微积分(B)复习题一、 基本题:（一） 微分学：1、函数ln()arccos2x yz y x -=-+的定义域是 {}20),(≤->-=y x x y y x D 且 2、()()(),0,0ln 1limsin(22)cos x y x y x y xy →--=+⋅ 21-3、设22(,)43f x y x xy y =-+，则hf h f h )2,1()2,1(lim-+→= 84、已知函数22(,)f xy x y x y xy +=++，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+∂∂ = )(3y x + 5、设 ln(2)z y x =- 则211x y zx y==∂=∂∂ 26、(1,0,1)(),zu x y du=-=设则 dy dx -22(,),______,______.(2,,),__________,_________,_________.xy x yz u u u f x y e x y u f x xy xyz f f f ∂∂=-==∂∂'''====7、若则若则212f ye xf xy+; 212f xe yf xy+-; 3212yzf yf f ++; 32xzf xf +; 3xyf 。
8、二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足的关系为（ B ）A ) 可微⇔可导⇒连续B ) 可微⇒ 可导，或可微⇒连续，但可导不一定连续C ) 可微⇒可导⇒连续D ) 可导⇒连续，但可导不一定可微 （二） 积分学：1、{}22(,)14,2_______.DD x y x y d σ=≤+≤=⎰⎰设则 π62、二次积分()11,yedy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为⎰⎰1ln 1),(xe dy y xf dx3、二次积分()222dx f x y dy +⎰化为极坐标形式的二次积分为⎰⎰θπθcos 20220)(rdr r f d（三） 级数：1、级数023nn n ∞=∑的和为32、判定下列级数的敛散性：A ) 15()2n n ∞=∑发B )1n ∞=收C )1(1)n n ∞-=-∑)11(1)23nn n ∞=--∑收（条件收敛）3、若级数121(3)31n n n a n ∞=--+∑收敛，则lim n n a →∞=92.4、若幂级数1n n n a x ∞=∑在3x =-处收敛，则此级数在点2x =处的收敛性为收敛.5、若幂级数1(1)n n n a x ∞=-∑的收敛半径R =2，则此级数在点2x =-处的收敛性为发散.6、幂级数03!n n n x n ∞=∑的和函数为xe 3.7、函数项级数11(21)(1)nn n x n∞-=+-∑的收敛域为]0,1(-. （四）微分方程：1、微分方程30xy y '-=的通解3-=cx y 。
2、微分方程22()xy dx dy y dx x dy -=+是齐次方程（可分离变量方程，齐次，一阶线性） 3、12222+=+'-'''x e y y x y x 是3阶微分方程。
二、计算题：（一） 微分学：1、设223(32)xz e x y =-，求 2,z zx y x∂∂∂∂∂.解：)646(322x y x e xzx +-=∂∂； )12(222y e yx z x -=∂∂∂2、设2(2)x y z x y +=+，（(2)0x y +>），求 ,z zx y∂∂∂∂. 解：())2ln()2()2(22)2()12(y x y x y x y x x zy x y x +++++=∂∂+-+ ())2ln()2(2)2(2)2()12(y x y x y x y x xzy x y x +++++=∂∂+-+ 3、设2sin(2),,cos3,.tdz z x y x e y t dt=-==而求 解：)3sin 62)(3cos cos(22t e t e dtdzt t ++= 4、设函数(,)z f x y =是由方程：2sin(23)x y z +-求 ,z zx y∂∂∂∂. 解：zxy z y x x yz z y x F F x z Z x 21)32cos(621)32cos(2--+--+=-=∂∂zxy z y x y xz z y x F F y z Zy 21)32cos(621)32cos(4--+--+=-=∂∂5、求函数 3322(,,)339f x y z x y x y x =-++-的极值.解：)2,1()0,3(和-无极值；3)2,3()2,3(=--f 极大值；5-)0,1()0,1(=f 极小值。
（二） 积分学： 1、计算二重积分：Dxyd σ⎰⎰，其中D 由直线x =2, y =x 及曲线xy =1所围成的闭区域。
（2ln 21815-) 2、计算二重积分：2110ydx -⎰ (11--e )3、计算二重积分：Dσ，其中{}91),(22≤+≤=y x y x D (π352) （三） 级数：1、判别级数12sin3n nn π∞=∑的敛散性。
（收敛）2、判别级数121(1)23n n nn ∞-=-+∑的敛散性，若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛？ （条件收敛）3、求下列幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域.1） 02nn x n ∞=+∑ （ )1,1[),1,1(,1--=R ）2）21(1)2nnn n x n ∞=-⋅∑ （ ]2,2[),2,2(,2--=R ）3）nn ∞= （ )6,4[),6,4(,1=R ）4、求幂级数21(1)2nnn x n ∞=-∑的和函数。
（]11)[1ln(21)(2<<-+-=x x x s ）开区间也可以 5、求11n n nx∞-=∑在收敛域（-1,1）上的和函数，并求级数113n n n∞-=∑的和。
（)11()1(1)(2<<--=x x x s ）6、 将函数2()ln(12)f x x x =+-展开成x 的幂级数， 并指明收敛域。
()2121(112)()(01<<-+--=∑∞=+x x n x f n n n n )7、 将函数21()32f x x x =++展开成(4)x +的幂级数，并指明收敛域。
（)26()4)(2131()(011-<<-+--=∑∞=++x x x f n nn n ） （四）微分方程 1、y dxdyx+=1tan 求通解； （1sin -=x c y ） 2、求微分方程022=---'x y y y x 的通解； （cx xyx y =-+1)(2）3、求微分方程sin xy y x '+=的满足初始条件2)(=πy 的特解。
（)1cos 2(1--=x xy π） 三、应用题：1、求抛物线2y x =与直线20x y ++=之间的最短距离.(461);45,43();41,21(=--d ) 2、某工厂生产两种产品A 与B ，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品A 与 生产y 单位的产品B 的总费用为：22400230.01(33)x y x xy y +++++ （元）.求取得最大利润时两种产品的产量。
（80,120==y x ） 3、某公司可通过电台及报纸两种方式做某一商品的广告。
销售收入R （万元）与电台广告费用1x （万元）及报纸广告费用2x （万元）之间的关系为：221212121514328210.R x x x x x x =++---广告总费用为1.5万元。
求最优广告策略。
（5.1,021==x x ）四、证明题：221arctan,,,xz x u v y u v yz z u vu v u v==+=-∂∂-+=∂∂+、设其中 证明：2、证明：211()()()()1bxbn n aaadx x y f y dy b y f y dy n ---=--⎰⎰⎰ 3、若级数2211,n nn n a b∞∞==∑∑都收敛，证明：级数21()nn n ab ∞=+∑也收敛.1题求偏导代入即可。
2、用交换积分次序。
3、用几何平均数小于算术平均数比较判别法来证明。
公共答疑时间：每周一周三晚上6:00-8:00地点：综合楼815。