定义加法 定义加法与数乘运算分别为：
a ⊕ b = ab , ∀a,b ∈ R + ; k a =a , k∈R
试证明R+ 是实数域 R上的线性空间．
k
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证 显然在 R+上如此定义的加法与数乘运算保 持封闭，再需验证运算满足8条规则．
∀a,b,c ∈ R , ∀k , l ∈ R 有
① a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a. ② (a ⊕ b ) ⊕ c = ab ⊕ c = abc = a ⊕ bc = a ⊕ (b ⊕ c ). ③ a ⊕ 1 = a , 1 为R +的零元素. 零元素.
9
两个复杂的线性空间 两个复杂的线性空间的例子 线性空间的例子
例1.4 设V = { x x = ( x1 , x2 ), x1 , x2 ∈ R}, x = ( x1 , x2 ), y = ( y1 , y2 ), k ∈ R
定义加法与数乘运算为 x⊕ y k x ( x1 + y1 , x2 + y2 + x1 y1 ); k (k − 1) 2 (kx1 , kx2 + x1 ). 2
AX + XB = F
dX (t ) = AX (t ) + X (t ) B 矩阵微分方程 dt X (0) = X 0
方法与工具 矩阵的Kronecker 积 矩阵的按行拉直列向量vecX
矩阵方程转化成线性方程组 ( A ⊗ I n + I m ⊗ B T ) vecX = vecF
并且这两种运算满足以下8 条规则: 条规则: (设 α, β , γ ∈V ; k , l ∈ F )
6
①交 换律 ② 结合律 加法 ③ 零元素 ④ 负元素
α+ β = β+α (α + β ) + γ = α + ( β + γ ) α+θ = α α + ( −α ) = θ
① x1 , x2 ,..., xn 线性无关 线性无关;
② V (F )中的任一向量x皆可 写成x1 , x2 ,..., xn 的线性组合.
线性空间V(F)中的基所含向量的个数n 称 为V(F)的维数，记为dim V(F) = n，也称 为n 维线性空间，记为Vn(F) ．
22
设 x1, x2 ,..., xn 为 Vn ( F ) 的一个基，对任意 x ∈Vn ( F )， 有惟一的线性表达式 x = ，n ∑ k x , k ∈ F , i = 1, 2,...,
= ( x1 + y1 + z1, x2 + y2 + z2 + y1z1 + x1 y1 + + x1z1 );
故 ( x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ ( y ⊕ z).
11
③ θ = (0, 0) ∈ V 为 零元素 , x ⊕ θ = ( x1 , x2 ) ⊕ (0, 0) = ( x1 + 0, x2 + 0 + x1 .0) = x .
矩阵分析教程
(电子版) 董 增 福
哈尔滨工业大学数学系
1
矩阵分析解决下述三大问题 矩阵分析解决下述三大问题
问题一 相容线性方程组 Ax = b的极小范数解
矛盾线性方程组 Ax = b的极小范数最小二乘解 极小范数最小二乘解
方法与工具 Moore - Penrose广义逆 A+ 相容线性方程组的通解, 矛盾线性方程组的通式 x = A+ b + ( In − A+ A) y, y ∈ C n
即 k ij = 0 (i = 1, 2, 所 以 E 11 , , E ij ,
, m ; j = 1, 2, , E mn 线 性 无 关 .
n ). ■
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§ 1.2 线性空间的基与坐标
定义1.2 线性空间V ( F )中的向量组x1 , x2 ,..., xn 称为V ( F )的基或基向量组 基向量组, 如果它满足
④ − x = (−x1, −x2 +x ) 为x的负元素, x ⊕ (− x) = (x1 − x1, x2 − x2 + x + x1(−x1 )) = (0, 0) = θ.
