到立体图（右），则能立即判定命题①、②为假，
而命题③、④为真，答案是C.
4
考题4 （正方体中主要线段的关系）
（2002年） 在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是
解析
射影法：作AB在CD所在平面上的射影，由三垂线定理知 其正确答案为A.
平移法：可迅速排除 (B)，(C)，(D)，故选（A）.
5
考题 5 （正方体与正八面体）
（2003年） 棱长为a的正方体中，连结相邻面的中 心，以这些线段为棱的八面体的体积为
解析 将正八面体一分为二，得2个正四棱锥，正四棱 锥的底面积为正方形面积的 1 ，再乘 1 得 1 . 2 3 6 答案选C.
6
考题 6 （正方体中的三角形）
解析
3 个三角形，要得直 在正方体上任选3个顶点连成三角形可得 C8
以上结论正确的为______________. （写出所有正确结论的编号）
10
正四面体与正方体例话
二、正四面体与正方体
从“正方体高考十年”和“全国热炒正方体”中，我们 看到正方体在立体几何中的特殊地位. 在实践中，正方 体是最常见的多面体；在理论上，所有的多面体都可看 作是由正方体演变而来. 我们认定了正方体是多面体的“根基”. 我们在思考： （1）正方体如何演变出正四面体？
14
四面体问题可化归为对应的正方体解决.
妙解 —— 从正方体中变出正四面体
以 2 长为面对角线，可得边长为1的正方体ABCD-
A1B1C1D1，这个正方体的体对角线长为
3 ，则其外接
3 球的半径为 ，则其外接球的表面积为S=4πR2= 2 32 =4π( ) ＝3π 2 以 2 为棱长的正四方体B-A1C1D与以1为棱长的正方体
正四面体与正方体例话
一、正方体高考十年
十年来，立体几何的考题一般呈“一小一大”的形式. 分数约占全卷总分的八分之一至七分之一. 立几题的难度一般在0.55左右，属中档考题，是广大 考生“上线竞争”时势在必夺的“成败线”或“生死 线”. 十年的立几高考，考的都是多面体. 其中： （1）直接考正方体的题目占了三分之一； （2）间接考正方体的题目也占了三分之一. 因此有人说，十年高考，立体几何部分，一直在围绕 1 着正方体出题.
、
、
的关系
A
D B
C
2 ，这个正四面体岂不是由棱长为
D1 C1
1的正方体的6条“面对角线”围成？ 为此，在棱长为1的正方体B—D1中， （1）过同一顶点B作3条面对角线BA1、BC1、BD； （2）将顶点A1，C1，D依次首尾连结. 则三棱锥B—A1C1D是棱长为
A1
D
B1
B
2 的正四面体.于是正
C1 A1
有共同的外接球，故其外接球的表面积也为S=3π. 答案为A.
15Leabharlann 寻根 ——正方体割出三棱锥
在正方体中割出一个内接正四面体后，还“余 下”4个正三棱锥. 每个正三棱锥的体积均为1/6，故内接正四面体的
考题 10 （2006年安徽卷第16题）
多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相 邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面， 其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻 的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是 正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平 面的距离可能是： ① 3； ② 4； ③ 5； ④ 6； ⑤ 7
角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与
24 过此点的一条面对角线)，共有24个，得
3 C8
，所以选C.
7
考题 7 2006年四川卷第13题——正方体的一“角”
在三棱锥O—ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且 OA=OB=OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正弦 值是
8
P
考题9 （2006年湖北卷第18题）
如图，在棱长为1的正方体ABCD— A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点， CP=m. (Ⅰ)试确定m,使得直线AP与平面 BDD1B1所成角的正切值为3 2 ； (Ⅱ)在线段A1C1上是否存在一个定点Q， 使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的 射影垂直于AP. 并证明你的结论. 分析：熟悉正方体对角面和对角线的考生，对第(Ⅰ)问，可心算 出结果为m=1/3；对第(Ⅱ)问，可猜出这个Q点在O1点.可是由于 对正方体熟悉不多，因此第(Ⅰ)小题成了大题，第(Ⅱ)小题成了 大难题. 9
考题8 2006年四川卷第19题——两正方体的“并”
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、P 分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、 CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a. （1）求证：MN∥面ADD1A1； （2）求二面角P—AE—D的大小； （3）求三棱锥P—DEN的体积.
考题 1 （正方体与其外接球）
（1995年） 正方体的全面积为a2，则其外接球的表面积为
解析
外接球的表面积，比起内接正方体的全面积来，自然要大一些，但绝 不能是它的(C)约6倍或(D)约9倍，否定(C)，(D)；也不可能与其近似 相等，否定(A)，正确答案只能是(B) .
2
考题 2 （正方体中的线面关系）
3
考题 3 （正方体的侧面展开图）
（2001年）右图是正方体的平面展开图．在这个正方 体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③ CN与BM成60°角；④DM与BN垂直.
以上四个命题中，正确命题的序号是
（A）①②③ （C）③④ （B）②④ （D）②③④
解析
考查空间想象能力. 如果能从展开图（右上）想
（2）正方体如何演变出正八面体？
（3）正方体如何演变出正三棱锥？ （4）正方体如何演变出斜三棱锥？
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考 题 1 （正四面体化作正方体解）
说明
本题如果就正四面体解正四面体，则问题就不是一个小题目 了，而是有相当计算量的大题. 此时的解法也就沦为拙解.
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拙解 —— 硬碰正四面体
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联想 ——
正四面体的棱长为
（1997年）如图，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，E、 F分别是BB1、CD的中点． （1）证明AD⊥D1F； （2）求AE与D1F所成的角； （3）证明面AED ⊥面A1FD1； （4）设AA1=2,求三棱锥F-A1ED1的体积 VF A1ED1 .
说明
小问题很多，但都不难. 熟悉正方体各棱、各侧面间位置 关系的考生，都能迅速作答. 如解答（1），只要知道棱AD 与后侧面垂直就够了.