基本方法：点差法适用类型：出现弦中点和斜率的关系已知椭圆C ：22233b y x =+，过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点，求直线ON （O 为坐标原点）的斜率K ON 。

解：设00(,)N x y ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将其带入椭圆C 得：22211222223333x y b x y b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②①减②，并整理，得：12121212()()3()()x x x x y y y y +-=-+- 进一步整理：012012111333ON AB y x x k x y y k -==-=-=--题型：求轨迹方程类型：弦中点型曲线E ：2212516x y +=，过点Q （2,1）的E 弦的中点的轨迹方程。

解：设直线与椭圆交与1122(,),(,)G x y H x y 两点，中点为00(,)S x y由点差法可得：弦的斜率01212121201616()25()25x y y x x k x x y y y -+==-=--+, 由00(,)S x y ，Q （2,1）两点可得弦的斜率为0012y k x -=-, 所以0000116225y x k x y -==--， 化简可得中点的轨迹方程为：22162532250x y x y +--=.练习：已知直线l 过椭圆E:2222x y +=的右焦点F ，且与E 相交于,P Q 两点.设1()2OR OP OQ =+（O 为原点），求点R 的轨迹方程 答案：2220x y x +-=类型：动点型在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段PP ′，P ′为垂足.求线段PP ′中点M 的轨迹C 的方程。

解：设M (x ，y )，P （x 1，y 1），则).,0(1y P '则有：44,2,222211111=+⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==y x y y x x y y y x x 代入即得轨迹C 的方程为.1422=+y x练习设12,F F 分别是椭圆C ：22143x y +=的左右焦点，K 是椭圆C 上的动点，求线段1KF 的中点B 的轨迹方程。

解：221()1324y x ++=练习：已知)0,3(-P ,点R 在y 轴上，点Q 在x 的正半轴上，点M 在直线RQ 上，且0=⋅23,-=.当R 在y 轴上移动时，求M 点轨迹C答案：x y 42=类型：动线交点型设向量(0,2),(1,0)a b ==，过定点(0,2)A -，以a b λ+方向向量的直线与经过点(0,2)B ，以向量2b a λ-为方向向量的直线相交于点P ，其中R λ∈，求点P 的轨迹C 的方程。

解：设(,)P x y ∵(0,2),(1,0)a b ==，∴(0,2)(1,0)(,2)a b λλλ+=+=，2(1,0)2(0,2)(1,4)b a λλλ-=-=-, 过定点(0,2)A -，以a b λ+方向向量的直线方程为：2(2)0x y λ-+=, 过定点(0,2)P ，以2b a λ-方向向量的直线方程为：420x y λ+-=, 联立消去λ得：2284x y +=∴求点P 的轨迹C 的方程为2284x y +=.在△ABC 中AC =，B 是椭圆22154x y +=在x 轴上方的顶点，l 是双曲线222x y -=-位于x 轴下方的准线，当AC 在直线l 上运动时，求△ABC 外接圆的圆心P 的轨迹E 的方程。

解：易知点(0,2),B 直线l 方程是1y =-AC ∴=且AC 在直线l 上运动。

可设(1),(1),A m C m -+-则AC 的垂直平分线方程为x m = ①AB 的垂直平分线方程为12y x -=- ② P 是△ABC 的外接圆圆心，∴点P 的坐标(,)x y 满足方程①和②。

由①和②联立消去m 得26x y =，故圆心P 的轨迹E 的方程为26x y =题型：动态定值问题类型：存在性问题双曲线C ：2213y x -=的左右焦点分别为12F F 、，直线l 过点2F 且与双曲线C 交于P 、Q 两点。

设点(, 0)M m ，问：是否存在实数m ，使得直线l 绕点2F 无论怎样转动，都有0MP MQ ⋅=成立？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.解：当直线l 的斜率不存在时，易知(2,3),(2,3)P Q -，计算得(1,0)M -； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为(2)y k x =-，与双曲线方程联立消y 得0344)3(2222=++--k x k x k ， 设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，则2122212243433k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩∴1212()()MP MQ x m x m y y ⋅=--+212122222121222222222()()(2)(2)(1)(2)()4(1)(43)4(2)433x m x m k x x k x x k m x x m k k k k k m m k k k =--+--=+-+++++++=-++-- 2223(45)3m k m k -+=+-. 假设存在实数m ，使得0MP MQ ⋅=，故得2223(1)(45)0m k m m -+--=恒成立，∴2210450m m m ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩， 解得 1.m =-∴当1m =-时，0MP MQ ⋅=.，综上，存在1m =-，使得0MP MQ ⋅=. 练习抛物线E ：24(0)y x x =>，焦点F ，过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为N M ，．问：直线MN 是否过某一定点？若经过，求出该定点；不经过，请说明理由。

