《常微分方程与泛函分析》
课程教学大纲
课程编号：72073
制定单位：统计学院
制定人（执笔人）：徐慧植
审核人：刘庆
制定（或修订）时间：2016年 8 月 31 日
江西财经大学教务处
《微分方程与泛函分析》课程教学大纲
一、课程总述
本课程大纲是以2015年统计学本科专业人才培养方案为依据编制的。

课程名称 微分方程与泛函分析 课程代码
72073
英文名称 Differential equation and functional analysis
课程性质 主干 先修课程 数学分析、高等代数
总学时数 48 周学时数 3 开课学院 统计学院 任课教师 徐慧植 编 写 人 徐慧植 编写时间 2016.08.31 课程负责人
刘庆
大纲主审人
刘庆
使用教材
王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松编，常微分方程，高等教育出版社
教学参考资料
[1]张棣主编，常微分方程，西北大学出版社 [2]叶彦谦编，常微分方程讲义，高等教育出版社
[3]王柔坏，伍卓群编，常微分方程讲义，人民教育出版社
[4]东北师范大学数学系微分方程教研室编，常微分方程，高等教育出版社
课程教学目的
通过该课程的学习,要使学生系统地获得常微分方程的基本知识、基本理论，培养和训练学生运算技能及解决问题的能力；要求学生具有熟练的计算推导能力，逻辑推理能力，空间想象能力及综合运用所学知识分析和解决问题的能力；同时为学习后继课程奠定必要的基础。

课程教学要求
通过该课程的学习,要使学生系统地获得常微分方程的基本知识、 基本理论，掌握一阶、二阶微分方程胡解法及其应用。

本课程的重点和难点
一阶微分方程解的存在定、高阶微分方程、线性微分方程组
课程考试
院考，闭卷，平时成绩20%，期末成绩80%
二、教学时数分配
教学时数分配章目教学内容学时
实验（上
课堂讲授
机）
第一章
绪论 2 2
第二章
一阶方程的初等解法10 10
第三章一阶微分方程解的存在定理
10 10
第四章高阶微分方程
10 10
第五章线性微分方程组
12 12
第六章
非线性微分方程和稳定性（选学内容） 4 4
合计48
三、单元教学目的、教学重难点和内容设置
一、基本概念
课程内容
微分方程及微分方程解的概念及其表示式。

基本要求
1、理解微分方程特别是常微分方程的概念，熟悉微分方程的表示形式。

2、理解并掌握常微分方程的解、通解及满足初值条件的特解及其表示方法。

3、了解一阶常微分方程初值问题及其几何意义。

二、初等积分法
课程内容
分离变量方程和可化为分离变量的方程。

一阶线性方程和可化为一阶线性方程的方程。

恰当方程和积分因子。

一阶隐式方程。

基本要求
1、熟练掌握分离变量方程及齐次方程的求解方法。

了解可化为分离变量方程的类型。

2、熟练掌握一阶线性方程及迫努利（Bernoulli）方程的求解方法。

掌握常数变易法的基本原理。

理解一阶线性方程解的结构。

了解黎卡提（Riccati）方程及特定条件下的求解方法。

3、熟练掌握恰当方程的判别条件及求解方法。

掌握寻求积分因子的基本方法。

4、熟练掌握就y或x解出的一阶隐式方程的求解方法。

3
5、熟练掌握不显含x或y的一阶隐式方程的求解方法。

了解奇解的意义。

6、会用所学方法解决综合问题。

三、基本理论
课程内容
一阶方程解的存在唯一性定理及皮卡(Picard)逐步逼近法。

解的延拓定理。

解对初值的连续性与可微性定理。

高阶线性方程解的存在唯一性定理。

线性方程组解的存在唯一性定理。

基本要求
1、理解一阶方程解的存在唯一性定理，掌握用皮卡(Picard)逐步逼近法证明解的存在唯一性定理的基本原理和方法。

2、理解解的延拓定理及其意义。

3、理解解对初值的连续性与可微性定理及其意义。

4、理解高阶线性方程解的存在唯一性定理，注意定理的条件及解的存在区间。

5、理解线性方程组解的存在唯一性定理，注意定理的条件及解的存在区间。

四、线性方程组及高阶线性方程
课程内容
线性方程组，一阶正规型方程组，高阶线性方程及其之间的关系。

一阶正规型线性齐次方程组解的一般理论及解的结构。

一阶正规型线性非齐次方程组解的结构及常数变易法。

高阶线性齐次方程解的一般理论及解的结构。

高阶线性非齐次方程解的结构及常数变易法。

常系数线性齐次方程组的基本解矩阵及其通解表示。

常系数线性非齐次方程组通解的计算。

拉普拉斯(Laplace)变换的应用。

高阶常系数线性齐次方程的基本解组及通解表示。

高阶常系数线性非齐次方程通解的计算和特解的计算。

欧拉方程。

高阶方程的降阶法及特殊类型的高阶方程的求解方法。

基本要求
1、掌握一般线性方程组和一阶正规型线性方程组之间的关系。

熟练掌握高阶线性方程和一阶正规型方程组之间的等价关系。

2、理解并掌握一阶正规型线性齐次方程组解空间的基本理论与解的结构。

3、理解并掌握一阶正规型线性非齐次方程组解的结构和常数变易法的基本原理。

熟练掌握二维方程组的求解方法。

4、理解并掌握高阶线性齐次方程解空间的基本理论与解的结构。

5、理解并掌握高阶线性非齐次方程解的结构和常数变易法的基本原理。

熟练掌握二阶方程的求解方法。

6、熟练掌握常系数线性齐次方程组的基本解矩阵及通解的计算方法。

7、熟练掌握常系数线性非齐次方程组的通解和特解的计算方法。

掌握用拉普拉斯(Laplace)变换求特解的方法。

8、熟练掌握高阶常系数线性齐次方程的基本解组及通解的计算方法。

4
9、熟练掌握高阶常系数线性非齐次方程通解的计算方法。

熟练掌握待定系数求特解的方法。

熟练掌握二阶线性方程的常数变易法。

掌握幂级数法及拉普拉斯(Laplace)变换法。

10、熟练掌握高阶方程的降阶法。

掌握特殊类型的高阶方程的求解方法。

五、一阶线性偏微分方程
课程内容
一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系。

利用首次积分求解常微分方程组。

一阶线性偏微分方程的解法。

一阶线性偏微分方程的柯西问题。

基本要求
1、理解并熟练掌握一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系。

2、熟练掌握用首次积分求解常微分方程组的方法。

3、理解一阶线性齐次偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程通解结构和求解的几何意义。

熟练掌握一阶线性齐次偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法。

4、掌握一阶线性偏微分方程的柯西问题及求解方法。

六、定性与稳定性理论初步
课程内容
稳定性理论的基本概念。

按第一近似决定稳定性。

李雅普诺夫第二方法。

一般定性理论的基本概念。

奇点与极限环的意义。

基本要求
1、理解稳定、渐近稳定及全局渐近稳定的概念。

2、了解线性方程组零解稳定性的基本结论。

了解一近似方程组稳定性与该方程组稳定性之间的关系。

3、了解李雅普诺夫第二方法的基本思想。

了解应用李雅普诺夫函数确定非线性方程组解的稳定性态的基本方法。

4、理解相平面、相空间，轨线，奇点（平衡点），闭轨线（周期解）等基本概念。

5、了解二维驻定方程组奇点性态的研究方法。

掌握第一近似方程组奇点的类型。

6、了解极限环的意义及其存在性的判别方法。

7、会利用定性与稳定性理论解决一些简单的实际问题。

5。