人教版中考数学专题复习第一章第一章 数与式 第一节 实数的有关概念本节知识导图中考考题试做实数的概念及分类1．(2019·中考)规定：(→2)表示向右移动2记作＋2，则(←3)表示向左移动3记作(B)A ．＋3B ．－3C ．－13D ．＋132．(2016·中考)关于12的叙述，错误的是( A ) A.12是有理数B ．面积为12的正方形边长是12 C.12＝23D ．在数轴上可以找到表示12的点数轴3．(2017·中考)在一条不完整的数轴上从左到右有点A ，B ，C ，其中AB ＝2，BC ＝1，如图所示．设点A ，B ，C 所对应数的和是p .(1)若以B 为原点，写出点A ，C 所对应的数，并计算p 的值；若以C 为原点，p 又是多少？ (2)若原点O 在图中数轴上点C 的右边，且CO ＝28，求p . 解：(1)若以B 为原点，则点A ，C 分别对应－2，1， ∴p ＝－2＋0＋1＝－1；若以C 为原点，则点A ，B 分别对应－3，－1， ∴p ＝－3－1＋0＝－4；(2)若原点O 在图中数轴上点C 的右边，且CO ＝28，则点A ，B ，C 分别对应－31，－29，－28， ∴p ＝－31－29－28＝－88.绝对值、相反数、倒数4．(2015·中考)下列说法正确的是( A ) A ．1的相反数是－1 B ．1的倒数是－1 C ．1的立方根是±1 D ．－1是无理数5．(2018·中考)如图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的题数是(B) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个,(第5题图)) 姓名__张小亮__ 得分__？__填空(每小题20分，共100分) ①－1的绝对值是__1__； ②2的倒数是__－2__； ③－2的相反数是__2__； ④1的立方根是__1__；⑤－1和7的平均数是__3__．,(第6题图))6．(2017·中考)如图为张小亮的答卷，他的得分应是( B ) A ．100分 B ．80分 C ．60分 D ．40分7．(2018·中考)若a ，b 互为相反数，则a 2－b 2＝0.科学记数法与近似数8．(2019·中考)一次抽奖活动特等奖的中奖率为150 000，把150 000用科学记数法表示为(D)A ．5×10－4B ．5×10－5C ．2×10－4D ．2×10－59．(2018·中考)一个整数815550…0用科学记数法表示为8.155 5×1010，则原数中“0”的个数为(B) A ．4 B ．6 C ．7 D ．1010．(2017·中考)把0.081 3写成a ×10n (1≤a ＜10，n 为整数)的形式，则a 为( D ) A ．1 B ．－2 C ．0.813 D ．8.13中考考点清单实数的有关概念及分类1．整数和__分数__统称为有理数； __无限不循环小数__叫做无理数； 有理数和无理数统称为__实数__．【易错警示】(1)任何分数都是有理数，如23，－45等；(2)常见的几种无理数：①根号型，如5，8等开方开不尽的数；②构造型，如0.101 001 000 1…(每两个1之间依次多1个0)；③π及含π的数，如π，π＋4等．2．实数的分类 (1)按正负分类实数⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧ 正有理数 ⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数正无理数负实数 ⎩⎪⎨⎪⎧负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数 负无理数(2)按定义(性质)分类实数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数0负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数有限小数或 无限循环 小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正无理数负无理数无限不循环 小数【易错警示】判断一个数是不是负数，不能只看其是否含有负号，而要将该数整理化简，若化简结果中只含有一个“－”号，则该数是负数．3．数轴(1)数轴的三要素是__原点__、__正方向__、__单位长度__；(如图)(2)数轴上的点和__实数__是一一对应的；(3)数轴上两点间的距离：用右边点表示的数减去左边点表示的数．如图，数轴上A ，B 两点间的距离为4.4．相反数符号不同、绝对值相等的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.0的相反数规定为0.(1)实数a 的相反数是__－a__(a 与b 互为相反数⇔a ＋b ＝__0__)；(2)相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的__两侧__，且到原点的距离__相等__，即这两个数所在的点关于原点对称．5．绝对值(1)在数轴上，表示一个数的点到原点的__距离__叫做这个数的绝对值；(2)|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ a （a ＞0），0 （a ＝0）， －a （a<0），即正数的绝对值是__它本身__，0的绝对值是__0__，负数的绝对值是它的__相反数__；(3)一个数的绝对值是__非负__数，即|a|__≥__0. 