精心整理国庆作业（一）正弦定理和余弦定理练习题一．选择题1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )A. B.C.D．22A3)A．4A5( ) A6A78．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝，b＝，B＝120°，则a等于( )A.B．2C.D.二、填空题9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝，C＝，则A＝________. 10．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sin B＝________.11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.12．在△ABC中，a＝2b cos C，则△ABC的形状为________．13．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.14．已知三角形ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.15．在△ABC中，已知a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________.16．在△ABC中，b＝4，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．17．塔A18＝，sin B19．为锐角，角A、B、C所对应的边分别为c，且cos2A，求a，b，c的值．2021sin C，求角231．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cos B＝，那么AC等于()A．6B．2C．3D．42．在△ABC中，a＝2，b＝－1，C＝30°，则c等于()A.B.C.D．23．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则∠A等于()A．60°B．45°C．120°D．150°4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则∠B的值为()A.B.C.或D.或5．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则a cos B＋b cos A等于()6() A789AD10115，则边c12．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A∶cos B∶cos C＝________. 13．在△ABC中，a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________.14．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则·的值为________．15．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝，则角C＝________. 16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．17．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．18．已知△ABC的周长为＋1，且sin A＋sin B＝sin C.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为sin C，求角C的度数．19．在△ABC中，BC＝，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－)的值．20ABC123B 为(45b＝，则c解析：选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由＝得c＝＝1.6．在△ABC中，若＝，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵＝，∴＝，sin A cos A＝sin B cos B，∴sin2A＝sin2B即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝.7．已知△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为()A. B.C.或D.或解析：选D.＝，求出sin C＝，∵AB＞AC，∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.再由S△ABC＝AB·AC sin A可求面积．8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝，b＝，B＝120°，则a等于()A. B．2C. D.解析：选D.由正弦定理得＝，∴sin C＝.又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°，9A ＝101112即sin B·cos C＋cos B·sin C＝2sin B·cos C，化简，整理，得sin(B－C)＝0.∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，∴－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°，B＝C.答案：等腰三角形13．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.解析：由正弦定理得＝＝＝12，又S△ABC＝bc sin A，∴×12×sin60°×c＝18，∴c＝6.答案：12 614．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴2R＝＝＝2，又∵a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∴＝＝2R＝2.答案：215．在△ABC中，已知a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________.解析：依题意，sin C＝，S△ABC＝ab sin C＝4，1617．A的方角是65°18B sin C ＝由sin B sin C＝cos2，得sin B sin C＝[1－cos(B＋C)]，即2sin B sin C＝1－cos(B＋C)，即2sin B sin C＋cos(B＋C)＝1，变形得cos B cos C＋sin B sin C＝1，即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝，B＝C＝(舍去)，A＝π－(B＋C)＝.由正弦定理＝＝，得b＝c＝a＝2×＝2.故A＝，B＝，b＝c＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos2A＝，sin B＝.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝－1，求a，b，c的值．解：(1)∵A、B为锐角，sin B＝，∴cos B＝＝.又cos2A＝1－2sin2A＝，∴sin A＝，cos A＝，∴cos(A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B＝×－×＝.20A. B.C. D．2解析：选B.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝22＋(－1)2－2×2×(－1)cos30°＝2，∴c＝.3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则∠A等于()A．60°B．45°C．120°D．150°解析：选D.cos∠A＝＝＝－，∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝150°.4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则∠B的值为()A. B.C.或D.或解析：选D.由(a2＋c2－b2)tan B＝ac，联想到余弦定理，代入得cos B＝＝·＝·.() () 8．在△ABC中，b＝，c＝3，B＝30°，则a为()A. B．2C.或2 D．2解析：选C.在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即3＝a2＋9－3a，∴a2－3a＋6＝0，解得a＝或2.9．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．解析：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝.在△ABD中，AD＝＝＝.答案：10．△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝(－1)∶(＋1)∶，求最大角的度数．解：∵sin A∶sin B∶sin C＝(－1)∶(＋1)∶，∴a∶b∶c＝(－1)∶(＋1)∶.设a＝(－1)k，b＝(＋1)k，c＝k(k＞0)，∴c边最长，即角C最大．由余弦定理，得cos C＝＝－，S＝5，则边．＝＝，∴·＝||·||·cos(π－B)＝7×5×(－)＝－19.答案：－1915．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝，则角C＝________.解析：ab sin C＝S＝＝·＝ab cos C，∴sin C＝cos C，∴tan C＝1，∴C＝45°.答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k－1，k，k＋1(k≥2，k∈N)，则?2＜k＜4，∴k＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为＝.答案：172A＋B)＝1819(1)求AB的值；(2)求sin(2A－)的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，得AB＝BC＝2BC＝2.(2)在△ABC中，根据余弦定理，得cos A＝＝，于是sin A＝＝.从而sin2A＝2sin A cos A＝，精心整理cos2A＝cos2A－sin2A＝.所以sin(2A－)＝sin2A cos－cos2A sin＝.20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得＝.由2cos A sin B＝sin C，有cos A＝＝.又根据余弦定理，得cos A＝，所以＝，即c2＝b2＋c2－a2，所以a＝b.精心整理。