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命题的形式化
（1）凡事物都是发展的。 用x表示个体词，用D表示“是发展的”，形式化为：xDx （2）凡是自然数都大于零。 用N表示“是自然数”，用E表示“大于零”，形式化为： x(NxEx） （3）所有大学生都不是儿童。 用S表示“是大学生”，用C表示“是儿童”，形式化为： x(SxCx) （4）有的大学生是儿童：x(Sｘ∧Cｘ) （5）小李没有同任何人吵架。 a：小李；Ｍ：„是人，D：„同„吵架，形式化为：x（Ｍx→Ｄax） （6）有些大一学生认识小李。 a：小李；F ：„是大一学生，R：„认识„，形式化为： x(Fx∧Rxa)
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约束变元和自由变元
变元的约束出现：一个变元在公式里的出现是 约束的，当且仅当，这种出现是在采用该变元的 量词的辖域内。 变元的自由出现：一个变元在公式里的出现是 自由的,当且仅当，该变元的出现不是约束的。
约束变元就是约束出现的变元；自由变元就是自由 出现的变元。
例如：在 xＤx∨Ｅx中，变元x出现了三次，前两次出 现是在量词x的辖域中，因而是约束出现的，第三次是自 由出现的。
谓词：用来说明个体词的性质或关系的语词。
如例（3）中“是学生”是一元谓词，例（4）“„是„的朋友”是二 元谓词。类似的，还有三元谓词，如“„在„和„之间”以及n元谓词。
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个体词和谓词的符号化
个体常项：表示一定范围内确定的个体，记为小写的：a,b,c,„； 个体变元：表示一定范围内不确定的个体，记为小写的： x,y,z,„； 个体域也称论域：个体变元的变化范围，记为：D。 谓词符号：表示性质或关系的符号，记为大写：D、E、F、G„； 一元谓词公式，记为：Dx，Ex，Fx，„； 二元谓词公式，记为：Dxy，Exy，Hxy，Rxy，„； 三元谓词公式，记为：Gxyz，Bxyz，Pxyz，Kxyz，„； n元谓词公式，记为：Sx1x2„xn，Wx1x2„xn，„。
Pa的解释是“4是偶数”（真命题）； xPx的解释是“所有自然数是偶数”（假命题）； xyGyx的解释是“对所有自然数总存在大于它的自然数”(真命题)。
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指派和赋值
给每个变元指定一个个体的过程称作指派，记为ρ
个体变元与它所指称的对象通过指派建立了确定的联系。 一个模型上的指派有无穷多个。 原子公式的值可以根据模型和指派确定。 设ρ是模型µ上的指派，v是变元，d∈D。所谓模型µ上与指 派ρ相关联的指派ρ(v/d)是指如下定义的指派： 如果u≠v,则ρ(v/d)(u)=ρ(u)；如果u=v，则ρ(v/d)(u)=d。 不管原指派ρ中v的值是什么，新指派ρ(v/d)总是把v指派 成d，而其余变元的值都不变。显然，如果d=ρ(v)，则 ρ(v/d)=ρ，即ρ自己也是与其自身相关联的指派。
一阶逻辑：量词是只对命题中的个体变元进行量化，而不 对谓词变元进行量化。
高阶谓词：不仅对个体变元而且对谓词变元进行量化。
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第四章 谓词逻辑
第二节 一阶语言及其语义解释
一阶语言L
（1）初始符号
个体变元符号：x,y,z,„；x1,x2,„； 若干（可以为0个）个体常项符号：a,b,c„
一阶语言L 的一个符号串是（合式）公式，当且仅当它符合以上形成规则。 一阶语言L 的全体（合式）公式，记为Form（L ）。 一阶语言L 是形式语言L ′的扩充。
（3）定义：用来表示符号串的缩写。
如：AB=df (A→B)∧(B→A)。
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量词的辖域
量词的辖域：量词的作用范围。 量词的辖域可定义为：如果B是vB和vB的子公式，则称B 为量词v和v的辖域。 在公式中，量词的辖域是该量词及紧接该量词的最短公式。 带横线部分指明了存在量词的辖域。 (1)xＤx∨Ｅx (2)x（Ｆxy∧yＧy） (3)xy（Ｆxy∧xz（Ｇxz→Ｈyz）
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命题逻辑和谓词逻辑
研究推理形式的有效性时，把命题当做不可分的逻辑单位有时是不够的。 例如： （1）张三的朋友都是李四的朋友，王五不是李四的朋友。所以，王五 不是张三的朋友。 这个推理的形式在命题逻辑中表示为：P，¬q├ ¬r 这个推理事实上是有效的。但仅用命题逻辑的理论不能表明它是有效的 推理。 （2）所有人都会死，张三是人，所以，张三会死。 这是一个正确的三段论推理。但仅用命题逻辑的理论也不能表明它是有 效推理。
一阶语言L 的语义解释
语义解释也称为模型，记为µ，µ包括以下内容：
(1)一个个体变元的取值范围——非空集合D(论域、个体域) (2)对每个个体常项a，指定D中一个确定的个体aµ； (3)对每个n元谓词符号R，指定D上的一个n元关系Rµ；
在一个解释（模型）中，每个闭公式有确定的真值。
例如：D=自然数，个体常项a解释为4（aµ=4）；一元谓词P解释为 “是偶数 （Pµ）”；二元谓词G解释为“＞”（Gµ=＞）；则：