6．倒数(1)若两个非零实数a ，b 的积为1，即__ab ＝1__，则a 与b 互为倒数，反之亦然；(2)非零实数a 的倒数为__1a__；__0__没有倒数；倒数等于本身的数为±1.科学记数法和近似数7．科学记数法：把一个较大的数或较小的数写成__a ×10n __的形式(其中__1__≤|a|<__10__，n 为整数)，这种记数方法叫做科学记数法．(1)当原数的绝对值大于或等于10时，n 等于原数的整数位数减1.例如，574 000用科学记数法表示为5.74×105；(2)当原数的绝对值大于0小于1时，n 是负整数，其绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有0的个数(含小数点前的0)．例如，－0.000 737＝－7.37×10－4.【方法点拨】(1)科学记数法的还原①大数的还原：将a 值的小数点向右移动n 位； ②小数的还原：将a 值的小数点向左移动|n|位．(2)用科学记数法表示有计数(量)单位的数，可以先把数字单位转化为纯数字表示，再用科学记数法表示；也可以用到计数单位(如1亿＝108，1万＝104)、计量单位(如1 mm ＝10－3 m ，1 nm ＝10－9m )简化解题过程．8．精确度与近似数：近似数与准确数的接近程度通常用__精确度__表示；近似数一般由__四舍五入__取得，__四舍五入__到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．例如5.374 6精确到0.001或精确到千分位是__5.375__，4.46万是精确到__百__位．典题精讲精练无理数的识别【例1】(2019·陕西中考)已知实数－12，0.16，3，π，25，34，其中为无理数的是3，π，34.【解析】本题考查无理数的概念，根据已知的实数，无理数有3，π，34.【知识拓展】实数分为有理数和无理数，有理数是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数．1．四个数0，1，2，12中，无理数是(A )A . 2B ．1C .12D ．02．下列各数中是有理数的是(B ) A ．π B ．0 C .7 D .35实数的相关概念【例2】(2019·河南中考)－12的绝对值是(B )A ．－12B .12C ．2D ．－2【解析】本题考查绝对值的概念．－12的绝对值是12.【归纳总结】绝对值的几何意义：数轴上的点到原点的距离；代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零．3．(2019·株洲中考)－3的倒数是(A )A ．－13B .13C ．－3D ．34．(2019·成都中考)若m ＋1与－2互为相反数，则m 的值为1.科学记数法【例3】(2019·北京中考)4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000 m ．将439 000用科学记数法表示应为(C )A ．0.439×108B ．4.39×106C ．4.39×105D ．439×103【解析】本题考查用科学记数法表示较大数． 439 000＝4.39×105.5．(2019·武威中考)华为Mate 20手机搭载了全球首款7 nm制程芯片，7 nm就是0.000 000 007 m，数据0.000 000 007用科学记数法表示为(D)A．7×10－7B．0.7×10－8C．7×10－8D．7×10－96．(2019·包头中考)2019年我国国内生产总值(GDP)是900 309亿元，首次突破90万亿元大关，90万亿用科学记数法表示为9.0×1013.数轴的相关知识【例4】(2019·福建中考)如图，数轴上A，B两点所表示的数分别是－4和2，C是线段AB的中点，则点C的数是－1.【解析】本题考查数轴上的点表示数．∵A，B两点表示的数分别为－4和2，∴线段AB的长为6.又∵点C为线段AB的中点，∴AC＝BC＝3.∴OC＝1.∴点C表示的数是－1.7．如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是(C)A．－2 B．0C．1 D．4请完成限时训练A本P A1～A2，选做B本P B1第二节实数的运算及大小比较本节知识导图中考考题试做实数的大小比较1．(2016·中考)点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b.对于以下结论：甲：b－a<0; 乙：a＋b>0；丙：|a|<|b|; 丁：b a>0.其中正确的是(C)A．甲乙B．丙丁C．甲丙D．乙丁2．(2017·中考)对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1.因此，min{－2，－3}＝；若min{(x－1)2，x2}＝1，则__－1或2__．实数的运算类型一纯运算3．(2017·中考)下列运算结果为正数的是(A)A．(－3)2B．－3÷2C．0×(－2 017) D．2－34．(2016·中考)计算：－(－1)＝(D)A．±1 B．－2 C．－1 D．15．(2015·中考)计算：3－2×(－1)＝(A)A．