例 电路如图(a)所示，t=0时开关S由1板向2，在t＜0
时电路处于稳定。求初始值i1(0+)、 i2(0+)和uL(0+)。
Us 9 (1) 由t＜0时的电路，求iL(0-)。 iL (0 ) 3A R1 3
(2) 画出0+等效电路。根据换路定律，有 (3) 由0+等效电路，计算各初始值。
例 电路如图所示。t＜0时电路处于稳定， t=0
时开关S打开。求t＞0 时的电流iL和电压uR、uL。
§6.5 线性动态电路的叠加原理


线性动态电路的叠加原理 （1）全响应＝零状态响应＋零输入响应 （2）零状态响应线性 （3）零输入响应线性
t 0 uCh Ae Ae
pt
t RC
uCp K uCp K U s
RC
uC (0 ) A U s 0

t
A U s
t
uC U s (1 e )V t 0 duC U s iC e A t 0 dt R
令
RC , 具有时间量纲,即
u(t ) (t )V i (t ) (t ) A
1A电流源在t＝0时接入，则端口电流为
0 (t t0 ) 1
t t0 t t0
阶跃函 (t ) A (t t0 ) A[ (t ) (t t0 )]
处于稳定。当 t=0时开关闭合，求初始值 i1(0+)，
i2(0+)和iC(0+)。
(1) 求开关闭合前的电容电压uC(0-)。由于开关闭合前电路已
处于稳定， uC(t)不再变化，duC/dt=0，故 iC=0，电容可看 作开路。t=0-时电路如图所示
uC (0 ) 12V
(2) 画出0+等效电路。根据换路定律有
uC (0 ) I s R0 , uC () 0
RC
uC (t ) uC (0 )e t / I s R0 e t /( RC )
零输入响应性质


初始状态可以看成是电路的激励，若初始 状态增大m倍，则零输入响应也增大m倍， 这称为零输入响应比例性 零输入响应是初始状态的线性函数，简称 零输入响应线性或比例性
电路量的初始值计算
把电路发生换路的时刻记为 t0，把换路前一瞬
间记为t0-，而把换路后一瞬间记为 t0+ 。当t=t0+时，
电容电压uC和电感电流iL分别为
1 t0 uC (t0 ) uC (t0 ) iC ( )d C t0 1 t0 iL (t0 ) iL (t0 ) uL ( )d L t0

求初始值的步骤如下：
(1) 由t＜0时的电路， 求出uC(0-), iL(0-)； (2) 画出0+等效电路； (3) 由0+等效电路，求出各电流、电压的初始 值。

§6.2 零状态响应

叠加原理 电路全响应＝零状态响应＋零输入响应
＝
＋
电路的零状态响应：电路的初始储能为零， 仅由t≥0外加激励所产生的响应。
f (t ) A (t ) A (t t0 )
根据线性时不变特性，该电路的零状态响应为
y f (t ) Ag (t ) Ag (t t0 )
例 电路及其激励 is的波形如图所示。求uC的零状态
响应。
激励和响应分别为
is (t ) 2 (t ) 2 (t 2) A uC (t ) 2 g (t ) 2 g (t 2)V
RC
到达稳态后电容开路
uc () I s R
uc (t ) uc ()(1 e t / ) I s R(1 e t / ) duC 1 t / ic (t ) C CI s R e I s e t / dt
零状态响应性质



