圆锥曲线整理1．圆锥曲线的定义：(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d .圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

%（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222b x a y -＝1（0,0a b >>）。

（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。

2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：椭圆：由x2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

双曲线：由x 2,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。

|3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，渐近线方程为y ＝±b a x 的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．要求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)的渐近线，只需令λ＝0即可．4．直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系．解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标．(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程． (3)应用韦达定理及判别式．(4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．—5．若直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线P 1P 2的斜率为k ，则弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|(k ≠0)．|x 1－x 2|，|y 1－y 2|的求法，通常使用根与系数的关系，需要作下列变形：|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2，|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y1y 2.6．与圆锥曲线的弦的中点有关的问题 (1)通法．联立方程利用根与系数的关系(2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率． 点差法的步骤：①将两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标代入曲线的方程．②作差消去常数项后分解因式得到关于x 1＋x 2，x 1－x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2的关系式．③应用斜率公式及中点坐标公式求解． —特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！6．求曲线方程的基本方法有：(1)直译法：建系、设动点、列式、化简、证明(可以省略)，此法适用于较简单的问题；(2)定义法：如果能够确定动点的轨迹满足已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出轨迹方程；(3)相关点法(坐标代换法)：若动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 1，y 1)，而Q (x 1，y 1)又在某已知曲线上，则可先写出关于x 1，y 1的方程，再根据x 1，y 1与x ，y 的关系求出P (x ，y )的轨迹方程；(4)待定系数法：若已知曲线的形状(如椭圆、双曲线等)，可用待定系数法； (5)点差法：求与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，可以设出两个端点坐标，并将其代入圆锥曲线方程，再作差；(6)交轨法：先根据条件求出两条动曲(直)线的交点，然后消去其中的参数即得轨迹方程.-7.常见类型转化：①“以弦AB 为直径的圆过点0”⇔OA OB ⊥ ⇔121K K •=-（提醒：需讨论K 是否存在）⇔0OA OB •= ⇔ 12120x x y y +=②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“钝角、直角、锐角问题”⇔“向量的数量积小于、等于、大于0问题”⇔1212x x y y +<0；1212x x y y +=0; 1212x x y y +>0 ③“等角、角平分、角互补问题”⇔斜率关系（120K K +=或12K K =）； 例如： EF 平分AEB ∠⇔0AE BE K K +=一、圆锥曲线的定义及标准方程，性质及应用 .例1. (1)如图，已知圆O 的方程为x 2+y 2=100,点A 的坐标为(-6,0),M 为圆O 上的任意一点,AM 的垂直平分线交OM 于点P,则点P 的轨迹方程（ ）A.x 225 +y 216 =1 B. x 225 －y 216 =1 C.(x+3)225 + y 216 =1D. (x+3)225 - y 216 =1解：由于P为AM的垂直平分线上的点，|PA|=|PM|所以|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=R=10>|OA|=6根据椭圆的定义知:P 点轨迹方程为x 225 +y 216 =1.所以选A(2)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA→|＋|FB →|＋|FC →|＝( ) A ．9 B ．6 C ．4 D ．3 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.·由已知得x 1＋x 2＋x 3＝3，y 1＋y 2＋y 3＝0， 而|FA |＝x 1－(－1)＝x 1＋1， |FB |＝x 2－(－1)＝x 2＋1， |FC |＝x 3－(－1)＝x 3＋1， ∴|FA |＋|FB |＋|FC |＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝(x 1＋x 2＋x 3)＋3＝3＋3＝6.例2.(1)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(1，5)D ．(1，5]@(2)函数y ＝3－34x 2的图象上至少存在不同的三点到(1,0)的距离构成等比数列，则公比的取值范围是________．（3）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） （A 2 （B 3 （C ）312 （D ）512（4）椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）*s5* o*m （A ）20,⎛⎝⎦（B ）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（C ）)21,1⎡-⎣（D ）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭222222251(0,0)-,0)(0)91,(),2x y a a b F c c x y a b E FE OE OF OP -=>>>+=∈=+（）过双曲线的左焦点（作圆的切线，切点为直线交双曲线右支于点P ，若则双曲线的离心率为（）17 17 105 (6)一只双曲线2212221(0,0),.x y a b F F a b -=>>的左右焦点分别为O 为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，12PF F ∆的内切圆的圆心为I,且圆I 与x 轴相切与点A,过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若双曲线的离心率3,则( )A.3OB OA =B.3OA OBC.OA OB =D.OA OB 与关系不确定（[解析] (1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，要使直线y ＝3x 与双曲线无交点，则直线y ＝3x ，应在两渐近线之间，所以有ba ≤3，即b ≤3a ，所以b 2≤3a 2，c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1<e ≤2，选B.(2)函数y ＝3－34x 2可变为x 24＋y 23＝1(y ≥0)，(1,0)为椭圆的右焦点，上半椭圆上点到右焦点距离的最大值和最小值分别为3和1.此数列为正项数列；要使等比数列公比最大，只要首项最小，末项最大即可，所以公比最大值为3，要使等比数列公比最小，只要首项最大，末项最小即可，所以最小值为33.（3）【解析】选 D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b -=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：b c -，()1b ba c∴⋅-=-，2b ac ∴=220c a ac --=， 即e 2-e -1=0,所以15e +=15e -=（舍去） （4）解析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等w_w w. k# o*m!而|FA |＝22a bc c c-= *s 5* o*m |PF |∈[a －c ,a ＋c ]于是2b c∈[a －c ,a ＋c ]即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2（5）答案：B (6) 答案：C解析：依题意设内切圆与1212PF ,PF ,F F 的切点分别为M,N,A.122,PF PF a -=且1122,,,PM PN FM F A F N F A ===12122PF PF F A F A a ∴-=-=。