学案30 等比数列及其前n 项和导学目标： 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．自主梳理1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝______________. 3．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·________ (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则__________________________．(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n } (λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．(4)单调性：⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<00<q <1⇔{a n }是________数列；⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0q >1⇔{a n }是________数列；q ＝1⇔{a n }是____数列；q <0⇔{a n }是________数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1q n －1q －1＝a 1q n q －1－a 1q －1.6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为______．自我检测1．“b ＝ac ”是“a 、b 、c 成等比数列”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n－a ，数列{a n }为等比数列，则实数a 的值是 ( )A ．3B ．1C ．0D ．－13．(2011·温州月考)设f (n )＝2＋24＋27＋…＋23n ＋1 (n ∈N *)，则f (n )等于 ( )A.27(8n －1)B.27(8n ＋1－1) C.27(8n ＋2－1) D.27(8n ＋3－1) 4．(2011·湖南长郡中学月考)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －2，a ＋2，a ＋8，则a n 等于( )A ．8·⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．8·⎝ ⎛⎭⎪⎫23nC ．8·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1D ．8·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －15．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1 (n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.探究点一 等比数列的基本量运算例1 已知正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36，求数列{a n }的通项a n 和前n 项和S n .变式迁移1 在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2·a n －1＝128，S n ＝126，求n 和q .探究点二 等比数列的判定例2 (2011·岳阳月考)已知数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n＋5，n ∈N *.(1)证明数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的通项公式以及S n .变式迁移2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．探究点三 等比数列性质的应用例3 (2011·湛江月考)在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝8，且1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝2，求a 3.变式迁移3 (1)已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，求b 5＋b 9的值；(2)在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，求a 41a 42a 43a 44.分类讨论思想与整体思想的应用例 (12分)设首项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为80，它的前2n 项和为6 560，且前n 项中数值最大的项为54，求此数列的第2n 项．【答题模板】解 设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1＝2S n . ∵S 2n ＝6 560≠2S n ＝160，∴q ≠1，[2分]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q n1－q＝80， ①a11－q 2n1－q＝6 560. ②[4分]将①整体代入②得80(1＋q n)＝6 560， ∴q n＝81.[6分]将q n＝81代入①得a 1(1－81)＝80(1－q )， ∴a 1＝q －1，由a 1>0，得q >1， ∴数列{a n }为递增数列．[8分] ∴a n ＝a 1qn －1＝a 1q·q n＝81·a 1q＝54.∴a 1q ＝23.[10分] 与a 1＝q －1联立可得a 1＝2，q ＝3，∴a 2n ＝2×32n －1 (n ∈N *)．[12分] 【突破思维障碍】(1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．(2)函数的思想：等比数列的通项公式a n ＝a 1qn －1＝a 1q·q n(q >0且q ≠1)常和指数函数相联系．(3)整体思想：应用等比数列前n 项和时，常把q n，a 11－q当成整体求解． 本题条件前n 项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将q n和a 11－q n1－q的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用．1．等比数列的通项公式、前n 项公式分别为a n ＝a 1q n －1，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1， q ＝1，a 11－q n1－q， q ≠1.2．等比数列的判定方法：(1)定义法：即证明a n ＋1a n＝q (q ≠0，n ∈N *) (q 是与n 值无关的常数)． (2)中项法：证明一个数列满足a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2 (n ∈N *且a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0)．3．等比数列的性质：(1)a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)；(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n ；(3)设公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n.4．在利用等比数列前n 项和公式时，一定要对公比q ＝1或q ≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．5．等差数列与等比数列的关系是：(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列； (2)若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lg a n }构成等差数列．