5 B．1 C．－1 D．66．(2017·中考)如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是(D)A．4＋4－4＝6B．4＋40＋40＝6C．4＋34＋4＝6D．4－1÷4＋4＝67．(2019·中考)有个填写运算符号的游戏：在“1269”中的每个内，填入＋，－，×，÷中的某一个(可重复使用)，然后计算结果．(1)计算：1＋2－6－9；(2)若1÷2×69＝－6，请推算内的符号；(3)在“126－9”的内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．解：(1)原式＝3－6－9＝－12；(2)∵1÷2×6＝3，∴39＝－6.∴内的符号是“－”；(3)－20.类型二与规律结合8．(2018·中考)如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．尝试(1)求前4个台阶上数的和是多少？(2)求第5个台阶上的数x是多少？应用求从下到上前31个台阶上数的和；发现 试用含k(k 为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数．解：尝试 (1)－5－2＋1＋9＝3；(2)由题意，得－5－2＋1＋9＝－2＋1＋9＋x. 解得x ＝－5；应用 与(2)同理，得第6个到第8个台阶上的数依次是－2，1，9，可见台阶上的数从下到上按－5，－2，1，9四个数依次循环排列．∵31＝7×4＋3，∴前31个台阶上数的和为7×3＋(－5－2＋1)＝15； 发现 4k －1.类型三 与数轴结合9．(2019·唐山路南区模拟)已知有理数－3，1.(1)在如图所示的数轴上，标出表示这两个数的点，并分别用A ，B 表示；(2)若|m|＝2，在数轴上表示数m 的点介于点A ，B 之间；表示数n 的点在点A 右侧且到点B 距离为6.①计算m ＋n －mn ；②解关于x 的不等式mx ＋3＜n ，并把解集表示在所给数轴上．解析：本题考查数轴与不等式的应用．(1)在数轴上表示出两点；(2)根据题目条件确定m ，n 的值．①代入m ，n 的值计算代数式的值；②代入m ，n 的值解不等式，并把解集在数轴上表示出来．解：(1)如图所示； (2)∵|m|＝2，∴m ＝±2.∵数m 的点介于点A ，B 之间，∴m ＝－2. ∵数n 在点A 右侧且到点B 距离为6，∴n ＝7. ①m ＋n －mn ＝－2＋7－(－2)×7＝5＋14＝19； ②由－2x ＋3＜7，解得x ＞－2.在数轴上表示：类型四 根据已知方法进行运算 10．(2016·中考)利用运算律有时能进行简便计算．例1 98×12＝(100－2)×12＝1 200－24 ＝1 176；例2 －16×233＋17×233＝(－16＋17)×233 ＝233.请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： (1)999×(－15)；(2)999×11845＋999×⎝⎛⎭⎫－15－999×1835. 解：(1)原式＝(1 000－1)×(－15) ＝－15 000＋15＝－14 985；(2)原式＝999×⎣⎡⎦⎤11845＋⎝⎛⎭⎫－15－1835 ＝999×100＝99 900.平方根与立方根11．(2013·中考)下列运算中，正确的是( D )A .9＝±3B .3－8＝2C ．(－2)0＝0D ．2－1＝1212．(2016·中考)8的立方根为__2__．中考考点清单实数的运算1．加法：同号两数相加，取__相同__的符号，并把绝对值__相加__．异号两数相加，绝对值相等时和为__0__；绝对值不相等时，取__绝对值较大加数__的符号，并用较大的绝对值__减去__较小的绝对值．一个数同0相加，__仍得这个数__．2．减法：减去一个数，等于加上这个数的__相反数__．3．乘法：两数相乘，同号得__正__，异号得__负__，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，仍得0. 4．除法：除以一个数(不等于0)等于乘这个数的__倒数__． 5．乘方：求n 个__相同因数__的积的运算叫做乘方．6．混合运算的顺序：有括号的先算__括号里面的__，无括号则先算__乘方或开方__，再算__乘除__，最后算__加减__，同级运算则按__从左到右__顺序依次计算．7．有理数的一切运算性质和运算律都适用于__实数__运算． 8．运算律(1)加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)加法结合律：a ＋b ＋c ＝(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)； (3)乘法交换律：ab ＝ba ；(4)乘法结合律：(ab)c ＝a(bc)；(5)(乘法对加法的)分配律：a(b ＋c)＝ab ＋ac.【方法点拨】实数运算四步：(1)观察运算种类；(2)确定运算顺序；(3)把握每个小单元的运算法则及符号；(4)灵活运用运算律．零次幂、负整数指数幂9．若a ≠0，则a 0＝__1__；若a ≠0，n 为正整数，则a －n ＝__1an __．【易错警示】(1)防止出现以下类似的错误：①3－2＝－19；②2a －2＝12a2；(2)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．