1A虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试高三数学试卷（时间120分钟，满分150分）2018.4一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1．已知(,]A a=-∞，[1,2]B=，且A Bφ⋂≠，则实数a的范围是．2．直线(1)10ax a y+-+=与直线420x ay+-=互相平行，则实数a=．3．已知(0,)απ∈，3cos5α=-，则tan()4πα+=．4．长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α，β，γ，则222c o s c o s c o sαβγ++=．5．已知函数20()210xx xf xx-⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则11[(9)]f f---=．6．从集合{}1,1,2,3-随机取一个为m，从集合{}2,1,1,2--随机取一个为n，则方程221x ym n+=表示双曲线的概率为．7．已知数列{}n a是公比为q的等比数列，且2a，4a，3a成等差数列，则q=_______．8．若将函数6()f x x=表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x=+-+-+-++-则3a的值等于．9．如图，长方体1111ABCD A BC D-的边长11AB AA==，AD=，它的外接球是球O，则A，1A这两点的球面距离等于．10．椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______.11．[]x是不超过x的最大整数，则方程271(2)2044x x⎡⎤-⋅-=⎣⎦满足x<1的所有实数解是．12．函数()sinf x x=，对于123nx x x x<<<<且[]12,,,0,8nx x xπ∈（10n≥），记1223341()()()()()()()()n nM f x f x f x f x f x f x f x f x-=-+-+-++-，则M的最大值等于．二．选择题（每小题5分，满分20分） 13．下列函数是奇函数的是（ ）．.A ()1f x x =+ .B ()s i n c o sf x x x =⋅.C ()arccos f x x = .D 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩14．在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（ ）.A 12 .B 13 .C 14 .D 1815．直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A ，B 两点，且AB =过点A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M ，N ，则MN 等于（ ）.A.B 4 .C.D 816．已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n na a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n 项和，则以下结论正确的是（ ）.A 不存在．．．a 和n 使得2015n S = .B 不存在．．．a 和n 使得2016n S = .C 不存在．．．a 和n 使得2017n S = .D 不存在．．．a 和n 使得2018n S =三．解答题（本大题满分76分）17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.） 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==,2BAC π∠=，高等于3，点1M ，2M ，1N ，2N 为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小．18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =.P 2P 1C 1A N 2N 1（1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）平面内．．．的“向量列”{}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”.平面内的“向量列”{}n b ，如果01 ≠b 且对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”. （1）如果“向量列”{}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量”d 表示12n a a a +++； （2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量”(3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =；{}n b 是“等比向量列”，“公比”2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =.求1122n n a b a b a b ⋅+⋅++⋅．20．（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”. （1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A ，B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA ，M B 分别交y 轴于x点P ，Q ，过M 的椭圆C 的“切线”l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线”l 与直线1MF ，2MF 所成夹角是否相等？并说明理由．21．（本题满分18分.第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题8分.） 已知函数3()f x ax x a =+-（a R ∈，x R ∈），3()1xg x x =-（x R ∈）. （1）如果x =2是关于x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x 在-(1,]2和[1)2的单调性，并说明理由；（3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q-=+++++成立的充要条件是a ≥虹口区2017学年度第二学期高三年级数学学科期中教学质量监控测试题答案一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1、1a ≥；2、2；3、17-； 4、2； 5、2-； 6、12； 7、1或12-； 8、20； 9、3π； 10、12mn ； 11、1x =-或12x =； 12、16；二、选择题（每小题5分，满分20分）13、B ； 14、C ； 15、D ； 16、A ； 三、解答题（本大题满分76分） 17、（14分）解:（1） 12ABCS ∆= ，∴ 11132ABC A B C V -= ……2分 1132AM A S ∆=，1C 到平面11ABB A 的距离等于1，即2N 到平面P 2P 1C 1A N 2N 111ABB A 的距离等于1，∴ 112211131322A AM N N AM A V V --==⨯=∴ 三棱柱111ABC A B C - 的体积等于32（立方单位），三棱锥112A AM N -的体积等于12（立方单位）……………7分（2）取线段1AA 的三等分点1P ，2P ，连12PM ，1PC .12A N ∥1PC ，1AM ∥12PM ，∴ 21M PC ∠的大小等于异面直线12A N ，1AM 所成的角或其补角的大小.