2013-2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷（二模）九年级数学学科 2014.4（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1. 本试卷含三个大题，共25题；2. 答题时，考生务必按答题要求作答在答题纸规定位置，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列运算正确的是（ ▲ ）（A ）236a a a ⋅=； （B ）623a a a ÷=； （C ）236()a a =； （D ）624a a a -=． 2. 一次函数21y x =+的图像不经过的象限是（ ▲ ）（A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ）第三象限； （D ）第四象限． 3. 如图，AF 是∠BAC 的平分线，EF ∥AC 交AB 于点E ． 若∠1=25°，则BAF ∠的度数为（ ▲ ） （A ）15°； （B ）50°； （C ）25°； （D ）12.5°4. 在ABC △中，∠A 、∠B 都是锐角，且1sin cos 2A B ==，那么ABC △的形状是（ ▲ ）. （A ）钝角三角形； （B ）直角三角形； （C ）锐角三角形； （D ）无法确定． 5. “大衣哥”朱之文是从“我是大明星” 这个舞台走出来的民间艺人。

受此影响，卖豆腐的老张也来参加节目的海选，当天共有15位选手参加决逐争取8个晋级名额。

已知他们的分数互不相同，老张要判断自己是否能够晋级，只要知道下列15名选手成绩统计量中的（ ▲ ） （A ） 众数； （B ） 方差； （C ） 中位数； （D ）平均数． 6. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，联结BC ，若∠A=36°，则∠C 等于（ ▲ ）（A ）36°； （B ）54°； （C ）60°； （D ）27°．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7.函数y 的定义域是 ▲ ．8. 分解因式：2ab ab -= ▲ ．9. 如果反比例函数的图像经过点（1，－2），那么这个函数的解析式是 ▲ ．AB10. 2014年政府报告中安排财政赤字约为13500亿元，13500亿用科学记数法表示为 ▲ 亿． 11. 不等式组320622x x ->⎧⎨-≥⎩的解集是 ▲ ．12. 若关于x 的方程2430ax x -+=有两个相等的实数根，则常数a 的值是 ▲ ． 13. 掷一个材质均匀的骰子，向上一面的点数是3的倍数的概率是 ▲ ．14. 如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，设AB a =，AC b =，则 BD = ▲ ． 15. 解放军某部承担一段长1500米的清除公路冰雪任务．为尽快清除冰雪，该部官兵每小时比原计划多清除20米，结果提前24小时完成任务，若设原计划每小时清除公路冰雪x 米，则可列出方程16. 如图，ABC △中，AC 、BC 上的中线交于点O ，且BE ⊥AD ．若5BD =，4BO =，则 AO 的长为 ▲ ．17. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A 、B 、C 、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为223y x x =--，AB 为半圆的直径，则这个“果圆”被y 轴截得的弦CD 的长为 ▲ .18．如图，已知ABC △中，90B ∠=︒，3BC =，4AB =，D 是边AB 上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ，将ADE △沿DE 翻折得到'A DE △，若'A EC △是直角三角形，则AD 长为 ▲ . 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. （本题满分10分）计算：0201411(2(1)2()2---++-.20. （本题满分10分）先化简，再求值：21111x x x x ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，其中x =．21.（本题满分10分）如图，在△ABC 中，AB =AC =10，sin C =35，点D 是BC 上一点，且DC =AC ．（1） 求BD 的长； （2） 求tan ∠BAD ．22. （本题满分10分）春季流感爆发，某校为了解全体学生患流感情况，随机抽取部分班级对患流感人数的进行调查，发现被抽查各班级患流感人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名这六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图：（1） 抽查了 ▲ 个班级，并将该条形统计图补充完整；（2） 扇形图中患流感人数为4名所在扇形的圆心角的度数为 ▲ ； （3） 若该校有45个班级，请估计该校此次患流感的人数． 23. （本题满分12分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，BC=2AD ，点 E 是BC 的中点、F 是CD 上的点，联结AE 、EF 、AC ． （1） 求证：AO OF OC OE ⋅=⋅；（2） 若点F 是DC 的中点，联结BD 交AE 于点G ， 求证：四边形EFDG 是菱形．24. （本题满分12分）如图，直线44y x =+与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，抛物线22(0)y ax ax c a =-+≠过点B 、C ，且与x 轴另一个交点为A ，以OC 、OA 为边作矩形OADC ，CD 交抛物线于点G ． （1）求抛物线的解析式以及点A 的坐标；（2）已知直线x m =交OA 于点E ，交CD 于点F ，交AC 于点M ，交抛物线（CD 上方部分）于点P ，请用含m 的代数式表示PM 的长；（3）在（2）的条件下，联结PC ，若△PCF 和△AEM 相似，求m 的值．2班2名1名123456各种患流感人数情况的班级数 占抽查班级总数的百分比分布图班级个数抽查班级患流感人数条形统计图抽查班级患流感人数条形图25. （本题满分14分）如图，已知∠MON两边分别为OM、ON，sin∠O=35且OA=5，点D为线段OA上的动点(不与O重合)，以A为圆心、AD为半径作⊙A，设OD=x．（1）若⊙A交∠O 的边OM于B、C两点，BC y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）将⊙A沿直线OM翻折后得到⊙A′．①若⊙A′与直线OA相切，求x的值；②若⊙A′与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切，求x的值．