特别地，－1的奇次幂为－1，偶次幂为1，如(－1)3＝－1，(－1)2＝1.实数的大小比较与非负数的性质10．实数的大小比较(1)数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．(2)性质比较法：①正数＞0＞负数；②两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．在一组数中，求最大的数时，一般在正数中找，求最小的数时，一般在负数中找．(3)差值比较法：a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＜0⇔a ＜b ；a －b ＝0⇔a ＝b.(4)平方比较法：a 2＞b ⇔a ＞b(a ＞0，b ＞0)(主要应用于无理数估算及含有无理数的大小比较)．(5)立方比较法：a 3＞b ⇔a ＞3b.11．非负数：常见的非负数有a 2，|a|，a(a ≥0)，最小的非负数是0. 若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0.例如a 2＋|b|＋c ＝0，则a 2＝|b|＝c ＝0，有a ＝0，b ＝0，c ＝0，反之亦然．平方根、算术平方根、立方根及其性质12．平方根、算术平方根、立方根⎩⎪⎨⎪⎧a 的平方根为⎩⎨⎧±a （a ≥0），其中 a 为a 的算术平方根无意义（a<0）a 的立方根为3a （a 为任意实数）13．平方根的性质：(1)正数有两个平方根，它们互为相反数；(2)0的平方根是0；(3)负数没有平方根．14．立方根的性质：任意一实数都有立方根，且立方根与该实数符号相同；3a 3＝__a__，(3a)3＝__a__，3－a ＝．典题精讲精练实数的运算【例1】(2019·陕西中考)计算：－2×3－27＋|1－3|－(12)－2.【解析】本题考查实数的混合运算．先求立方根，根据绝对值的概念去掉绝对值符号，写出负整数指数幂，再进行实数的混合运算．【解答】解：原式＝－2×(－3)＋(3－1)－4＝6＋3－5＝1＋ 3.1．(2019·淄博中考)比－2小1的数是( A ) A ．－3 B ．3 C ．－1 D ．12．(2019·石家庄内四区模拟)下列运算结果是负数的是( D ) A ．(－2)×(－3) B ．(－3＋2)2C ．2－3 D ．－(－2)＋(－3)实数的大小比较【例2】(2019·扬州中考)下列各数中，小于－2的数是(A ) A ．－ 5 B ．－ 3 C ．－ 2 D ．－1【解析】本题考查实数的大小比较．比－2小的数应该是负数，且绝对值大于2的数，分析各选项可得－5＜－2＜－3＜－2＜－1.3．在－2，－1，0，1这四个数中，最小的数是(A ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．14．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是(B )A ．|a|>4B ．c －b>0C ．ac>0D ．a ＋c>0与数轴有关的运算【例3】如图，已知A ，B两点在数轴上，点A表示的数为－10，OB ＝3OA ，点M 以每秒3个单位长度的速度从点A 向右运动，点N 以每秒2个单位长度的速度从点O 向右运动(点M ，N 同时出发)．(1)数轴上点B 对应的数是________；(2)经过几秒，点M ，N 到原点O 的距离相等？【解析】(1)根据点A 表示的数及OB ＝3OA 可得点B 表示的数；(2)设运动时间为t s ．根据“路程＝速度×时间”可得点M ，N 在数轴上表示的数，分两种情况求出t 的值．【解答】解：(1)30；[∵点A 表示的数为－10，∴OA ＝10.∵OB ＝3OA ，∴OB ＝30.∴点B 对应的数是30.](2)设运动时间为t s ，则点M 在数轴上表示的数为－10＋3t ，点N 在数轴上表示的数为2t.当M ，N 分别位于原点两侧时，由点M ，N 到原点的距离相等可得－10＋3t ＋2t ＝0，解得t ＝2； 当M ，N 位于原点同侧，即在原点右侧M ，N 两点重合时，－10＋3t ＝2t ，解得t ＝10. ∴经过2 s 或10 s ，点M ，N 到原点O 的距离相等．5．如图，数轴上a ，b ，c 三个数所对应的点分别为A ，B ，C ，已知b 是最小的正整数，且a ，c 满足(c －6)2＋|a ＋2|＝0.(1)求代数式a 2＋c 2－2ac 的值；(2)若将数轴折叠，使得点A 与点B 重合，则与点C 重合的点表示的数是________； (3)请在数轴上确定一点D ，使得AD ＝2BD ，则点D 表示的数是________．解：(1)∵(c －6)2＋|a ＋2|＝0，∴a ＋2＝0，c －6＝0，解得a ＝－2，c ＝6. ∴a 2＋c 2－2ac ＝4＋36＋24＝64；(2)－7；[∵b 是最小的正整数，∴b ＝1.∵(－2＋1)÷2＝－0.5，∴6－(－0.5)＝6.5，－0.5－6.5＝－7.∴点C 与数－7表示的点重合．](3)0 或4.[设点D 表示的数为x.若点D 在点A 的左侧，则－2－x ＝2(1－x)，解得x ＝4(舍去)；若点D 在A ，B 之间，则x －(－2)＝2(1－x)，解得x ＝0；若点D 在点B 的右侧，则x －(－2)＝2(x －1)，解得x ＝4.