1(1 − 1) 2 ⑤ 1 x = (1x1 ,1x2 + x1 ) = ( x1 , x2 ) = x . 2
12
2 1
i =1 j =1
m
n
由例1.6知 E 11 , ..., E ij , ..., E m n 线性 线性无关 无关，故 m×n R 为线性空间 的基．且 E11 ,..., Eij ,..., E mn ，而 A = (aij )m×n在此基下的坐标, dim Rm×n = m × n ( a 1 1 , ..., a ij , .. . , a m n ) T. 记为
24
例1.8 在加法与数乘运算分别定义为：
a ⊕ b = ab , ∀a,b ∈ R+ k a = ak , k ∈ R
+ R 例1.5中的正实数集 = {a a > 0, a ∈ R}
+ R 前已证明 是实数域 R 上的线性空间．
求 R+ 的基与维数．
25
解 由 a ⊕1 = a ，知1为 R+ 的零元素．于是有：
定义 1.1 设F 是一数域,V是一非空集合, 如果对于任意 两个元素α, β ∈V ,总有惟一的一个元素γ ∈V与之对应, 称γ 为α与β的和, 记为γ = α + β;
又对于任一数k ∈ F及任一元素α ∈V , 有惟一的一个 元素δ ∈V与之对应, 称δ为k与α的数量乘积(数乘), 记为 δ = kα;(上述情况称V 对加法与数乘运算封闭)
13
(k + l)(k + l −1) 2 ⑦ (k + l) x = ((k + l)x1, (k + l)x2 + x1 ) 2
k(k −1) 2 l(l −1) 2 = (kx1 +lx1, kx2 + x1 +lx2 + x1 +(kx1)(lx1)) 2 2
k(k −1) 2 l(l −1) 2 = (kx1, kx2 + x1 ) ⊕(lx1,lx2 + x1 ) = k x ⊕l x. 2 2
矩阵微分方程的解 X (t ) = e At X 0e Bt
4
第一章 线性空间 2．线性空间的基 线性子空间 3. 线性子空间 线性映射与线性 映射与线性变换 与线性变换 4．线性映射 线性变换的矩阵表示 变换的矩阵表示 5．线性变换
5
线性空间的定义
k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (kx1 , kx2 + x1 ) ⊕ (ky1 , ky2 + y1 ) 2 2 = k x ⊕ k y.
■
由定义1.1可见V 构成实数域 R 上的线性空间 上的线性空间， 线性空间，
记之为 R2 (⊕, ).
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例1.5
+ R = {a a > 0, a ∈ R} 设正实数集
i i i i =1 n
称 k1 , k 2 , ..., k n 为向量x 在基 x1 , x2 ,..., xn 下的坐 标．
对于确定的基，向量在此基下的坐标是惟一的．为 方便计，往往将其表成列向量
23
例1.7
在线性空间 Rm×n 中，设 A= (aij )m×n
显然有
A = ∑ ∑ aij E ij
∀a ≠ 1, a ∈ R , ∀b ∈ R b=a
loga b
+
+
= (log a b) a
这说明中任一元素 b 均可表成非零元素 a 的线性组合，故任何非零元素 a ( R+ 中除1 + R 之外的所有数)均为 的基，且显然有
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+
1 1 + ④ a ⊕ = 1 , 为 R 的 负元素. 负元素 . a a ⑤ 1 a = a 1 = a.
⑥ k (l a) = k al = (al )k = a kl = (kl ) a.
⑦ (k + l) a = a
k +l
= a a = a ⊕ a = (k a) ⊕ (l a).
证 考查线性表达式
k11E11 + k12 E12 + + kij Eij + + km1Em1 + + kmn Emn = Om×n
则有
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k11 k i1 k m1
k1 j k ij k mj
k1 n k in = O m × n . k mn
2
问题二 线性常系数齐次,非齐次微分方程组初值问题 dx = Ax, dt x(t0 ) = x0. dx = Ax + f (t), dt x(t0 ) = x0.
方法与工具 矩阵的Jordan 标准形 矩阵微分与矩阵积分 向量 矩阵的Laplace 变换
3
问题三 Lyapunov 矩阵方程
⑤ 单位 1 1α = α 数乘 ⑥ 结合律 k (lα ) = (kl )α ⑦ 分配律 k (α + β ) = kα + kβ 两者 ⑧ 分配律 (k + l )α = kα + lα
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那么，称 V 为数域 F上的线性空间，记 为V ( F ) ． 由于线性空间V ( F ) 与n 维向量空间R
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⑧ k ( x ⊕ y ) = k ( x1 + y1 , x2 + y 2 + x1 y1 )