数形结合就是把抽象的数学语言与直观图形结合 起来思索，使抽象思维和形象思维结合，通过“以形助 数”或“以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体 化。从而起到优化解题过程的目的．“以形助数”是借助 形的生动和直观来阐述数间的联系；“以数解形”是借助 于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性．
１．１ 以形助数
内接正方形ＯＭＰＮ的一个顶点为
Ｄ
底面半径为尺，则它的
ＢＣ中点时．在ＡＯＣＮ中，ＬＮＣＯ
高为恤。问题转化为求
：６０。，／＿ＣＮＯ＝７５。。ＯＣ＝妻。设
正四面体满足上述条件
Ｃ
Ｃ ０
溯鬻差大ＡＢ篇ｉＦ黧＿ Ａ隶Ｏ作矧如图３；，：盎ｓｉｎ ＣＮＯ雕舡牮６， 的最大内接圆柱体，而
图２
ＯＮ＝茗，贝…］Ｅ ．＿ｓｌｎ￡ＯＮ』而
图５
解过棱 和 四面体的高 作截面（如图），
一
￡
’１１””。
４
ｖ’
②
万方数据
·复习参考·
寸。７擞．７（２０１０－ｑ－ｇ ３期·高中版）
４ｌ
聚焦平面向量中的数学思想方法
４４１０００湖北省襄樊市第一中学王勇
数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知 识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，有着普遍应用 的意义，是历年高考的重点．下面仅就平面向量中常见 的数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、转化 与化归思想进行举例说明． １数形结合思想
ｂ＝——鼍—＇，因此内接正方体棱长的最大值为（狮
—３）ｂ：亟鹳． ６—３４３＋√２ ６一啪＋以 上述情况考虑的是内置正方体的上底面与底面
ＢＣＤ平行的情况，假设该正方体的上底面与底面ＢＣＤ 不平行（成一定倾斜角），是否能得到棱长更大的正方体 呢？
不可能．我们不妨记由图６得到的内接正方体为 Ａ。ｃ２，首先，正方体Ａ。ｃ２不可能绕着直线０。０２作细微的 旋转。否则，正方体Ａ。Ｑ的上底面的顶点就会“捅破”正 四面体的侧面；同样，若将该正方体绕着它的中心作适 当的转动，转动后正方体下底面与正四面体底面ＢＣＤ成 一定的角度，即正方体下底面的四个顶点中至少有一个 不在面ＢＣＤ上，则该正方体Ａ。Ｃ：的上底面必然会被正
下面来研究正三角形的最大内接正方形问题．
如图４，正三角形ＡＢＣ的边长
为ｂ，四边形ＥＦＧＨ为ＡＡＢＣ的内
接正方形（正方形的一条边ＥＦ在
ＢＣ上）．设正方形的边长为菇，则在
、
．。
Ｂ
Ｃ
ＡＧＣＦ中，ｔａｎ／＿ＧＣＦ＝篇＝ Ｅ ｏ Ｆ
图４
—专＝万，得皇＝（２，３－一３）ｂ，①
丁一丁 如图５，若正三角形ＡＢＣ的
圆柱体，设该圆柱体的Ｒ
探究１一个棱长为ｎ的正四面体纸盒内放一个正 方体，并且能使该正方体在纸盒内任意转动，试求该正 方体棱长的最大值．
分析如图１，正方 体绕着它的中心任意转
，了／ｇ口，ｏＰ＝譬ｄ，ｔａｎ￡ＡＧＭ＝
ｔａｎＺ．ＡＰＯ＝Ａ而Ｏ＝２在＝ＡＭＵＧ＝
焉Ｔａ一压Ｒ ．，
Ｒ
’
么＼ｃ
．ｆ １’
爪
Ｂ
Ｐ
ＥｏＦ
图３
解得Ｒ－＿４百３口，所以，所求正方体棱长的最大值为
棱长的最大值为黜． 四面体“卡住”．因此，棱长为ａ的正四面体内置正方体
（收稿日期：２００９１２０４）
万方数据
中’？擞·７（２０１０年第３期·高中版）
·复习参考·
正四面体内置正方体校长的最值探究
３１１８００浙江省诸暨市天马学校高中部尉贵生
正四面体和正方体都是立体几何中常见的两种几 则ＨＭ＝ＭＧ＝Ｒ，ＧＦ＝胁，ＡＯ＝
Ａ
何体，现在若把正方体内置于正四面体中，在不同条件 下，如何来探求该内置正方体棱长的最大值，本文就此 问题进行一些探究，以供参考．
例１已知向量蔬：（２，ｏ），向量砣＝（２，２），向量 葫：（屈啪，ｑｔ２ｓｉｎａ），则向量蔬与向量蔬夹角的取值
范围是
Ａ．［ｏ，詈］Ｂ．［寻，５西．ｔｒ】
ｃ．［卺，丁，ＩＴ］Ｄ．［舌，卺］
解如图１，向量魂的终点
Ａ在以ｃ（２。２）为圆心，在为半径
图１ 的圆上，０，４。，０，４：是圆的两条切
线，切点分别为Ａ．，Ａ：，在ＲｔＡＯＣＡ。中，Ｉｏ－－ｄ｜＿砸，
该球的内接正方体的棱长为詈口，因此，满足条件的正方
再
体棱长的最大值为警口． Ｕ
探究２一个棱长为口的正四面体纸盒内放一个正 方体，并且能使正方体在纸盒内可绕着某～条直线旋 转，试求该正方体棱长的最大值．
分析 如图２。正 方体绕着过它的中心且 垂直于两平行平面的直 线旋转时可以得到一个
问题只须考虑正三角形的最大内接正方形即可．
动时，各顶点所能达到的 轨迹为一个球面，问题可 转化为求正四面体内切雪 球的内接正方体．不难求 得正四面体内切球的半
Ｐ
径为Ｒ：，石／６０，然后计算
Ｃ 图１
廊：争．
探究３在一个棱长为口的正四面体纸盒内放置一 个正方体（不作任何转动，能放进去即可），试求该正方 体棱长的最大值．
分析若正四面体的内置正方体的上底面与底面 ＢＣＤ平行，则过正方体上底面的截面必为一正三角形，
因为（硒一３）ｂ＞，３－＜万４－４Ｙ）ｂ．所以边长为６的正
三角形的最大内接正方形的边长为（圻一３）ｂ．
解如图６，直三 棱柱ＥＦＧ—ＰＱＲ内置底面ＢＣＤ
内，直三棱柱的高为正 。
Ｄ
△明啦的最大内接正
方形的边长。设正
△ＥＦＧ的边长为ｂ，由
上述分析可得它的最
图６
扎札譬以～脚』ＢＰ ２端２７得