综上所述，点D 表示的数是0或4.]平方根、算术平方根与立方根【例4】(1)4的平方根是±2；(2)3－27的绝对值是3； (3)|－9|的平方根是±3.【解析】根据平方根、立方根的定义和绝对值的性质求解填空．6．－18的立方根是－12.请完成限时训练A 本P A 3，选做B 本P B 2～B 3第三节 二次根式本节知识导图中考考题试做二次根式的性质及运算1．(2018·中考)计算：－12－3＝2.2．(2014·中考)计算：8×12＝2.二次根式的估值3．(2015·中考)在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在(C )A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④4．(2014·中考)a ，b 是两个连续整数，若a ＜7＜b ，则a ，b 分别是(A ) A ．2，3 B ．3，2 C ．3，4 D ．6，8中考考点清单代数式的相关概念1．二次根式：一般地，我们把形如a(__a ≥0__)的式子叫做二次根式，而a 有意义的条件是__a ≥0__． 2．最简二次根式：一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式．(1)被开方数的因数是__整数__，因式是__整式__； (2)被开方数中不含能__开得尽方的因数或因式__．二次根式的性质3．(1)a ≥0(a ≥0)；(双重非负性) (2)(a)2＝__a__(a__≥__0)；(3)ab ＝__≥0，b ≥0)； a b ＝ab(a ≥0，b ＞0)； (4)a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ a （a>0）， 0 （a ＝0）， －a （a ＜0）.二次根式的运算4．(1)加减运算：在进行加减运算时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式的项进行合并．(2)二次根式的乘法：a·b ＝≥0，b ≥0)．(3)二次根式的除法：a b＝__≥0，b ＞0)．(4)在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用．二次根式的混合运算顺序是：先算__乘除__，后算__加减__，有括号时，先算括号内的(或先去括号)．5．二次根式的估算(1)先对根式平方，如(10)2＝10；(2)找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，如9和16； (3)对这两个整数开方，如9＝3，16＝4；(4)确定根式在这两个连续整数之间，如3＜10＜4.【温馨提示】二次根式运算的结果可以是数或整式，也可以是最简二次根式，如果二次根式的运算结果不是最简二次根式，必须进行化简．典题精讲精练二次根式的概念与性质【例1】下列说法正确的是(C)A．若a＜0，则a2＜0B．x是实数，且x2＝a，则a＞0C.－x有意义时，x≤0D．0.1的平方根是±0.01【解析】A.当a≠0时，有a2＞0，则a2>0；当a＝0时，a2＝0，所以无论a取何值都有a2≥0，不会出现a2＜0的情况，故说法错误；B.当x＝0时，x2＝a＝0，此时a＞0不成立，故说法错误；C.根据二次根式有意义的条,件，可得－x有意义时，－x≥0，解得x≤0，故说法正确；D.0.01的平方根是±0.1，故说法错误．1．(2019·保定二模)使二次根式x－2有意义的x的取值范围为(B)A．x＞2 B．x≥2 C．x＝2 D．x≠22．下列各式运算正确的是(A)A.22＝2B.22＝±2C.42＝2D.42＝±2二次根式的运算【例2】(2019·模拟)在数轴上，把表示12的点移动3个单位长度后到达点P，则点P表示的数为(C)A. 3 B．23C.3或3 3 D．32＋3【解析】分两种情况讨论．把表示12的点向右移动3个单位长度，即12＋3＝23＋3＝33；把表示12,的点向左移动3个单位长度，即12－3＝23－3＝ 3.3．(2019·常德中考)下列运算正确的是(D)A.3＋4＝7B.12＝32C.（－2）2＝－2D.146＝213与规律有关的计算【例3】……若32的位置记为(2，3)，27的位置记为(3，2)，则这组数中最大的有理数的位置记为(17，2)．【解析】∵251＝204，∴这组数中最大的有理数是196＝14.设196是这组数中的第n个数，则2n＝196，解得n＝98.观察发现，每6个数排成一行．又∵98÷6＝16……2，∴196是第17行的第2个数，∴这组数中最大的有理数的位置记为(17，2)．4．先阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如，3＋22＝3＋2×1×2＝12＋（2）2＋2×1×2＝ ,（1＋2）2＝|1＋2|＝1＋ 2. 解决问题：(1)模仿上例的过程填空：14＋65＝14＋2×3×5＝________＝________＝________＝________； (2)根据上述思路，试将下列各式化简： ①28－103；②1＋32. 解：(1)32＋2×3×5＋（5）2；（3＋5）2； |3＋5|；3＋5；(2)①原式＝52－2×5×3＋（3）2 ＝（5－3）2＝|5－3|＝5－3； ②原式＝⎝⎛⎭⎫122＋2×12×32＋⎝⎛⎭⎫322 ＝⎝⎛⎭⎫12＋322＝⎪⎪⎪⎪12＋32＝12＋32. 