于是有：
上式把任意一个序列 表示成一串移位的单位
脉冲序列
的线性组合，其中 是权因子
二. 卷积和（Convolution sum）
定义： 离散时间LTI系统的单位脉冲响应( impulse
response )
[n]
LTI
h[n]
时不变性
[n]
[n k]
齐次性
x[k][n k]

u(k) *u(k) u(i) *u(k i) i k u(k)1 (k 1)u(k) i0
例：4) aiu(k) u(k 4 i) i
k 4
u(k 4) ai (1 a a2 ... ak4)u(k 4) i0
如果解决了信号分解的问题，即：若有
x(t) ai xi (t)
i
则 y(t) ai yi (t)
i
分析方法：
xi (t) yi (t)
将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换 域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、 频域分析法和变换域分析法
2.1 离散时间LTI系统：卷积和
注意：n 为参变量
例2：
解：
（1）换元：k换为i→ 得f1(i)，f2(i) （2）反转平移：由f2(i) 反转→f2(–i)，再右移k →f2(k –i)
（3）乘积：f1(i) f2(k –i) （4）求和：i 从–∞到∞ 对乘积项求和
1
k
0
① n 0 时，
②
时，
所以
例3：
① n 0 时，
② 0 n 4 时，
③ 4 n 6 时，
④ 6 n 10 时， ⑤ n 10 时，
列表法
分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：
① x(n) 与 h(n) 的所有各点都要遍乘一次

② 在遍乘后，各点相加时，根据 x(k)h(n k)， k
参与相加的各点都具有 x(k)与 h(n k)的宗量之
k
k
n k 1 n1 u(n)
k 0
1
图解法 将一个信号 x(k)不动，另一个信号经反转后为 h(k) ,
再随参变量 n移位。在每个n 值的情况下，将 x(k) 与
h(n k)对应点相乘，再把乘积的各点值累加，即得到
n 时刻的 y(n)
可分解为四步，对f (n) =x(n) ＊h(n) （1）换元：n换为k→得x(k)，h(k) （2）反转平移：由h(k)反转→h(–k)右移n位 →h(n –k) （3）乘积：x(k) h(n –k) （4）求和：k 从–∞到∞对乘积项求和
单位脉冲响应完全表征LTI系统的特性
三. 卷积和的计算
计算方法：
有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）
解析法
例： f (k) aku(k) h(k) bku(k) 求 y f (k)

y f (k) f (k) * h(k) f (i)h(k i) i aiu(i)bkiu(k i) i
ak4 1u(k 4) a 1
例： x(n) nu(n) 0 1 h(n) u(n)
x(k) ku(k)
1
0
k ...
h(n k) u(n k)
1
k
0
n
y(n) x(n) h(n)


x(k)h(n k) ku(k)u(n k)
问题的实质：
1. 研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任 意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线 性组合来构成任意信号 2. 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应
作为基本单元的信号应满足以下要求： 1. 本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示 （构成）尽可能广泛的其它信号 2. LTI系统对这种信号的响应易于求得
通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对 于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是 很有用的。
四. 卷积和运算的性质 1. 交换律：
结论： 一个单位冲激响应是h[n]的LTI系统对输入信
号x[n]所产生的响应，与一个单位冲激响应是x[n] 的LTI系统对输入信号h[n]所产生的响应相同。
当i 0,u(i) 0;当i k,u(k i) 0
y
f
(k
)

[
i
k 0
aibk
i
]u
(k
)

bk
[
k i0
(
a b
)i
]u
(k
)

bk
1 ( 1
a )k1 b (a) b
u(k
),
a

b
bk (k 1)u(k),a b
例：求 u(k) *u(k)
（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）
一. 用单位脉冲表示离散时间信号
离散时间信号中,最简单的是 ,可以由它的线性组
合构成
，即：
对任何离散时间信号 ,如果每次从其中取出一个 点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可 以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲
可加性

x[k][n k]
k
h[n]
LTI
h[n k]
LTI
x[k]h[n k]

LTI
x[k]h[n k]
k
LTI系统对任何输入信号 的响应：
上面这种求得系统响应的运算关系称为卷积和（The convolution sum） 这表明：一个LTI系统对任意输入的响应都可以由它 的单位脉冲响应来表示 卷积的意义：
和为 n 的特点。
x(0) x(1) x(2) x(3)
h(n) x(n) 1 0 2 1
h(1) 1 h(0) 2 h(1) 0 h(2) 3 h(3) 1
1021 y(1)
2042 y(0) 0 0 0 0 y(1) 3 0 6 3
y(2) 1 0 2 1 y(3) y(4) y(5) y(6)
信号与系统(第二章)
引言 ( Introduction )
LTI系统特点: 齐次性和可加性，具有时不变性 信号与系统分析理论与方法的基础
基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号 的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号 的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任 意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响 应的线性组合