3.2 等比数列的前n 项和(一)学习目标 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点一 等比数列的前n 项和公式的推导思考 对于S 64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S 64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S 64?梳理 设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和S n 可用下面的“错位相减法”求得．S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.①则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1＋a 1q n.②由①－②得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n.当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q.当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1. 结合通项公式可得： 等比数列前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q n1－q＝a 1－a n q 1－q q ≠1，na 1q ＝1.知识点二 等比数列的前n 项和公式的应用 思考 要求等比数列前8项的和：(1)若已知数列的前三项，用哪个公式比较合适？ (2)若已知a 1，a 9和q ，用哪个公式比较合适？ 梳理 一般地，使用等比数列求和公式时需注意： (1) 一定不要忽略q ＝1的情况；(2) 知道首项a 1、公比q 和项数n ，可以用a 11－q n 1－q ；知道首尾两项a 1，a n 和q ，可以用a 1－a n q 1－q；(3) 在通项公式和前n 项和公式中共出现了5个量：a 1，n ，q ，a n ，S n .知道其中任意三个，可求其余两个．简称为：“知三求二”．类型一 等比数列前n 项和公式的应用命题角度1 前n 项和公式的直接应用 例1 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.反思与感悟 求等比数列前n 项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q ＝1是否成立．跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.命题角度2 通项公式、前n 项和公式的综合应用 例2 在等比数列{a n }中，S 2＝30，S 3＝155，求S n .反思与感悟 (1) 在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．(2)在前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．跟踪训练2 在等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝6，求a 3和q . 类型二 等比数列前n 项和的实际应用例3 某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长14.求n 年内的总投入与n 年内旅游业的总收入．反思与感悟 解应用题先要认真阅读题目，理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题．跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 等于( ) A.1－x n1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n1－x ，x ≠1，n ，x ＝1D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1，n ，x ＝12．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( ) A ．2 B ．4 C.152 D.1723．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( ) A ．179 B ．211 C ．243 D ．2754．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．答案精析问题导学 知识点一思考 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S 64，即S 64＝1－2641－2＝264－1.知识点二思考 (1)用S n ＝a 11－q n1－q；(2)用S n ＝a 1－a n q1－q. 题型探究例1 解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12[1－128]1－12＝255256. (2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13.所以S 8＝27[1－－138]1－－13＝1 64081.跟踪训练1 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ， ∵a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40， ∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20， 解得q ＝2，且a 1＝2.因此S n ＝a 11－q n 1－q＝2n ＋1－2.例2 解 方法一 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＝30，a 11＋q ＋q2＝155，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56.从而S n ＝51－5n1－5＝54(5n－1) 或S n ＝180[1－－56n]1－－56＝1 080[1－－56n]11，n ∈N ＋.方法二 若q ＝1，则S 3∶S 2＝3∶2， 而事实上，S 3∶S 2＝31∶6，故q ≠1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q 21－q＝30， ①a11－q 31－q＝155， ②两式作比，得1＋q 1＋q ＋q 2＝631， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56，从而S n ＝51－5n1－5＝54(5n－1) 或S n ＝180[1－－56n]1－－56＝1 080[1－－56n]11，n ∈N ＋.跟踪训练2 解 由题意，得若q ＝1，则S 3＝3a 1＝6，符合题意． 此时，q ＝1，a 3＝a 1＝2.若q ≠1，则由等比数列的前n 项和公式，得S 3＝a 11－q 31－q ＝21－q 31－q＝6，解得q ＝－2.此时，a 3＝a 1q 2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q ＝1，a 3＝2或q ＝－2，a 3＝8.例3 解 第1年投入800万元，第2年投入800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15万元，…，第n 年投入800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15所以每年的投入构成首项为800，公比为(1－15)的等比数列．故n 年内的总投入a n ＝800＋800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋…＋800× ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1 ＝4 000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n (万元)．同理，第1年收入400万元，第2年收入400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14万元，…，第n 年收入400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1万元．所以每年的收入构成首项为400，公比为(1＋14)的等比数列．所以总收入b n ＝400＋400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋…＋400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1＝1 600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1.所以n 年内的总投入为4 000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ， n 年内旅游业的总投入为1 600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1. 跟踪训练3 解 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度， 由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 11－q n1－q＝25×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n 1－45＝125×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.1．C 2.C 3.B 4.11a(1.15－1)。