请完成限时训练A 本P A 4，选做B 本P B 4～B 5第四节 代数式及整式运算本节知识导图中考考题试做列代数式1．(2018·中考)用一根长为a(单位：cm )的铁丝，首尾相接围成一个正方形．要将它按如图的方式向外等距扩1(单位：cm )，得到新的正方形，则这根铁丝需增加(B )A ．4 cmB ．8 cmC ．(a ＋4) cmD ．(a ＋8) cm代数式求值2．(2019·中考)如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． 示例：，即4＋3＝7.则(1)用含x 的式子表示m ＝3x ； (2)当y ＝－2时，n 的值为1.3．(2016·中考)若mn ＝m ＋3，则2mn ＋3m －5nm ＋10＝1.整式运算及幂的运算性质4．(2019·中考)小明总结了以下结论： ①a(b ＋c)＝ab ＋ac ； ②a(b －c)＝ab －ac ；③(b －c)÷a ＝b÷a －c÷a(a ≠0)； ④a÷(b ＋c)＝a÷b ＋a÷c(a ≠0)． 其中一定成立的个数是(C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．(2018·中考)若2n ＋2n ＋2n ＋2n ＝2，则n ＝(A )A ．－1B ．－2C ．0D .146．(2018·中考)将9.52变形正确的是(C ) A ．9.52＝92＋0.52B ．9.52＝(10＋0.5)(10－0.5)C ．9.52＝102－2×10×0.5＋0.52D ．9.52＝92＋9×0.5＋0.527．(2016·中考)计算正确的是( D ) A ．(－5)0＝0 B ．x 2＋x 3＝x 5C ．(ab 2)3＝a 2b 5D ．2a 2·a －1＝2a8．(2019·中考)若7－2×7－1×70＝7p ，则p 的值为－3. 9．(2018·中考)嘉淇准备完成题目：化简：(x 2＋6x ＋8)－(6x ＋5x 2＋2)．发现系数“”印刷不清楚．(1)他把“”猜成3，请你化简： (3x 2＋6x ＋8)－(6x ＋5x 2＋2)；(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？解：(1)原式＝3x 2＋6x ＋8－6x －5x 2－2 ＝－2x 2＋6；(2)设“”为a ，则原式＝ax 2＋6x ＋8－6x －5x 2－2＝(a －5)x 2＋6. ∵他妈妈看到该题标准答案的结果是常数， ∴a －5＝0，即a ＝5.∴原题中“”是5.代数式的应用10．(2019·中考)已知：整式A ＝(n 2－1)2＋(2n)2，整式B ＞0. 尝试 化简整式A. 发现 A ＝B 2.求整式B.联想 由以上可知，B 2＝(n 2－1)2＋(2n)2，当n ＞1时，n 2－1，2n ，B 为直角三角形的三边长，如图所示．填写下表中B解：尝试 A ＝n 4－2n 2＋1＋4n 2＝n 4＋2n 2＋1. 发现 ∵A ＝n 4＋2n 2＋1＝(n 2＋1)2， 又A ＝B 2，B ＞0，∴B ＝n 2＋1. 联想 17；37. 11．(2017·中考)发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数． 验证(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的几倍？(2)设五个连续整数的中间一个为n ，写出它们的平方和，并说明是5的倍数； 延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由． 解：验证 (1)(－1)2＋02＋12＋22＋32＝1＋0＋1＋4＋9＝15，15÷5＝3. ∴(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的3倍；(2)由五个连续整数的中间一个为n ，得其余的4个整数分别是n －2，n －1，n ＋1，n ＋2.它们的平方和为(n －2)2＋(n －1)2＋n 2＋(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝n 2－4n ＋4＋n 2－2n ＋1＋n 2＋n 2＋2n ＋1＋n 2＋4n ＋4＝5n 2＋10.∵5n 2＋10＝5(n 2＋2)，且n 是整数，∴n 2＋2是整数． ∴任意五个连续整数的平方和是5的倍数；延伸 余数是2.理由：设三个连续整数的中间一个为n ，则其余的2个整数是n －1，n ＋1. 它们的平方和为(n －1)2＋n 2＋(n ＋1)2＝n 2－2n ＋1＋n 2＋n 2＋2n ＋1＝3n 2＋2. ∵n 是整数，∴n 2是整数．∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.中考考点清单 代数式和整式的有关概念1．代数式：用运算符号连接数和字母组成的式子，我们把这样的式子叫做代数式．2．列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来．3．代数式的值：用__数值__代替代数式中的字母，按照代数式中给出的运算计算出的__结果__，叫做代数式的值．【方法点拨】求代数式值的方法主要有两种：一种是直接代入法；另一种是整体代入法．