一阶电路的单位阶跃响应
当激励为单位阶跃函数时，电路的 零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶 跃响应。
例 图(a)所示电路，若以电流 iL 求阶跃响应。
根据阶跃响应的定义，令us=ε(t)，它相当于1V电压
源在t=0时接入电路，如图(b)所示，而且电路的初始 状态iL(0+)=iL(0-)=0。
iL的稳态值为
C
N2
动态电路的方程
RC串联电路
电路中开关的接通、断开或者电路
参数的突然变化等统称为“换路”。 根据KVL列出电路的回路电压方程为
uR (t ) uC (t ) us (t )
由于
duC duC iC , uR Ri RC dt dt
代入并整理得
duC 1 1 uC us dt RC RC
uC (0 ) 0V , uC () 6 1 6V
RC 10 0.2 2s
故阶跃响应为
g (t ) 6(1 e
t 2
1 t 2
) (t )V
t 2 2
零状态响应为
uCf (t ) 12(1 e ) (t ) 12(1 e
其初始条件为
uC (0 ) 0
零状态 齐次解＋特解
uC uCh uCp
duCh 1 uCh 0 dt RC
其特征方程为
1 p 0 RC
1 p RC
t RC
uCh Ae Ae
pt
uCp K
t 0
不同激励时动态电路的特解
duC 1 1 uC (t ) u s (t ) dt RC RC
uC (t0 ) uC (t0 ) iL (t0 ) iL (t0 )
若在t=t0处，电容电流iC和电感电压uL 为有限值，则电容电
压uC和电感电流iL在该处连续，它们不能跃变。
换路定律：电路在t0 时刻换路时，电容电压 uC 和电感电流 iL 在该时刻连续，不能跃变。
若选择 t0=0
uC (0 ) uC (0 ) iL ( 0 ) iL ( 0 )
根据置换定理，在t=t0+时，用电压等于u(t0+)的电压 源替代电容元件，用电流等于iL(t0+)的电流源替代电感元件，
独立电源均取t=t0+时的值，即可求初始值。
例 电路如图(a)所示。在开关闭合前， 电路已
) (t 2)V
§6.4 零输入响应
把外施激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的
电流和电压，称为动态电路的零输入响应。
一阶RC电路的零输入响应



从物理意义看，零输入响应是依靠动态元件的初 始储能进行的，当电路中存在耗能元件R时，储能 最终将被耗尽，零输入响应终将为零。这是一切 含有耗能元件的动态电路的零输入响应的特点。 零输入响应可以看作是动态元件非零初始状态激 励下的零状态响应。 由初始状态和时间常数即可确定状态变量值
diL R R iL I s dt L L
R 1 p L
t
L R
K Is
齐次解 iLh
Ae


特解 iLP K
t
iL iLh iLp Ae
iL (0 ) A I s 0

Is
A I s
iL I s (1 e ) A
iR (t ) iL (t ) is (t )
uL diL i , uL L R dt
RL并联电路
diL R R iL is dt L L
RLC串联电路
若仍以电容电压uC(t)作为电
路响应，根据KVL可得
uL (t ) uR (t ) uC (t ) us (t )
由于
duC duC di d 2uC i C , uR Ri RC , uL L LC 2 dt dt dt dt d 2uC R duC 1 1 uC us 2 dt L dt LC LC
一般而言，若电路中含有n个独立的动态元件，
那么描述该电路的常微分方程是 n 阶的，称为 n 阶 电路。
uC (0 ) uC (0 ) 12V
(3) 由0+等效电路，计算各 电流的初始值
U s uC (0 ) 12 12 i1 (0 ) 0 R1 4 uC (0 ) 12 i2 (0 ) 1.5 A R2 8 iC (0 ) i1 (0 ) i2 (0 ) 1.5 A
如果电路元件的参数不随时间变化，则该电路
为时不变电路。这时，电路的零状态响应的函数
形式与激励接入电路的时间无关，即
f (t ) y f (t ) f (t t0 ) y f (t t0 )
时不变特性
电路的线性时不变特性，将给电路的计算带来 许多方便。例如，若电路的激励为矩形脉冲信号， 即
一阶RC电路的零状态响应
t≥0
u s (t ) uC (t ) i (t ) R
uR (t ) uC (t ) us (t )
duC duC i (t ) C , u R (t ) Ri (t ) RC dt dt
duC 1 1 uC (t ) u s (t ) dt RC RC
τ称为动态电路的时间常数
电路在t＜0时，处于稳定状态，电容上的电压为 0 。当 电路发生换路后，电容电压由uC(0+)逐渐上升到Us，我们把 这一过程称为过渡过程，或称为暂态过程。当t→∞时，过渡 过程结束，电路又处于另一稳定状态。时间常数τ的大小反
映了电路过渡过程的进展速度，τ越大，过渡过程的进展越
R2 6 i1 (0 ) iL ( 0 ) 3 2A R1 R2 3 6 i2 (0 ) i1 (0 ) iL (0 ) 2 3 1A uL (0 ) R2i2 (0 ) 6 ( 1) 6V