图论最短路径问题 在消防选址中的应用
【摘 要】 最短路径问题是图论解决的典型实际问题之一，可用来解决管路铺设、线路
安装、厂区布局和设备更新等实际问题。

介绍了图论最短路径问题及其算法，并应用图论最短路径问题的分析方法，解决城市消防站的选址问题。

【关键词】 最短路径；Floyd 算法；消防
1 引言
图论是运筹学的一个重要分支，旨在解决离散型的优化问题，近年来发展十分迅速。

在人们的社会实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、生物技术以及经济、军事等领域中许多问题的有力工具之一。

图论中的“图”，并不是通常意义下的几何图形或物体的形状图，也不是工程设计图中的“图”，而是以一种抽象的形式来表达一些确定的对象，以及这些对象之间具有或不具有某种特定关系的一个数学系统。

也就是说，几何图形是表述 物体的形状和结构，图论中的“图”则描述一些特定的事物和这些事物之间的联系。

它是数学中经常采用的抽象直观思维方法的典型代表。

2 图论基本概念
2.1 图的定义
有序三元组),,(ϕE V G =称为一个图，其中：
(1)),,,(21n V V V V =是有穷非空集，称为顶点集，其元素叫做图的顶点； (2)E 称为边集，其元素叫做图的边；
(3)ϕ是从边集E 到顶点集V 的有序或者无序对集合的影射，称为关联函数。

2.2 图的分类
在图G 中，与V 中的有序偶),(j i V V 对应的边e 称为图的有向边(或弧)，而与V 中顶点的无序偶对应的边e 称为图形的无向边，每一条边都是无向边的图，叫做无向图，记为
),(E V G =；每一条边都是有向边的图叫做有向图，记为),(E V D =；既有无向边又有有
向边的图叫做混合图。

2.3 权
如果图G 中任意一条边),(j i V V 上都附有一个数ij W ，则称这样的图G 为赋权图，
ij W 称为边),(j i V V 上的权。

3 最短路径问题
最短路径问题是图论中的一个基本问题。

在赋权图中，每条边都有一个数值(长度、成本、时间等)，找出两节点之间总权和最小的路径就是最短路径问题。

最短路径问题，通常归属为三类：
(1)单源最短路径问题：包括确定起点的最短路径问题和确定终点的最短路径问题。

确定终点与确定起点的最短路径问题相反，该问题是已知终点，求最短路径问题。

在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

(2)确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

(3)全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。

4 最短路径算法
在赋权图中寻求最短路的算法通常有两种：Dijkstra 算法和Floyd 算法。

4.1 Dijkstra 算法
当所有的权数0≥ij W 时，Dijkstra 算法是目前公认的最好的算法。

其基本思想是从起点0v 出发，逐步向外发展。

探索过程中，每到一个点，都记录下路径与路程，称为这个点的标号。

故Dijkstra 算法也称为标号法。

具体标号由两部分构成，第一部分是一个字母，表示前面的一个点的符号，说明从哪里来；第二部分是一个数字，表示从起点到目前位置的距离，说明有多远。

标号被分成临时标号和永久标号两种。

前者是可以修改的，后者是不变的。

开始的时候，所有的标号都是临时标号，每一次算法循环，将其中的某一个临时标号改变为永久标号。

因此，最多经过1-n 次，可以求出从起点到终点的最短路径和路程。

Dijkstra 的算法步骤为：设起点为0v ，终点为n v 。

(1)起点标号(一，0)，邻点标号)),(,(00v v L v ，其他标号),(0∝+v 。

令0v V V -=。

(2)如果φ=V ，终止算法。

(3)选择V v k ∈，具有最小标号{})(min )(i V
v k v L v L i ∈=。

如果n k v v =，
终止算法；否则，将k v 的标号改成永久标号，令k v V V -=。

(4)检查k v 的邻点，如果
)()()(i k k i v v L v L v L ++>，则给i v 标号))()()(,(i k k i k v v L v L v L v ++>并返回步骤(2)。

4.2 Floyd 算法
在某些问题中，需要确定图中任意两点之间的最短路径与路程。

如采用Dijkstra 算法求解，则须依次变换起点，重复执行算法n 次才能得到所需结果，这显然过于繁琐。

Floyd 算法可以借助于权矩阵直接求出任意两点之间的最短路径。

首先定义赋权图的权矩阵：n n ij d D ⨯=][这里
⎩⎨
⎧∝∈=否则
当,),(,E
v v d j i ij ij ω 式中，ij w 表示),(j i v v 的权数。

Floyd 的算法步骤：(1)令0=k ，输人权矩阵D D =)0(。

(2)令1+=k k ，计算
n k d D n n k ij k ,,2,1,)()1()( ==⨯- ，式中],,min[)
1()1()1()(---=k kj k ik k ij k ij d d d d 。

(3)如果n k =，
终止算法；否则，返回步骤(2)。

上述算法的最终结果n n n ij n d D ⨯=)()()(中元素)
(n ij
d 就是从顶点i v 到j v 的最短路程。

如果希望计算结果不仅给出任意两点间的最短路程，而且给出具体的最短路径，则在运算过程中要保留下标的信息，即ikj kj ik d d d =+。

5 最短路径问题在消防站选址中的应用
某城市的开发区中要建一个消防站，该开发区的示意图如图1所示，其中10
21,,,v v v 表示开发区中10个消防重点单位，考虑到交通路况，部分单位之间往返的距离不完全相同，分析消防站选址问题。

消防站选址应该遵循到达各个点的距离尽可能短的原则为最好，这样才能做到在火灾发生时尽快赶到火灾现场而不延误灭火时机。

在图1中任取一点V v i ∈，考虑i v 与V 中其他顶点间的距离),(),,(),,(21n i i i v v d v v d v v d ，把这n 个距离中最大数称为顶点i v 的最大服务距离，记做)(i v e 。

要使消防车到达各个点的距离尽可能的短，应选取最大服务距离最小的点，即)](,),(),(m in[)(1021v e v e v e v e i =。

图l 的权矩阵为：
10
9
87
65
43
2
1
0535062603143210652097468029508172802340939
0v v v v v v v v v v D ⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∝∝∝∝∝∝
∝
∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝∝=
109
8
7
6
5
4
3
2
1
v v v v v v v v v v
用Floyd 算法进行计算，得到各个节点之间的最短距离如表l ，其中任意两顶点的最短
路线如表2。

由表1可知：
14)(1=v e ， 12)(2=v e ， 11)(3=v e ， 8)(4=v e ， 9)(5=v e ， 10)(6=v e ， 10)(7=v e ， 9)(8=v e ， 12)(9=v e ， 13)(10=v e
其中4v 点具有最小的最大服务距离，所以把消防队建在4v 最合理。

6 结束语
在实际工作中，我们可以应用图论中最短路径问题的分析方法，科学合理的解决城市中消防站的选址问题。

【参考文献】
[1]李荣钧，邝英强．运筹学[M]．广州：华南理工大学出版社，2002． [2]任善强，雷鸣．数学模型[M]．重庆：重庆大学出版社，2006．
[3]郭耀煌．运筹学原理与方法[M]．成都：西南交通大学出版社，1994．。