对于整体代入求值的，要注意从整体上分析已知代数式与欲求代数式之间结构的异同，从整体上把握解题思路，寻求解题的方法．例如，(1)a ＝－1，则3a 2－a ＝4；(2)若2m ＋n ＝4，则代数式6－2m －n 的值为2； (3)3x 2－5＝x ，则3x2－x ＝5，6x 2－2x ＋10＝20.4．代数式的分类代数式⎩⎪⎨⎪⎧有理式⎩⎪⎨⎪⎧整式⎩⎪⎨⎪⎧ 单项式 多项式 分式无理式 【温馨提示】(1)在建立数学模型解决问题时，常需先把问题中的一些数量关系用代数式表示出来，也就是列出代数式；(2)列代数式的关键是正确分析数量关系，掌握文字语言(和、差、积、商、乘以、除以等)在数学语言中的含义；(3)注意书写规则：a ×b 通常写作a·b 或ab ；1÷a 通常写作1a；数字通常写在字母前面，如a ×3通常写作3a ；带分数一般写成假分数，如115a 通常写作65a.整式的相关概念【易错警示】(1)在掌握合并同类项时注意：①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0； ②不要漏掉不能合并的项；③只要不再有同类项，就是结果(可能是单项式，也可能是多项式)． 合并同类项的关键：正确判断同类项．(2)同底数幂的除法与同底数幂的乘法互为逆运算，可用同底数幂的乘法检验同底数幂的除法是否正确．(3)遇到幂的乘方时，需要注意： 当括号内有“－”号时，(－a m )n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a mn （n 为奇数），a mn （n 为偶数）.例如，a 2a 3＝a 5，3a 2÷a ＝3a ；(－a 4)2＝a 8.整式的运算典题精讲精练代数式求值【例1】若a －3b ＝2，3a －b ＝6，则b －a 的值为－2.【解析】由题意得(a －3b)＋(3a －b)＝8，∴4(a －b)＝8.∴b －a ＝－2.【方法点拨】求代数式的值可以直接代入计算，如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值，考查类型主要有以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．,1．(2019·海南中考)当m ＝－1时，代数式2m ＋3的值是(C ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．22．(2019·荆门中考)已知实数x ，y 满足方程组{3x －2y ＝1，x ＋y ＝2.则x 2－2y 2的值为(A ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．－3整式的概念及运算【例2】(2019·哈尔滨中考)下列运算一定正确的是(D ) A ．2a ＋2a ＝2a 2 B ．a 2·a 3＝a 6C ．(2a 2)3＝6a 6D ．(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2【解析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、平方差公式.2a ＋2a ＝4a ，a 2·a 3＝a 5，(2a 2)3＝8a 6，(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2.【例3】(2019·吉林中考)先化简，再求值： (a －1)2＋a(a ＋2)，其中a ＝ 2.【解析】本题考查代数式的化简求值．先根据代数的运算方法转化成最简代数式，再代入求值即可求解．【解答】解：原式＝a 2－2a ＋1＋a 2＋2a ＝2a 2＋1. 当a ＝2时，原式＝2×(2)2＋1＝5.3．(2019·宁波中考)下列计算正确的是(D ) A ．a 3＋a 2＝a 5 B ．a 3·a 2＝a 6 C ．(a 2)3＝a 5 D ．a 6÷a 2＝a 44．(2019·石家庄内四区模拟)已知M ＝－12a ＋4⎝⎛⎭⎫a －23b －⎝⎛⎭⎫－32a ＋13b .(1)当a ＝15，b ＝－1时，求M 的值；(2)直接写出一组a ，b 的值，使M 的值与(1)中的结果相同．解：(1)M ＝－12a ＋4a －83b ＋32a －13b＝⎝⎛⎭⎫－12＋4＋32a －⎝⎛⎭⎫83＋13b ＝5a －3b.当a ＝15，b ＝－1时，M ＝5×15－3×(－1)＝4；(2)答案不唯一，只需满足5a －3b ＝4即可，如a ＝2，b ＝2.请完成限时训练A 本P A 5～A 6，选做B 本P B 6第五节 因式分解与分式本节知识导图中考考题试做因式分解1．(2013·中考)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( D ) A ．a(x －y)＝ax －ayB ．x 2＋2x ＋1＝x(x ＋2)＋1C ．(x ＋1)(x ＋3)＝x 2＋4x ＋3D ．x 3－x ＝x(x ＋1)(x －1)分式化简及求值2．(2019·中考)如图，若x 为正整数，则表示（x ＋2）2x 2＋4x ＋4－1x ＋1的值的点落在(B )A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④3．