I A x 0.由 当1 1时, 解方程
1 1 1 1 0 1 I A 0 3 0 0 1 0 , 4 1 4 0 0 0 1 得基础解系 1 0 , 1 故1为对应于 1 1 的线性无关的特征向量 .
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算 A的特征多项式 I A;
2. 求特征方程 I A 0的全部根 1 , 2 ,, n , 就是 A的全部特征值 ;
3. 对于特征值 i , 求齐次方程组 i I A x 0 的基础解系 , 就是对应于 i 的线性无关的特征向量 .
矩阵P称为将A对角化的变换矩阵, P的每一列是A 的 特征向量,而对角矩阵的主对角元恰为A的特征值.

A的n个线性无关的特征向量1, 2, , n所组成 的 矩阵就是变换矩阵 P, 但要注意1, 2, , n的 排列 顺序必须与1, 2, , n的排列顺序相对应.
定理5.2.3
比例3更一般的结论：
若 是矩阵 A的特征值，是 A的属于的特征向 量，gx= asxs +as1xs1 + … + a1x + a0 为任一 多项式，试用特征值定义证明： g 是矩阵多项 式gA = asAs + as1As1 + … + a1A + a0I的特征 值， 仍是gA 的属于g 的特征向量。
2 A～B
A与B 均为n 阶方阵
性质5.2.1 若n阶矩阵A与B相似 , 则A与B的特征多 项式相同 , 从而A与B的特征值亦相同 .
证明 A与B相似 可逆阵P , 使得P AP B
1
I B P 1 I P P 1 AP P 1 I AP P 1 I A P I A .

dimV0nr0I A 0对应的线性无关的特征向量的个数
特别地: m 1时, dimV0 1.
注意 特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的， 一个特征值具有的特征向量不唯一； 但一个特征向量不能属于不同的特征值．
1 2 的特征向量,即有
因为, 如果设x同时是A的属于特征值1 , 2的
2 1 1 例1 设 A 0 2 0 , 求A的特征值与特征向量． 4 1 3 2 1 1 解 I A 0 2 0
4
1
2
3
( 1) 2
得A的特征值为 1 1, 2 3 2 （二重） .
可逆矩阵P称为把A变成B的 相似变换矩阵。
注：矩阵相似关系满足: (1) 反身性:A～A; (2) 对称性:若A ～ B则B ～ A; (3) 传递性:若A ～ B,B ～ C,则A PAQ P , Q 可逆
P 1 AP B A B r rB A A B
其中 trace( A) trA aii 称为 A的迹 .
i 1
n
因n阶矩阵A的 f A ( ) 为n次多项式，由代数学基 本定 理知，在复数域上 f A ( ) 可作因式分解： f A ( ) ( 1 )n1 ( 2 )n2 ...( k )nk , ni n 其中 i ( i 1,2,..., k )是 f A ( ) 的互异零点，即是 A的互 异特征值，称 ni 为特征值 i的(代数 )重数， 也称 i 是A 的ni重 特征值 .
n阶矩阵A可对角化的充要条件是
它的属于任一特征值的 特征子空间的维数等于 该特征值的重数，即若 f A ( ) ( 1 )n1 ( k )nk 其中i , i 1,2,, k互异, 则A可对角化当且仅当 dimVi ni , i 1,2,, k .
推论5.2.1 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不 相等，则 A 必可对角化，反之不一定成立。
例4
设 A是 n 阶方阵，其特征多项式为
f A I A ,
解
求 AT 的特征多项式 .
f AT I AT
I A
T
I A
f A
说明: A 和 AT 有相同的特征值。 但特征向量不一定相同。
特别地:对角矩阵
a11 0 0 a22 0 0
判别 A是否可对角化 :
(1)求出 A的互异特征值i 及重数 ni . ( 2)对于重数大于1的特征值i , 求出dimVi . dimVi n rank(i I A) ( 3)判别dimVi ni 是否都成立. 并由定理 5.2.3 得出结论。
6 0 4 例5 设A 3 5 0 ，A能否对角化？ 3 6 1
1 3 0 , 4
所以 2 , 3 为对应于 2 2 的线性无关的特征向量 .
1 1 0 例2 求矩阵 A 4 3 0 的特征值和特征向量 . 1 0 2
解
A的特征多项式为
1 I A
定义： 如果矩阵A相似于对角矩阵,就称A可对角化.
定理5.2.2 n阶矩阵A与对角矩阵相似 (即A能对角化 ) 的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量 .
设 1 , 2 ,, n 是 A的特征值， 1 , 2 ,, n 为与之对 应的线性无关的特征向量，若令P ( 1 , 2 ,, n ) , 则有 P 1AP diag1, 2, , n.
当2 3 2时, 解方程2 I Ax 0。由
4 1 1 4 1 1 2I A 0 0 0 0 0 0 , 4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
1 2 4 , 0
性质2 n阶矩阵设 A有且仅有n个特征值,其中 m重特征值以m个计.
i 1 k
性质3 设1 , 2 , , n为 A的n个特征值(i未必 互异),则
trA i
i 1
n
A i
i 1
n
注: 1 可用此性质验证所求的特征值是否正确;
2 A可逆 A 0 A的特征值均非零; 且若为可逆矩阵A的特征值,则1为A1的特征值.
0 0 ann
0 a 22 an2 0 0 a nn
三角形矩阵
a11 0 0
a12 a1n a 22 a 2 n 0 a nn
3 A不可逆 A 0 A有零特征值. 且 AX 0的基础解系即为属于零特征值的线性无关 的特征向量.
性质4 设 1 , 2 ,, s 是方阵 A的互异特征值，
1 , 2 ,, s 为与之对应的特征向量 ， 则 1 , 2 , , s
线性无关.
推论 设 1 , 2 , , s 是 A的互异的特征值， i 1 , i 2 , , ili 分别为属于 i 的线性无关的特征向 量 , 则 11 , ,1l1 , , s1 , , sls 也线性无关 .
Ax 1 x, Ax 2 x 1 x 2 x 1 2 x 0,
由于1 2 0, 则x 0, 与定义矛盾 .
§5.2 矩阵的对角化

