m n
有什么规律？
试验次数比较小时，频率 m 波动比较大，但试验次数较大
时，频率
m n
比较稳定。
n
随着试验次数的增大，频率 m 稳定在0.5的附近。
n
探究一：通过频率估计概率
活动3
m
掷图钉，观察随着抛掷次数的增加，“针尖向上”的频率 n 的变化趋势。
可能有同学会觉得老师用大量重复试验的方法得到掷一枚硬币 出现“正面向上”的概率未免也太大费周章了，而且最终还只是一 个概率的近似值！
1 上的频数
50 300 800 3200 6000 9999 31 135 408 1580 2980 5006
出现正面朝 20% 62% 45% 51% 49.4% 49.7% 50.1%
上的频率
（1）由这张频数和频率表可知机器人抛掷完5次时，得到_______次正面朝上，
正面朝上出现的频率是________。
解：A.掷两次硬币，偶然性较大，不一定是一次正面朝上，一次反面朝上， 故A选项错误； B.每抛掷硬币两次偶然性较大，不一定有一次反面朝上，故B选项错误； C.连续抛掷硬币200次，试验次数较大，会出现100次左右的反面朝上，但也 不能确定是100次，故C选项错误； D.大量反复掷硬币，出现反面朝上的频率应该会稳定在0.5的附近，即平均每 两次会出现一次反面朝上，故D选项正确。
（2）概率与频率之间是有区别和联系的： ①区别：频率是个试验值，试验结果不相同频率也就不相同，频率只能 近似地反映事件发生的可能性的大小；而概率是一个理论值，是由事件 的本质决定的，其大小是个固定值，概率能精确的反映事件发生的可能 性的大小。
探究一：通过频率估计概率
②联系：可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估 计它的概率。
（3）用试验法通过频率估计概率的方法可以不受“各种结果出现的 可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大。
探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用
活动1 基础性例题
例1：一个袋子中有两个黄球，三个白球，它们除颜色外均相同， 小明随机从袋子中摸出一个球，恰好摸到了一个白球，则下列说法正确 的是（ ） A.小明从袋子中取出白球的概率是1 B.小明从袋子中取出黄球的概率是0 C.这次试验中，小明取出白球的频率是1 D.由这次试验的频率可以去估计取出白球的概率是1
【思路点拨】试验次数较大时的频率具有稳定性。
探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用
练习：一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的 反面是平的。将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也 可能是“兵”字面朝下。由于棋子的两面不均匀，为了估计”兵”字面朝上 的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如下表：
探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用
解：（1）∵试验总次数为40，而“兵”字面朝上的频率为0.45， ∴“兵”字面朝上的频数＝40×0.45＝18。 又∵试验总次数为120，而“兵”字面朝上的频数为66， ∴“兵”字面朝上的频率＝66÷120＝0.55。
（2）观察表格中频率的变化趋势，随着试验次数的增加，“兵” 字面朝上的频率逐渐稳定在0.55的附近，因此估计“兵”字面朝上 的概率为0.55。
小华的说法错误，因为抛掷这种图钉，针尖着地的概率大约是 0.45，所以每抛掷100次这种图钉，只能说大约出现45次针尖着地，不 能说一定是45次。
探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用
活动2 提升型例题
例1：下表是某机器人做9999次“ 抛硬币”游戏时记录下的出现正面
朝上的频数和频率。
抛掷次数现在我们从中抽选出掷硬币的方法。
为什么要用掷硬币的方法呢？ 掷硬币公平，能保证小强和小明得到球票的可能性一样大。
探究一：通过频率估计概率
用掷硬币的方法分配球票是一个随机事件，尽管事先不能 确定结果是“正面向上”还是“反面向上”，但大家很容易感 受到这两种随机事件的发生的可能性是一样，各为0.5，所以对 于小强和小明来说这个方法是公平的。
探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用
解：（1）∵抛掷50次时，“针尖着地”的频数是23， ∴“针尖着地”的频率是5203 0.46 ； 又∵抛掷200次时，“针尖着地”的频数是89， ∴“针尖着地”的频率是 89 0.445 。
200
（2）小明的说法正确，因为根据表格中频率的变化趋势，当试验次 数增加时，频率稳定在0.45的附近，因此可以估计抛掷这种图钉，针 尖着地的概率大约是0.45；
但是由于60次试验次数较小，频率并不一定稳定在概率的附近，不能
直接将此时的频率当成概率，因此小颖的说法是错误的。
如果掷600次，虽然试验次数较大，但频率也只是稳定在概率
1 6
的附
近，约为100次，不一定正好是100次，因此小红的说法也是错误的。
【思路点拨】本题一定要弄清频率与概率的关系，理解它们的区别与联系： 频率不能简单等同于概率，但试验次数较大时，频率稳定在概率的附近， 因此可以用反复试验后的频率估计概率。