(2018·中考)老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是(D ) A ．只有乙 B ．甲和丁 C ．乙和丙 D ．乙和丁4．(2016·中考)下列运算结果为x －1的是( B )A ．1－1x B .x 2－1x ·x x ＋1C .x ＋1x ÷1x －1D .x 2＋2x ＋1x ＋15．(2017·中考)若3－2x x －1＝( )＋1x －1，则( )中的数是(B )A ．－1B ．－2C ．－3D ．任意实数6．(2015·中考)若a ＝2b ≠0，则a 2－b 2a 2－ab的值为__32__.中考考点清单因式分解及其基本方法1．因式分解：把一个多项式分解成几个__整式乘积__的形式，叫做多项式的因式分解． 2．因式分解与整式乘法的关系多项式因式分解整式乘法整式的积．3．提公因式法：ma ＋mb ＋mc ＝__m(a ＋b ＋c)__．【方法点拨】公因式的确定：(1)系数：取各项系数的最大公约数；(2)字母：取各项相同的字母；(3)指数：取各项相同字母的最低次数．4．运用公式法(1)平方差公式：a 2－b 2＝__(a ＋b)(a －b)__． (2)完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝__(a±b)2__．【方法点拨】因式分解的一般步骤例如，分解因式：3x －6＝3(x －2)，a 3－4a ＝a(a ＋2)(a －2)，4x 2－4x ＋1＝(2x －1)2.分式的有关概念5．分式：一般地，我们把形如__AB__的代数式叫做分式，其中，A ，B 都是整式，且B 含有字母．A叫做分式的分子，B 叫做分式的分母．6．与分式有关的“五个条件”(1)分式AB 没有意义时，B__＝0__；(2)分式AB 有意义时，B__≠0__；(3)分式AB的值为零时，A__＝0__且B__≠0__；(4)分式AB 的值为正时，A ，B__同号__，即⎩⎪⎨⎪⎧A>0，B ＞ 0或⎩⎪⎨⎪⎧A<0，B ＜ 0；(5)分式AB 的值为负时，A ，B__异号__，即⎩⎪⎨⎪⎧A>0，B ＜ 0或⎩⎪⎨⎪⎧A<0，B ＞ 0.7．最简分式：分子和分母没有__公因式__的分式．分式的基本性质及运用8．分式的基本性质：分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示为A B ＝A ×M B ×M ，A B ＝A÷MB÷M .其中，M 是不等于0的整式．9．约分与通分(1)约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式．【方法点拨】确定最大公因式的方法(1)分子、分母能因式分解的先因式分解；(2)取分子、分母中相同因式的最低次幂(数字因式取最大公约数)．(2)通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式的值相等的同分母的分式，叫做分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．【方法点拨】确定最简公分母的方法(1)先观察各分母，能因式分解的先因式分解；(2)取各分母公有因式的最高次幂(数字因式取最小倍数)；(3)对于只在一个分母中含有的因式，则连同它的指数作为最简公分母的因式．分式运算10．分式的加减运算法则：同分母的两个分式相加(减)，分母不变，把分子相加(减)；异分母的两个分式相加(减)，先通分，化为同分母的分式，再相加(减)，即A B ±C B ＝A±C B ；A B ＋D C ＝AC ＋BD BC. 11．分式的乘除运算法则：分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，即A B ·C D ＝A·C B·D ；A B ÷C D ＝A B ·D C ＝A·D B·C. 12．分式乘方的运算法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方，即⎝⎛⎭⎫A B n ＝A n Bn (n 为整数)．13．分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算，遇到括号，先算__括号里面的__．分式运算的结果要化成整式或最简分式．【方法点拨】分式化简求值的一般步骤：(1)若有括号的，先计算括号内的分式运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为同分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉，简称：去括号；(2)若有除法运算的，将分式中除号(÷)后面的式子分子分母颠倒，并把这个式子前的“÷”变为“×”，保证几个分式之间除了“＋”“－”就只有“×”或“·”，简称：除法变乘法；(3)利用因式分解、约分进行分式乘法运算；(4)最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算，直到化为最简形式；(5)将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义(即使原分式的分母不为0)．例如，化简：x ＋1x －1x ＝1，(a －1)÷(1a －1)·a ＝－a 2，1x ＋1＋2x 2－1＝1x －1.。