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·辽宁)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于 ( )A.152B.314C.334D.1722．(2010·浙江)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于 ( )A ．－11B ．－8C ．5D ．113．在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前三项的和S 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．72C ．84D ．1894．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是 ( )A ．T 10B ．T 13C ．T 17D ．T 255．(2011·佛山模拟)记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) 题号 1 2 3 4 5 答案 6．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为________． 7．(2011·平顶山月考)在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________.8．(2010·福建)在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)(2010·陕西)已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)求数列{2a n }的前n 项和S n .10．(12分)(2011·廊坊模拟)已知数列{log 2(a n －1)}为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5. (1)求证：数列{a n －1}是等比数列；(2)求1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n的值．11．(14分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 010.答案 自主梳理1．公比 q 2.a 1·q n －1 4.(1)q n －m(2)a k ·a l ＝a m ·a n(4)递增 递减 常 摆动 6.q n自我检测1．D 2.B 3.B 4.C 5.－9 课堂活动区例1 解题导引 (1)在等比数列的通项公式和前n 项和公式中共有a 1，a n ，q ，n ，S n五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量．解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；(2)本例可将所有项都用a 1和q 表示，转化为关于a 1和q 的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化．解 方法一 由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧ a 21q 4＋2a 21q 6＋a 21q 8＝100，a 21q 4－2a 21q 6＋a 21q 8＝36.①②①－②，得4a 21q 6＝64，∴a 21q 6＝16.③代入①，得16q2＋2×16＋16q 2＝100.解得q 2＝4或q 2＝14.又数列{a n }为正项数列，∴q ＝2或12.当q ＝2时，可得a 1＝12，∴a n ＝12×2n －1＝2n －2，S n ＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12；当q ＝12时，可得a 1＝32.∴a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝26－n.S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝64－26－n.方法二 ∵a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，a 2a 6＝a 3a 5，a 3a 7＝a 4a 6＝a 25，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，a 23－2a 3a 5＋a 25＝36，即⎩⎪⎨⎪⎧(a 3＋a 5)2＝100，(a 3－a 5)2＝36.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝10，a 3－a 5＝±6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 5＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝2，a 5＝8.当a 3＝8，a 5＝2时，q 2＝a 5a 3＝28＝14.∵q >0，∴q ＝12，由a 3＝a 1q 2＝8，得a 1＝32，∴a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝26－n.S n ＝32－26－n×121－12＝64－26－n.当a 3＝2，a 5＝8时，q 2＝82＝4，且q >0，∴q ＝2.由a 3＝a 1q 2，得a 1＝24＝12.∴a n ＝12×2n －1＝2n －2.S n ＝12(2n－1)2－1＝2n －1－12.变式迁移1 解 由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a n －1＝a 1·a n ＝128，a 1＋a n ＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64.若⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝64，a n ＝2，则S n ＝a 1－a n q 1－q ＝64－2q1－q＝126，解得q ＝12，此时，a n ＝2＝64·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴n ＝6.若⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64，则S n ＝2－64q1－q＝126，∴q ＝2.∴a n ＝64＝2·2n －1.∴n ＝6. 综上n ＝6，q ＝2或12.例2 解题导引 (1)证明数列是等比数列的两个基本方法：①a n ＋1a n ＝q (q 为与n 值无关的常数)(n ∈N *)． ②a 2n ＋1＝a n a n ＋2 (a n ≠0，n ∈N *)．(2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法．(1)证明 由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N *， 可得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4，两式相减得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1， 即a n ＋1＝2a n ＋1，从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5， 所以a 2＋a 1＝2a 1＋6， 又a 1＝5，所以a 2＝11， 从而a 2＋1＝2(a 1＋1)，故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N *，又a 1＝5，a 1＋1≠0，从而a n ＋1＋1a n ＋1＝2，即数列{a n ＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．(2)解 由(1)得a n ＋1＝6·2n －1，所以a n ＝6·2n －1－1，于是S n ＝6·(1－2n)1－2－n ＝6·2n－n －6.变式迁移2 (1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4； 当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6， ∴a 3＝8.