图1 备用图BA H2013-2014学年第二学期徐汇区初三年级数学学科学习能力诊断卷参考答案和评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ； 2．D ； 3．C ； 4．B ； 5．C ； 6．D ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7． 1x ≥-； 8．()1ab b -； 9．2y x=-； 10．41.3510⨯； 11．223x -<≤； 12．43a =；13．13；14．1122a b →→-； 15．150015002420x x -=+； 16．6；17．3 18．78或258． 三、（本大题共7题，满分78分）19．解：原式＝21122+-+ …………………………………………………（7分）＝2………………………………………………………（3分）20．原式=2211(1)11x x x xx x -++-÷-+……………………………………………………（2分） =22211x x x x+∙- ………………………………………………………（2分） =221(1)(1)x x x x x+∙+-=11x - ……………………………………………（3分） 将x =11x-，11x ==- ……………………………………（3分） 21．解：（1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，则BH=CH =12BC ………………………（2分） 在Rt △ACD 中，sin C =35AH AC =， ∵AC =10，∴AH=6， ………………………………（2分）∴8HC BH ==== ………………………………（1分）∴BD =BC －CD =6．……………………………………………………………………（1分） （2）过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ， …………………………………………… （1分）Rt △BED 中，sin B =ED BD 35=，BD = 6，∴185DE =……………………………（1分）∴245BE ==,∴265AE = …………………………………（1分） ∴tan ∠BAD =ED AE 913=………………………………………………………（1分） 22. 解：（1）20个班级；条形统计图中，缺少的部分对应纵轴值为2；…………… （4分）（2）︒=⨯︒72204360； ………………………………………………………（2分） （3）45(122233445564)18020⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．…………… （1分） 23．（1）证明：∵点E 是BC 的中点，∴BC =2EC= 2BE ．又∵BC =2AD ，∴EC=AD ． ………………………………（1分）//AD EC ，∴四边形AECD 为平行四边形．……………………（1分）∴//AE CD ， ………………………………………………………（1分）∴AO OEOC OF=即AO OF OC OE ∙=∙．………………………………（1分） （2）证明：∵E 、F 分别是BC 、CD 的中点，∴//EF BD 且12EF BD =．………………………………………………（1分）又//AE CD ，∴四边形EFDG 为平行四边形．………………… ……（1分）∵AD 平行且等于BE ，∴ 四边形ABED 是平行四边形．………… ……（1分） 又∵∠ABE =90°，∴ 四边形ABED 是矩形．…………………………………（1分） ∴ BD=AE 且12EG AE =12BD =…………………………………………（2分） ∴EG EF =，∴四边形EFDG 是菱形……………………………………（2分）24. 解：（1）直线44y x =+与x 轴、y 轴交于B （－1，0）、C （0，4），……………（1分）∵抛物线22y ax ax c =-+（a ≠ 0）经过点B （－1，0）、C （0，4），∴204a a c c ++=⎧⎨=⎩，解得434a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为248433y x x =-++．……（1分） ∵抛物线22y ax ax c =-+的对称轴为直线1x =，∴A （3，0）．……………………（1分）（2）设直线AC 的解析式为y=kx+b （k ≠ 0）．∵A （3，0）、点C （0，4）．∴304k b b +=⎧⎨=⎩，解得434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 的解析式为443y x =-+．…………（1分） ∵点M 在AC 上，点P 在抛物线248433y x x =-++上，且点M 的横坐标为m ， ∴M （m ，443m -+）、P （m ，248433m m -++），∴ PM=PE －ME =2443m m -+．……………………………………………………（2分）（3）由题意PG= PE －EF= 24833m m -+， CG=m ………………………………（1分）∵//ME CO ，∴所以∆AOC ∽∆AEM ．∵∆PCF 和∆AEM 相似，∴∆PCF 和∆AOC 相似 ……………………………（1分）①若∆PFC ∽∆AOC ，则PCF ACO ∠=∠，有3tan tan 4PG PCG ACO CG ∠==∠=，即2483334m m m ⎛⎫-+÷= ⎪⎝⎭；解得2316m =．（2分） ②若∆PFC ∽∆ACO ，则PCF AOC ∠=∠， 有3tan tan 4CG CPG ACO PG ∠==∠=，即2484333m m m ⎛⎫-+÷= ⎪⎝⎭，解得1m =．………………………………………（2分） 综上所述，当∆PCF 和∆AEM 相似时，2316m =或1m =25.（1）解：作AF OB ⊥，垂足为点F ． 在Rt AOF ∆中，3sin 5AF O OA∠==5OE =，∴3AF =， ∴4OF ==O D x =，∴5AB AD x ==- ∴BF ===,A B A C A FB C=⊥， ∴2y BF ==(0x <<（2）解：由题意得点A ′在AF联结A ′D ，作A H OA '⊥，垂足为点H ， 在Rt A HA '∆中424cos 655A H A A FAO ''=⨯∠=⨯=（1分）若⊙A ′与直线O A 相切，则有x -=5524 （1`分） ∴51=x ………（1`分） （3）解：57-=-=x AD HA HD 在Rt A HD '∆中，A D '=== ①若⊙'A 与⊙D 外切，则A D DO A B ''=+，有(5)x x +-=145x =． ………………………（2`分）②若⊙'A 与⊙D 内切，则A D DO A B ''=-，有(5)x x --=8615x ∴=（舍）． ………………………（2分）综上所述，当x = 145时两圆相外切。