解：R (3,0)．类型：恒成立问题设圆M 过A (0,2)，且圆心M 在曲线C ：24x y =上，EG 是圆M 在x 轴上截得的弦，试探究当M 运动时，弦长EG 是否为定值？为什么？解：设圆的圆心为(,)M a b ，∵圆M 过A (0,2)，∴圆的方程为2222()()(2)x a y b a b -+-=+-.令0y =得：22440x ax b -+-=.设圆与x 轴的两交点分别为1(,0)x ，2(,0)x ,不妨设12x x >，由求根公式得1x =，222a x =.∴12x x -=又∵点(,)M a b 在抛物线24x y =上，∴24a b =，∴124x x -==，即EG ＝4. ∴当M 运动时，弦长EG 为定值4.练习如图，已知椭圆12822=+y x ，点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点。

求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.解：设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1+k 2=0即可.m x y l +=∴21的方程为：. ∴0422128212222=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m mx x y x m x y , 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12121211,22y y k k x x --==-- 且212122,24x x m x x m +=-=-∴12122112121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- )2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4))(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212*********------+-=----+++=----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x2212242444=0(2)(2)m m m m x x --+-+=--∴120k k +=，故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.过双曲线2233y x -=的上支上一点P 作双曲线的切线交两条渐近线分别于点,A B .求证：OA OB ⋅为定值。

解：2类型：能够转化为直线垂直的特殊几何问题（矩形问题）过点Q (－2,0)作直线l 与曲线C ：.1422=+y x 交于A 、B 两点，设N 是过点4(,0)17-，且以(0,1)a =为方向向量的直线上一动点，满足ON OA OB =+（O 为坐标原点），问是否存在这样的直线l ，使得四边形OANB 为矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解： 当直线l 的斜率不存在时，与椭圆无交点，不符合题意.所以设直线l 的方程为y = k (x +2)，与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，N 点所在直线方程为.0174=+x 由.0444)4()2(14222222=-+++⎪⎩⎪⎨⎧+==+k x k x k x k y y x 得由△= .34,0)44)(4(4162224≤∴≥-+-k k k k 即.332332≤≤-k .4)1(4,4422212221k k x x k k x x +-=+-=+,+= 即=，∴四边形OANB 为平行四边形假设存在矩形OANB ，则0=⋅OB OA ，即02121=+y y x x ， 即04)(2)1(2212212=++++k x x k x x k ，于是有0441622=+-k k ,得.21±=k 检验：设17444),,(2221000-=+-=+=+=k k x x x OB OA ON y x N 得由,即点N 在直线174-=x 上. ∴存在直线l 使四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为).2(21+±=x y（三点共圆问题）设直线1:+=kx y l 与双曲线.112422=-y x 交于不同的两点A 、B ，是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过点D （0，－2）？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.解：设A 、B 点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1124122y x kx y 得,0132)3(22=---kx x k 221221313,32kx x k k x x --=-=+∴， ∵AB 与双曲线交于两点，∴△>0，即,0)13)(3(4422>---k k 解得.213213<<-k∵若以AB 为直径的圆过D （0，－2），则AD ⊥BD ，∴1-=⋅BD AD k k ，即1222211-=+⋅+x y x y ， ∴12121212(2)(2)0(3)(3)0,y y x x kx kx x x +++=⇒+++= ∴)12.(09323)313)(1(09)(3)1(22221212分=+-⋅+--+⇒=++++kkk k k x x k x x k 解得)213,213(414,872-∈±=∴=k k ，故满足题意的k 值存在，且k 值为414±.题型：动态最值问题类型：转化为函数关系，并通过交点情形找出限定范围设过(1,0)E 的直线l 与曲线C ：2284x y +=交于两个不同点M 、N ，求EM EN ⋅的取值范围。