圆锥曲线大综合第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题一．常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值的问题 题型八：角度问题 题型九：四点共线问题题型十：范围为题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点，存在直线y kx m =+，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）二．热点问题1.定义与轨迹方程问题2.交点与中点弦问题3.弦长及面积问题4.对称问题5.范围问题6.存在性问题7.最值问题8.定值，定点，定直线问题第二部分 知识储备一． 与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠相关的知识（三个“二次”问题）1. 判别式：24b ac ∆=-2. 韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a⋅= 3. 求根公式：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则1,22b x a-=二．与直线相关的知识1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式2. 与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：tan y θ=，[0,)θπ∈；②点到直线的距离公式：d =d =（斜截式）3. 弦长公式：直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：1212)AB x AB y =-==-或 4. 两直线1111122222:,:l y k x b l y k x b =+=+的位置关系：① 12121l l k k ⊥⇔⋅=- ②121212//l l k k b b ⇔=≠且5. 中点坐标公式：已知两点1122(,),(,)A x y B x y ，若点(),M x y 线段AB 的中点，则1112,22x x y y x y ++== 三．圆锥曲线的重要知识考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。

文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线1. 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。

2. 圆锥曲线的标准方程：①椭圆的标准方程②双曲线的标准方程 ③抛物线的标准方程 3. 圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数,,a b c 三者的关系，p 的几何意义等4. 圆锥曲线的其他知识：①通径：椭圆22b a ，双曲线22b a，抛物线2p②焦点三角形的面积：p 在椭圆上时122tan2F PF S b θ=⋅Vp 在双曲线上时122/tan2F PF S b θ=V四．常结合其他知识进行综合考查1． 圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系2． 导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识3． 向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等 4． 三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质5． 不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等五．不同类型的大题 （1）圆锥曲线与圆例1.（本小题共14分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，右准线方程为x =（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 是圆22:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，证明AOB ∠的大小为定值…【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．（Ⅰ）由题意，得23a cc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,a c ==， ∴2222b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2212y x -=. （Ⅱ）点()()0000,0P x y x y ≠在圆222x y +=上，圆在点()00,P x y 处的切线方程为()0000x y y x x y -=--， 化简得002x x y y +=.由2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩及22002x y +=得()22200344820xx x x x --+-=，∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且2002x <<，∴20340x -≠，且()()22200016434820x x x ∆=--->，设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则20012122200482,3434x x x x x x x x -+==--， ∵cos OA OBAOB OA OB⋅∠=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，且()()121212010220122OA OB x x y y x x x x x x y ⋅=+=+--u u u r u u u r ，()212012012201422x x x x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦- ()222200002222000082828143423434x x x x x x x x ⎡⎤--⎢⎥=+-+----⎢⎥⎣⎦ 22002200828203434x x x x --==-=--.∴ AOB ∠的大小为90︒.【解法2】（Ⅰ）同解法1.（Ⅱ）点()()0000,0P x y x y ≠在圆222x y +=上，圆在点()00,P x y 处的切线方程为()0000x y y x x y -=--，化简得002x x y y +=.由2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩及22002x y +=得()22200344820x x x x x --+-= ①()222000348820xy y x x ---+= ②∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且2002x <<， ∴20340x -≠，设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2200121222008228,3434x x x x y y x x --==--， ∴12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r，∴ AOB ∠的大小为90︒.（∵22002x y +=且000x y ≠，∴220002,02x y <<<<，从而当20340x -≠时，方程①和方程②的判别式均大于零）.练习1：已知点A 是椭圆()22:109x y C t t+=>的左顶点，直线:1()l x my m =+∈R 与椭圆C 相交于,E F 两点，与x 轴相交于点B .且当0m =时，△AEF 的面积为163.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线AE ，AF 与直线3x =分别交于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否经过点B ？并请说明理由.（2）圆锥曲线与图形形状问题例2.1已知A ，B ，C 是椭圆W ：24x ＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．解：(1)椭圆W ：24x ＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±所以菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |.(2)假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由2244,x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x mk m k++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M 224,1414km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为14k-.因为k ·14k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．练习1：已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 过点(2，1)，且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设M ,)x y （是椭圆C 上的动点，P ,0)p （是X 轴上的定点，求MP 的最小值及取最小值时点M 的坐标.（3）圆锥曲线与直线问题 例3.1已知椭圆22:24C x y +=，（1）求椭圆C 的离心率.（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222xy +=的位置关系，并证明你的结论.解析：⑴椭圆的标准方程为：22142x y +=， 2a =，b =则c =2c e a ==;⑵直线AB 与圆222x y +=相切.证明如下： 法一：设点A B ,的坐标分别为()()002x y t ,,,，其中00x ≠.因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，即0020tx y +=，解得002y t x =-. 当0x t =时，202t y =-，代入椭圆C的方程，得t =故直线AB的方程为x =圆心O 到直线AB的距离d .此时直线AB 与圆222x y +=相切.当0x t ≠时，直线AB 的方程为()0022y y x t x t--=--，即()()0000220y x x t y x ty ---+-=. 圆心O 到直线AB 的距离d =.又22024x y +=，02y t x =-，故d ===此时直线AB 与圆222x y +=相切. 法二：由题意知，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =，OA OB ⊥，①当0k =时，()20A ±,，易知()02B ,，此时直线AB 的方程为2x y +=或2x y -+=， 原点到直线AB，此时直线AB 与圆222x y +=相切； ②当0k ≠时，直线OB 的方程为1y x k=-，联立2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得点A的坐标⎛⎫,或⎛⎫, ⎝；联立12y xk y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得点B 的坐标()22k -,， 由点A 的坐标的对称性知，无妨取点A ⎛⎫进行计算， 于是直线AB的方程为：))2222y x k x k k-=+=++，即((21220k x y k -+++=，原点到直线AB 的距离d ==,此时直线AB 与圆222x y +=相切。