中考数学复习专题(六) 与三角形有关的计算与证明
1．(2016·河北)如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上(F ，C 之间不能直接测量)，点A ，D 在l 异侧，测得AB ＝DE ，AC ＝DF ，BF ＝EC.
(1)求证：△ABC ≌△DEF ；
(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．
解：(1)证明：∵BF ＝EC ，
∴BF ＋FC ＝EC ＋FC ，即BC ＝EF.
又∵AB ＝DE ，AC ＝DF ，
∴△ABC ≌△DEF.
(2)AB ∥DE ，AC ∥DF.
理由：∵△ABC ≌△DEF ，
∴∠ABC ＝∠DEF ，∠ACB ＝∠DFE.
∴AB ∥DE ，AC ∥DF.
2．(2017·苏州)如图，∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，点D 在AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O.
(1)求证：△AEC ≌△BED ；
(2)若∠1＝42°，求∠BDE 的度数．
解：(1)证明：∵AE 和BD 相交于点O ，
∴∠AOD ＝∠BOE.
又∵∠A ＝∠B ，
∴∠BEO ＝∠2.
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO.
∴∠AEC ＝∠BED.
在△AEC 和△BED 中，
⎩⎨⎧∠A ＝∠B ，
AE ＝BE ，
∠AEC ＝∠BED ，
∴△AEC ≌△BED(ASA )．
(2)∵△AEC ≌△BED ，
∴EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE.
在△EDC 中，∵EC ＝ED ，∠1＝42°，
∴∠C ＝∠EDC ＝69°.
∴∠BDE ＝∠C ＝69°.
3．(2016·襄阳)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.
(1)求证：AB ＝AC ；
(2)若AD ＝23，∠DAC ＝30°，求AC 的长．
解：(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴DE ＝DF.
又∵BD ＝CD ，
∴Rt △BDE ≌Rt △CDF.
∴∠B ＝∠C.∴AB ＝AC.
(2)∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC.
在Rt △ADC 中，∵∠DAC ＝30°，AD ＝23，
∴AC ＝AD cos 30°
＝4.
4．(2017·重庆)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点E 是AC 上一点，连接BE.
(1)如图1，若AB ＝42，BE ＝5，求AE 的长；
(2)如图2，点D 是线段BE 延长线上一点，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，连接CD ，CF ，当AF ＝DF 时，求证：DC ＝BC.
解：(1)∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，
∴AC ＝BC ＝
22
AB ＝4. ∵BE ＝5，
∴CE ＝BE 2－BC 2＝3.
∴AE ＝4－3＝1.
(2)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠CAB ＝45°.
∵AF ⊥BD ，∴∠AFB ＝∠ACB ＝90°.
∴A ，F ，C ，B 四点共圆．
∴∠CFB ＝∠CAB ＝45°，
∴∠DFC ＝∠AFC ＝135°.
在△ACF 和△DCF 中， ⎩⎨⎧AF ＝DF ，
∠AFC ＝∠DFC ，CF ＝CF ，
∴△ACF ≌△DCF.∴AC ＝DC.
又∵AC ＝BC ，∴DC ＝BC.
5．(2017·北京)在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，P 是线段BC 上一动点(与点B ，C 不重合)，连接AP ，延长BC 至点Q ，使得CQ ＝CP ，过点Q 作QH ⊥AP 于点H ，交AB 于点M.
(1)若∠PAC ＝α，求∠AMQ 的大小；(用含α的式子表示)
(2)用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系，并证明．
解：(1)∵∠PAC ＝α，△ACB 是等腰直角三角形，
∴∠BAC ＝∠B ＝45°，∠PAB ＝45°－α.
∵QH ⊥AP ，
∴∠AHM ＝90°.
∴∠AMQ ＝180°－∠AHM －∠PAB ＝45°＋α.
(2)PQ ＝2MB.理由如下：
连接AQ ，作ME ⊥QB 于点E ，
∵∠PAC ＋∠APC ＝∠MQE ＋∠APC ＝90°，
∴∠PAC ＝∠MQE.
∵AC ⊥QP ，CQ ＝CP ，∴∠QAC ＝∠PAC ＝α.
∴∠QAM ＝45°＋α＝∠AMQ.
∴AP ＝AQ ＝QM.
在△APC 和△QME 中，
⎩⎨⎧∠PAC ＝∠MQE ，
∠ACP ＝∠QEM ，AP ＝QM ，
∴△APC ≌△QME(AAS )．
∴PC ＝ME.
∵△MEB 是等腰直角三角形，
∴MB ＝2ME ＝2PC ＝22
PQ ， 即PQ ＝2MB.
6．如图，已知∠ABC ＝90°，D 是直线AB 上的点，AD ＝BC.
(1)如图1，过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF ＝BD ，连接DC ，DF ，CF ，判断△CDF 的形状并证明；
(2)如图2，E 是直线BC 上一点，且CE ＝BD ，直线AE ，CD 相交于点P ，∠APD 的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
解：(1)△CDF 是等腰直角三角形．理由如下：
∵AF ⊥AD ，∠ABC ＝90°，
∴∠FAD ＝∠DBC.
在△FAD 和△DBC 中，
⎩⎨⎧AD ＝BC ，
∠FAD ＝∠DBC ，AF ＝BD ，
∴△FAD ≌△DBC(SAS )．
∴FD ＝DC.
∴△CDF 是等腰三角形．
∵△FAD ≌△DBC ，
∴∠FDA ＝∠DCB.
∵∠BDC ＋∠DCB ＝90°，
∴∠BDC ＋∠FDA ＝90°，即∠CDF ＝90°. ∴△CDF 是等腰直角三角形．
(2)∠APD 的度数是固定值．
作AF ⊥AB 于A ，使AF ＝BD ，连接DF ，CF. ∵AF ⊥AD ，∠ABC ＝90°，
∴∠FAD ＝∠DBC ，AF ∥CE. 在△FAD 和△DBC 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，
∠FAD ＝∠DBC ，AF ＝BD ， ∴△FAD ≌△DBC(SAS )．
∴FD ＝DC.
∴△CDF 是等腰三角形．
∵△FAD ≌△DBC ，
∴∠FDA ＝∠DCB.
∵∠BDC ＋∠DCB ＝90°，
∴∠BDC ＋∠FDA ＝90°，即∠CDF ＝90°. ∴△CDF 是等腰直角三角形．
∴∠FCD ＝45°.
∵AF ∥CE ，且AF ＝BD ＝CE ，
∴四边形AFCE 是平行四边形．
∴AE ∥CF.
∴∠APD ＝∠FCD ＝45°.。