1. 矩阵的对角化
1. 矩阵的对角化
定义5.2.1 设A,B为两个n阶矩阵.若有可逆矩阵 P,使得P 1AP B.则称A与B 相似，记作A～B.
§5.1 矩阵的特征值与特征向量

1.特征值与特征向量的概念与计算 2. 特征值与特征向量的性质
1. 特征值与特征向量的概念与计算
定义5.1.1 设A是n阶复(实)矩阵,若为复(实) 数,0是一复(实) n维向量,使得 A (0 )，
则称为A的特征值, 为A的属于的特征向量.
说明：
1 只有方阵才有特征值和特征向量; 2 特征向量是非零向量.
定义5.1.2
设A是n阶矩阵,的多项式 I A
称为A的特征多项式,并记为 fA I A. fA I A=0称为A的特征方程,特征方程的 根即为A的特征值. I A称为A的特征矩阵。
a11 a 21 a n1
它们的特征值均为主对角元 a11,a22,,ann .
2. 特征值与特征向量的性质
性质1 设 A aij是n阶矩阵，则
f A ( ) I A n trace ( A)n1 ... ( 1)n A ,
3 1 0 由 2I A 4 1 0 1 0 0
0 0
1 0 0 1 0
0 , 0
当 2 3 1 时 , 解方程 ( I A) x 0 , 2 1 0 1 0 I A 4 2 0 0 1 1 0 1 0 0
1 2 , 0
得基础解系
1 2 2 , 1
所以 2 是对应于 2 3 1 的线性无关的特征向量 .
例3 证明：若 是矩阵 A的特征值，是 A的属 于的特征向量，则m必为Am的特征值，这里m 为正整数. 证明
定义 设0是A的特征值, 称齐次线性方程组 ( 0 I A ) x 0 的解空间V0 为A的属于0的特征子空间. 说明：V 0 是A的属于 0的特征向量的全体再添 上 零向量构成的集合 . 定义 称特征子空间V0的维数dimV0为0的几何重数.
性质5 设0为A的m重特征值,则dimV0 m . 即特征值的几何重数不超过其代数重数.
定义 对方程 f x 0,若有x* 使得f x* 0,则称 x* 为方程 f x 0的根或函数f x的零点.特别是, 如果 函数f x能写成 f x x x* m gx且gx*0, m 1, 则称x*为f x 0的m重根,或为f x 0的m重 零点. 一重根m 1通常称为单根.