(2)证明 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2.∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋2＝2， 故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．例3 解题导引 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．解 由已知得1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝a 1＋a 5a 1a 5＋a 2＋a 4a 2a 4＋a 3a 23＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5a 23＝8a 23＝2，∴a 23＝4，∴a 3＝±2.若a 3＝－2，设数列的公比为q ，则－2q 2＋－2q－2－2q －2q 2＝8， 即1q 2＋1q＋1＋q ＋q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＋122＋12＝－4. 此式显然不成立，经验证，a 3＝2符合题意，故a 3＝2.变式迁移3 解 (1)∵a 3a 11＝a 27＝4a 7， ∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝4，∵{b n }为等差数列，∴b 5＋b 9＝2b 7＝8.(2)a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41q 6＝1.① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15 ＝a 41·q 54＝8.②②÷①：a 41·q 54a 41·q6＝q 48＝8⇒q 16＝2，又a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)·(q 16)10＝1·210＝1 024. 课后练习区1．B [∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1，∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q2＋1q＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q2＝4.∴S 5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.]2．A [由8a 2＋a 5＝0，得8a 1q ＋a 1q 4＝0，所以q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.]3．C [由题可设等比数列的公比为q ，则3(1－q 3)1－q＝21⇒1＋q ＋q 2＝7⇒q 2＋q －6＝0⇒(q ＋3)(q －2)＝0，根据题意可知q >0，故q ＝2.所以a 3＋a 4＋a 5＝q 2S 3＝4×21＝84.]4．C [a 3a 6a 18＝a 31q 2＋5＋17＝(a 1q 8)3＝a 39，即a 9为定值，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T 17为定值．]5．D [因为等比数列{a n }中有S 3＝2，S 6＝18，即S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝182＝9， 故q ＝2，从而S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33.]6．127解析 ∵公比q 4＝a 5a 1＝16，且q >0，∴q ＝2，∴S 7＝1－271－2＝127.7.1207解析 ∵S 99＝30，即a 1(299－1)＝30，∵数列a 3，a 6，a 9，…，a 99也成等比数列且公比为8，∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝4a 1(1－833)1－8＝4a 1(299－1)7＝47×30＝1207.8．4n －1解析 ∵等比数列{a n }的前3项之和为21，公比q ＝4，不妨设首项为a 1，则a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝a 1(1＋4＋16)＝21a 1＝21，∴a 1＝1，∴a n ＝1×4n －1＝4n －1.9．解 (1)由题设知公差d ≠0， 由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列， 得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d，…………………………………………………………………………(4分)解得d ＝1或d ＝0(舍去)．故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n .……………………………………………………(7分)(2)由(1)知2a n ＝2n，由等比数列前n 项和公式，得S n ＝2＋22＋23＋ (2)＝2(1－2n)1－2＝2n ＋1－2.………………………………………………………………………………(12分)10．(1)证明 设log 2(a n －1)－log 2(a n －1－1)＝d (n ≥2)，因为a 1＝3，a 2＝5，所以d ＝log 2(a 2－1)－log 2(a 1－1)＝log 24－log 22＝1，…………………………………………………………(3分)所以log 2(a n －1)＝n ，所以a n －1＝2n，所以a n －1a n －1－1＝2 (n ≥2)，所以{a n －1}是以2为首项，2为公比的等比数列．………(6分)(2)解 由(1)可得a n －1＝(a 1－1)·2n －1，所以a n ＝2n＋1，…………………………………………………………………………(8分)所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝122－2＋123－22＋…＋12n ＋1－2n ＝12＋122＋…＋12n ＝1－12n .………………………………………………………………(12分)11．解 (1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ，∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )． 解得d ＝2(d ＝0舍)．……………………………………………………………………(2分) ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.………………………………………………………………(3分)又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9， ∴数列{b n }的公比为3，∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.………………………………………………………………………(6分)(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n＝a n ＋1得当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n . 两式相减得：当n ≥2时，c nb n＝a n ＋1－a n ＝2.……………………………………………(9分)∴c n ＝2b n ＝2·3n －1(n ≥2)．又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3.∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1)2·3n －1(n ≥2).……………………………………………………………(11分)∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 010＝3＋6－2×32 0101－3＝3＋(－3＋32 010)＝32 010.…………………………………………(14分)。