（7）如果A是vB，则δ(A)=T当且仅当存在d∈D,使得δ(v/d)(B)=T。
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公式的基本语义定义
基本语义解释的直观意义
第（1）条只不过是说原子公式R（t1„tn）为真，只要 t1，„，tn所指对象具有D上的关系Rµ。 第（2）——（5）条只不过说对联结词的解释与第二章 中的解释相同。
若干（至少一个）谓词符号：D,E,F,G,R，„
联结词符号：,∧,∨,→； 量词符号：,；
辅助符号：括号：（，）；逗号：，。
（2）形成规则：包括项的形成规则和公式的形成规则。 ①项的形成规则：单个的个体变元（v，u，w，„）和个体常项（a，
b，c，„）称为项。
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个体词和谓词的符号化实例:
用a表示“张三”，用Dx表示一元谓词“会死” ，则命题“张三会死”可表 示为：Da。 如是Fxy表示二元谓词“…是…的朋友”，那么：Fab表示“a是b的朋 友”;¬Fab表示“a不是b的朋友”。
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开语句
没有真假的命题函数，即从个体到真值的函数。例如:
自由变元的代入规则：
(1) 、代换必须处处进行 A(x)：Px→Qx 以y代换A(x)中的自由变元x： A(x/y)：Py→Qy （正确代换） A(x/y)：Px→Qy （错误代换）
(2) 、代换不能改变量词的约束关系 B(y)：x(Qx∧Rxy) 以个体变元来代换B(y)中的自由变元y： B(y/z)：x(Qx∧Rxz) （正确代换） B(y/x)：x(Qx∧Rxx)（错误代换）
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模型µ和µ上的一个指派ρ确定一个赋值δ，记为δ=<µ,ρ> 谓词逻辑的每个项和公式在赋值δ下都有确定的值。 项的基本语义定义: 设δ=〈µ,ρ〉是一个赋值，t是任意的项，t在δ下的值δ(t) 是论域D中的个体，具体定义如下： (1)如果t是个体变元v，则δ(v)=ρ(v)； (2)如果t是个体常项a，则δ(a)=aµ。
在给定的一个解释下，vA为真要求将v解释成个体域 中任何个体时A都为真，而vA为真，则只要将v解释成个 体域中至少一个个体时A为真。 严格地讲，一阶语言的语义解释就是在把个体词解释 成为个体域中的个体、把谓词解释为个体域中的性质或个 体域上的关系的基础上，确定公式的真值即给公式赋值。
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因此，要研究涉及量词的推理，仅用命题逻辑的理论是不够的。只有在 命题逻辑的基础上发展谓词逻辑，才能解决这类推理的有效性问题。
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个体词和谓词
谓词逻辑就是把命题分解为个体词、谓词、量词以及联结 词的逻辑系统。例如：
（3）我是学生。
（4）王五不是李四的朋友。
个体词：表示个体的语词，如：“我”、“王五” 、“李四”。
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自由变元的代入
如果公式A中有自由变元v，则把该公式记为：A(v)。以个体词t代入A(v) 中的v，则记为：A(v/t)。例如：
（1）对于公式Px→Qx，用A(x)来表示x是自由变元：A(x)：Px→Qx； （2）对于公式x(Qx∧Rxy)，用B(y)来表示y是自由变元：B（y）：x(Qx∧Rxy)；（3）用个 体变元y代替A(x)中的自由变元：A(x/y)：Py→Qy； （4）用常元a代替A(x)中的自由变元：A(x/a)：Pa→Qa。
第（6）条不过是说 vB为真就是v的值取遍论域时B的值 总为真。
第（7）条也不过是说vB为真就是论域中至少有一个个 体使B为真。
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公式的基本语义定义
设一阶语言L 包括二元谓词符号G，个体常项a和b，取模型µ，使得个体域D 是整数，Gµ是“＜”（整数上的小于关系），aµ=10，bµ=11。δ=〈µ,ρ〉,其中ρ 为：ρ(x)=－2，ρ(y)=13，ρ(z)=8，…
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公式的基本语义定义
设δ=〈µ,ρ〉是一个赋值，A是任意的公式，A在δ下的值记 为δ(A)。δ（A）=T，或者 δ（A）=F。定义如下：
（1）如果A是原子公式R(t1…tn)，则δ(A)=T当且仅当〈δ（t1）,…， δ(tn)〉∈Rµ； （2）如果A是B，则δ（A）=T当且仅当δ（B）=F； （3）如果A是B∧C，则δ（A）=T当且仅当δ（B）=T且δ（C）=T； （4）如果A是B∨C，则δ(A)=T当且仅当δ(B)=T或δ(C)=T； （5）如果A是B→C，则δ(A)=T当且仅当δ(B)=F或δ(C)=T； （6）如果A是vB，则δ(A)=T当且仅当对任何d∈D,都有(v/d)(B)=T；
P：…是紫色的。 Px：x是紫色的。
让开语句有真值的方法：
（1）用个体常项代替个体变元。