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和单笔款项一样，收益流的将来值定义为将 其存入银行并加上利息之后的存款值；而收益流 的现在值是这样一笔款项，你若把它存入可以获 得利息的银行，你就可以在将来从收益流中获得 预期达到的存款值．
在讨论连续收益流时，我们假设利息是以连 续复利的方式盈取．
如果有一笔用P(t)（元/年）表示的收益流， 设年利率为r，下面计算其现在值和将来值．
首页 上页 下页 12 2Q，
而 (1) 10 0 ， Q1 1为极小值.
(11) 10 0 , Q2 11为极大值.
由实际问题知所求最大利润一定存在，所以 Q2 11 为所求最大值点，即当产量为11时总利润最大，且
因此在 [t,t dt]内，
收益流的现值 [P(t)dt]ert P(t)ertdt
从而
总现值 T P(t)ert dt 0
在计算将来值时，收益P(t)dt在以后的(T t)年期间
获息.
因此在 [t,t dt]内，
收益流的将来值 [P(t)dt]er(T t) P(t)er(T t)dt
于是
x
u(x) u(0) 0 u(x)dx.
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具体来说，假设已知边际成本函数、边际收益函
数分别为MC 和 MR，由微分学知识
MC dC , dQ
MR dR . dQ
于是，总成本函数可表为
C(Q)
Q
0 (MC)dQ C0
(其中 C0为固定成本).
0
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将来值
20
100e
0.1( 20t
)
dt

100e
2
20 e 0.1t dt
0
0
1000e2 (1 e2 ) 6389.06.
显然
将来值 = 现值 e2 .
若在t =0时刻以现值1000(1 e2 )作为一笔款项存入银
行，以年连续复利率r =0.1来计息，则20年中这笔单
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考虑从现在开始(t = 0)到T年后这时间段．用微元法 ， 在[0,T ]内，任取一小区间 [t,t dt] ， 在[t,t dt]内将 P(t)近似看成常数，则所获得的金额近似等于P(t)dt（元）
从现在(t = 0)算起，P(t)dt这一金额是在t年后的将来获得，
最大利润为
(11) 1111
3
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5.6.2 收益流的现值和将来值
当我们支付给某人款项或某人获得款项时，通常把 这些款项当成离散地支付或者获得，即在某些特定的时 刻支付或者获得的，但一个大型公司的收益，一般来说 是随时流进的，因此这些收益可以被看作一种随时间连 续变化的收益流．既然收益流进公司的速率是随时间连 续变化的，所以收益流就被表示成 P(t)（元/年）．
10年付清，每年付款数相同．若以年连续复利率r=0.04
来计息，每年应付多少万元？
解 设每年付款A万元，由已知，全部付款的总现值
为5000万元，于是 即
5000 10 Ae0.04t dt A (1 e0.4 )
0
0.04
200 A(1 0.6703),
解得A=606.61(万元)．于是每年应付款606.61万元．
例5-34 设生产某产品的固定成本为50，边际成 本和边际收益分别为
MC Q2 14Q 111, MR 100 2Q. 问：产量为多少时总利润最大？并求出最大利润．
解
(Q)
Q 0
(MR

MC )dQ

C0

Q3 3

6Q2
11Q
50
令 (Q) 0 ， 即 Q2 12Q 11 0,
独款项的将来值为
1000(1 e2 )e0.1(20)1000(1 e2 )e2
而这正好是上述收益流在20年期间的将来值．
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一般来说，以年连续复利率来计息，则在从现在 起到T年后该收益流的将来值，等于将该收益流的现值 作为单笔款项存入银行T年后的将来值．
例4-36 一栋楼房现售价5000万元，分期付款购买，
5.6 定积分在经济中的应用
已知边际函数求总函数 收益流的现值和将来值
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5.6.1 已知边际函数求总函数
在经济问题中,经常都要涉及到各种经济量的总量.
这些总量,在已知边际量的条件下,可以用定积分来进
行计算.
设经济应用函数u(x)的边际函数为u(x) ，则有
x
0 u(x)dx u(x) u(0)
从而
将来值 T P(t)er(T t)dt 0
例4-35 假设以年连续复利率r = 0.1来计息，求每年
都以100元流进的收益流在20年期间内的现值和将来
值，将来值和现值的关系如何？试加以解释．
解
现值
20
100e
0.1t
dt
0
100(
e 0.1t 0.1
)
20

864.66.
总收益函数可表为 总利润函数可表为
Q
R(Q) 0 (MR)dQ.
Q
(Q) 0 (MR MC)dQ C0.
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例5-33 已知某产品的边际成本函数为 MC 3Q2 18Q 36
且固定成本为6，求总成本函数．
解 C(Q) Q (3Q2 18Q 36)dQ 6 0 Q3 9Q2 36Q 6.