通过数形结合，讨论二次函数面积问题
教学重点充分考虑到二次函数中“数”的规律和“形”的特征，运用好数形结合；
对于各种可能的情况我们常常要运用分类讨论逐一加以研究
教学难点运用数学模型，利用“构造法”达到解决问题
教学过程
一、复习预习
求面积常用的方法
a.直接法
b.简单的组合
c.面积不变同底等高或等底等高的转换
d.相似
e.三角函数
f.找面积的最大最小值利用二次函数的性质
二、知识讲解
考点/易错点1
已知三角形两个顶点是二次函数与x轴的交点，第三个顶点是抛物线一侧上的动点，求三角形面积最大
考点/易错点2
已知三角形两个顶点是二次函数与x轴的交点，第三个顶点是抛物线上一动点，求三角形面积等于定值的动点坐标。
考点/易错点3
二次函数中所围成的四边形面积求法：
三、例题精析
例题1【题干】已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，
（1）求二次函数的解析式；
（2）设此二次函数的顶点为P，求△ABP的面积．
【例题2】【题干】已知二次函数y=x2-8x+15的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C．请
结合这个函数的图象解决下列问题：
（1）求△ABC的面积；
（2）点P在这个二次函数的图象上运动，能使△PAB的面积等于1个平方单位的P点共有多少个？请直接写出满足条件的P点坐标；
（3）在（2）中，使△PAB的面积等于2个平方单位的P点是否存在？如果存在，写出P点的个数；如果不存在，请说明理由
【例题3】【题干】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、
B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
四、课堂运用
【基础】1.二次函数的图象经过点A（0，-3），B（2，-3），C（-1，0）．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点P坐标；
（3）求该函数图象与X轴的交点和顶点所围成的三角形的面积
【巩固】抛物线223y x x =--+与x 轴相交于点A 和点B,与y 轴交于点C.
(1)求点A 、点B 和点C 的坐标.
(2)求直线AC 的解析式.
(3)设点M 是第二象限内抛物线上的一点,且MAB S ∆=6,求点M 的坐标.
(4)若点P 在线段BA 上以每秒1个单位长度的速度从A 运动(不与B,A 重合),同时,点Q 在射线AC 上以每秒2个单位长度的速度从A 向C 运动.设运动的时间为t 秒,请求出△APQ 的面积S 与t 的函数关系式,并求出当t 为何值时, △APQ 的面积最大,最大面积是多少?
【拔高】
1. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A (4,0)-，B (0,4)-，C (2,0)三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．
（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y x =-上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．
课程小结
解决这类试题，常常需要根据题设求出某些函数的解析式，以利于其后问题的解答，因此首先要考虑运用 待定系数法求出解析式 ；其次，要充分考虑到问题中“数”的规律和“形”的特征，运用好 数形结合 ；对于面积的问题，还要尽可能综合考虑运用数学模型，利用“构造法”达到解决问题的目的。
当然，对于复杂的图形或图象，“分离图形法”仍然是解决这些问题的不变法宝！
课后作业
【基础】 A B
C M y x O
1.二次函数y=x2+2x-3与两坐标轴的三个交点确定的三角形的面积是（）
【巩固】
1.一次函数y=kx+m的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于点A（-2，-1）和点B（6，
3）．
（1）求一次函数解析式，
（2）若二次函数开口向上且与y轴负半轴交于C点，△ABC的面积等于12，求二次函数的关系式
【拔高】
1.已知抛物线y=-ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（-1，0），与y轴正半轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）当∠ACB=90°时，求抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得△ABM和△ABC的面积相等（△ABM与△ABC重合除外）？若存在，请直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由．
（4）在第一象限内，抛物线上是否存在点N，使得△BCN的面积最大？若存在，求出这个最大值和点N坐标；若不存在，请说明理由．。