马鞍山市2014―2015学年度第一学期期中素质测试
数学必修 ① 试题 答案
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分.）
13. [4,5)(5,)+∞ 14. 7- 15. 10 16. (,4][10,)-∞+∞ 17. ①③④．
三、解答题：（本题共5小题，共44分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
18. （本小题满分8分）
已知集合{|240}A x x =-<，{|05}B x x =≤<，全集U =R ．
求：（Ⅰ）A B ； （Ⅱ）()U A B ð．
【命题意图】考查集合的表示法以及集合的交、并、补运算，简单题．
【答案】（Ⅰ）{|2}A x x =<,{}|5A B x x =<；
……4分 （Ⅱ）(){|05}U B x x x =<≥或ð，(){|0}U A B x x =<ð.
……8分
19. （本题满分8分）
求下列各式的值：
（Ⅰ）1lg lg 254-； （Ⅱ）1212[(1](1--+．
【命题意图】考查指数、对数的基本运算，简单题．
【答案】
（Ⅰ）()1lg lg 25lg 4lg 25lg 425lg10024
-=--=-⨯=-=-； ……4分
（Ⅱ）1
212[(1](111)0
--==-=． ……8分
20. （本小题满分9分）
已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设()()()h x f x g x =-.
（Ⅰ）求函数()h x 的定义域；
（Ⅱ）判断函数()h x 的奇偶性，并说明理由；
（Ⅲ）解关于x 的不等式()0h x >.
【命题意图】考查函数性质的综合应用，中档题．
【答案】
（Ⅰ）()()()log (1)log (1)a a h x f x g x x x =-=+--，由1010x x +>⎧⎨->⎩
，解得11x -<<，所以函数()h x 的定义域为(1,1)-； ……3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知定义域关于原点对称，
()log (1)log (1)()a a h x x x h x -=--+=-，所以()h x 为奇函数； ……6分 （Ⅲ）由()()()0h x f x g x =->得()()f x g x >，即log (1)log (1)a a x x +>-，
当1a >时，则有1111x x x +>-⎧⎨-<<⎩
，解得()0,1x ∈； 当01a <<时，则有1111x x x +<-⎧⎨
-<<⎩，解得()1,0x ∈-. ……………………9分
21. （本小题满分9分） 已知函数()a f x x x
=+，且(1)10f =． （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）试判断函数()f x 在[3,)+∞上的单调性，并用定义加以证明；
（Ⅲ）求函数()f x 在区间[3,6]上的最大值与最小值．
【命题意图】考查函数单调性的判定以及利用单调性求最值，中档题．
【答案】（Ⅰ）由(1)110f a =+=得9a =． ……2分 （Ⅱ）9()f x x x
=+在[3,)+∞上是增函数，证明如下： ……4分 任取12,[3,)x x ∈+∞，且12x x <，
1212121212999()()()()()1f x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=+-+=-- ⎪⎝⎭
， ∵123x x ≤<，∴120x x -<，129x x >，12910x x -
>， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，
所以()f x 在[3,)+∞上是增函数． ……7分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，()f x 在[3,6]上是单调递增，所以最大值为15(6)2
f =，最小值为(3)6f =. ……9分
22. （本小题满分10分）
设函数()(,,)n f x x bx c n N b c R +=++∈∈
（Ⅰ）若2n =时，()f x 为偶函数，且函数()f x 的值域为[3,)+∞，求()f x 的解析式；
（Ⅱ）设2n ≥，1,1b c ==-，证明：()f x 在区间1(,1)2
内存在唯一的零点； （Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，当3n =时，这个零点更靠近12
与1中的哪一个值？ 【命题意图】考查函数的基本性质与二次函数的基础知识，以及函数零点存在性定理的考查，较难题．
【答案】
（Ⅰ）当2n =时，又()f x 为偶函数，所以有()()f x f x -=，从而可求出0b =， 此时2()f x x c =+ ……2分
结合值域为[3,)+∞可知3c =.故解析式为2()3f x x =+；
……3分 （Ⅱ）()1n f x x x =+-，因为11111()()1()022222
n n f =+-=-<，(1)11110n f =+-=>，所以1()(1)02f f ⋅<，所以()f x 在区间1(,1)2内存在零点. ……5分
由于函数(2)n y x n N n +=∈≥，和1y x =-在1(,1)2内单调递增，所以()1n f x x x =+-在1(,1)2
内单调递增，从而()f x 在区间1(,1)2内存在唯一的零点. ……7分
（Ⅲ）当3n =时，3()1f x x x =+-，结合（Ⅱ）的结论可知，()f x 在区间1(,1)2
内存在唯一的零点，又因为3111()()10222f =+-<，(1)10f =>，3333()()10444
f =+->，所以这个零点在区间13(,)24内，故这个零点更靠近12. ……10分。