探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用
解：A.小明从袋子中取出白球的概率是 3 ，故A选项错误；
B.小明从袋子中取出黄球的概率是 2
5
，故B选项错误；
5
C.这次试验里，一共摸了1次球，恰好是白球，所以这次试验中，小明取出白
球的频率是1，故C选项正确；
D.仅进行了一次试验，试验次数太少，频率不能估计概率，故D选项错误。
【思路点拨】本题需理清频率与概率的关系，概率是一个理论值，是由事件 的本质决定的，其大小是个固定值；频率是个试验值，试验结果不相同频率 也就不相同。在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的 附近摆动，显示出一定的稳定性， 这个固定的数就是随机事件发生的概率， 因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的 概率。不能将频率、概率混为一谈。
m n
有什么规律？
试验次数比较小时，频率
m
m n
波动比较大，但试验次数较大
时，频率 n 比较稳定。
随着试验次数的增大，频率 m 稳定在…的附近。
n
探究一：通过频率估计概率
总结： （1）随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复 试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一 定的稳定性，这个固定的数就是随机事件发生的概率，因此我们可以通 过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率。
用频率估计概率
知识回顾
（1）在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个数，且 各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验 结果的方法，求随机事件的概率。
（2）我们常用列表和树状图两种方法列举试验的结果。
问题探究
探究一：通过频率估计概率
活动1 以旧引新
周末，在我市体育馆有一场精彩的篮球比赛，但是老师手里只有 一张票，作为篮球迷的小强和小明都想去，这样老师很为难。请大家 帮老师想一个公平的办法，来决定把这张票给谁。
谁都知道掷一枚硬币出现“正面向上”的概率为0.5，那么这种 用试验的方法求随机事件的概率还有什么优点呢？
探究一：通过频率估计概率
大家知道随机抛掷一枚图钉出现“针尖向上”的概率是多少 吗？
有的同学回答“针尖向上”概率为0.5，其实由于图钉不是 均匀物体，所以“针尖向上”和“针尖向下”两种事件的结果出 现的可能性不一样大。
但是，我们的直觉是可靠的吗？ 掷硬币出现“正面向上” 和“反面向上”的可能性真的是相等的吗？ 有什么方法可以验 证呢？
探究一：通过频率估计概率
活动2 大胆操作，探究新知
m
掷硬币，观察随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率 n 的变 化趋势。
课前，我们每个同学都进行了掷硬币的试验，并计算了“正面向 上”的频率，你有什么发现呢？
探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用
练习：已知抛一枚普通硬币掷得反面向上的概率为1 ，它表示（ ）
2
A.连续抛掷硬币两次，一定是一次正面朝上，一次反面朝上 B.每抛掷硬币两次，就一定有一次反面朝上 C.连续抛掷硬币200次，一定会出现100次反面朝上 D.大量反复掷硬币，平均每两次会出现一次反面朝上
（2）由这个频数和频率表可知机器人抛掷完9999次时，得到 次正面朝上，
正面朝上出现的频率约是
。
（3）观察上面表格中频率的变化趋势，你能发现什么？
探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用
解：（1）直接根据表格中的数据可知，机器人抛掷完5次时，有1次正 面朝上，正面朝上的频率是20%； （2）直接根据表格中的数据可知，机器人抛掷完9999次时，有5006次 正面朝上，正面朝上的频率是50.1%； （3）观察频率的变化趋势发现：当机器人抛掷次数较小时，出现正面 朝上的频率波动较大；当机器人抛掷次数较大时，出现正面朝上的频率 比较稳定，稳定在50%的附近。
探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用
例2：小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地 均匀的正方体）试验，她们共做了60次试验，试验的结果如下表：
朝上的点数 1 出现的次数 7
23 98
456 11 15 10
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率； （2）小颖说：“根据试验，一次试验中出现5点朝上的概率最大”。
你能想办法得到“针尖向上”的概率吗？
探究一：通过频率估计概率
类似抛掷硬币的活动，通过大量重复试验的频率估计“针尖向上”的概率。
抛掷次数n
50 100 150 200 250 300 350 400
“针尖向上”的频数m
m “针尖向上”的频率 n
根据数据生成折线统计图：
探究一：通过频率估计概率
随着试验次数的增加，“针尖向上”的频率