…………9分121PM AM ==1PC，2M C = . ∴211cos 2M PC ∠==-.∴ 异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小等于3π.………………14分 18、（14分）解：（1）210z z -+=的两个根为12z =±.…………2分 1cos 2A ∴=，sin A = ，3A π= .…………4分 ∴5sin sin12C π== ，sin sin c a C A =，得c =7分 （2）2222cos a b c bc A =+-.∴2292b c bc bc bc bc =+-≥-=，从而9bc ≤，等号当b c =时成立，此时m a x 13s i n 2S bc A ==.∴ABC ∆.……………14分19、（14分）解：（1）设(,)n n n a x y =，12(,)d d d =.由1n n a a d +-=，得1112n n n n x x d y y d ++-=⎧⎨-=⎩，所以数列{}n x 是以1x 为首项，公差为1d 的等差数列；数列{}n y 是以1y 首项，公差为2d 的等差数列.……………………3分∴121212,)（n n n a a a x x x y y y +++=++++++11121112111((1),(1))(,)(1)(,)222nx n n d ny n n d n x y n n d d =+-+-=+-11(1)2na n n d =+-.………………6分（2）设(,)n n n a x y = ，(,)n n n b m k =.由11111(,)(,)(,)(3,0)n n n n n n n n n n a a x y x y x x y y +++++-=-=--=，从而13n n x x +-=，10n n y y +-=.数列{}n x 是以1为首项，公差为3的等差数列，从而32n x n =-.数列{}n y 是常数列，1n y =. 由12n n b b +=得12n n m m +=，12n n k k +=，又11m =，13k =，∴数列{}n m 是以1为首项，公比为2的等比数列；数列{}n k 是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有12n n m -=，132n n k -=⋅.……10分112211221122n n n n n n a b a b a b x m x m x m y k y k y k ⋅+⋅++⋅=+++++++令211122114272(32)2n n n n S x m x m x m n -=+++=⨯+⨯+⨯++-⨯………①232124272(32)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯…………②.①-②得，23113(2222)(32)2n n n S n --=+++++--⋅，得5(35)2n n S n =+-⨯令11223(12)3(21)12n n n n n T y k y k y k ⋅-=+++==⋅--从而1122(32)22n n n n n a b a b a b S T n ⋅+⋅++⋅=+=-⋅+………………14分20、（16分解：（1）由点(,)M m n 在椭圆C 上，有2212m n +=，∴(,)M m n 在直线12mx ny +=上 当0n =时，由2212m n +=，得22m =，直线方程为2x m =，代入椭圆方程得22220m y m-==，得一个交点2,0)（m，直线l 是椭圆C 切线. 当0n ≠时，有2212m n +=，直线为12m y x n n =-+代入椭圆方程得221102x mx n -+-=，有222214(1)2202m n m n ∆=-⨯-=+-=，直线是椭圆C 切线.…………………4分 另解：不讨论将椭圆方程化为222222n x n y n +=，将直线方程12mx ny =-代入消y ，得到x 的一元二次方程，然后证明0∆= （2）点(,)M m n 不在坐标轴上，:AM y x =+，得(0,)P. :BM y x =-，得(0,Q ……………………6分过点(,)M m n 的切线为:12mx l ny +=，得1(0,)D n .由2212m n +=，得2222m n -=-，从而有24222P Q D n y y y m n-+====-，∴点D 是线段PQ 的中点.…9分（3）(,)M m n ,:12mx l ny +=,l 的方向向量(2,)d n m =-，2212m n +=.1(1,0）F -，2(1,0）F ，1(1,)MF m n =---，2(1,)MF m n =--，记d 与1MF 的夹角α，d 与2MF 的夹角β.………12分11cos 4d MF d MFα⋅====22cos 4d MF d MFβ⋅====，所以cos cos αβ=，有αβ=，从而有l 与直线1MF ，2MF 所成的夹角相等.……16分21、（18分）解：(1) 由3((0a a +-≤，得a ≥ ………………3分 （2）设21x x > ，212112212133332121()[1()]()()11(1)(1)x x x x x x x x g x g x x x x x -++-=-=---- 当x x-<<≤1212时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，1212x x <， 122x x -<+有12122()1x x x x -<+<-，121211()0x x x x -<++<，∴ 21()()0g xg x -<.………………6分当1202x x -≤<≤ 时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，1202x x ≤<120x x +<，有12121()0x x x x -<+≤，121201()1x x x x <++≤，∴ 21()()0g x g x ->.当1201x x ≤<<时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，x x x x ++>12121()0，∴ 21()()0g x g x ->.∴ ()g x 在(1,-递减，在[0]和[0,1)上递增，从而在[1)上递增.………10分(3) 充分性：当a ≥时，有3(022a f a a =-=-，又(1)10f =>，函数3()f x ax x a =+-在[内的图像连续不断，故在[内一定存在零点q 且1q < ，∴有30aq q a +-=，得31q a q=-，从而4732n a q q q q -=+++++.……14分必要性：当0q =时，0a =. 当0q ≠时，由4732n a q q q q -=+++++成立，可得311q -<<从而得11q -<<，31qa q=-，由（2）中的结论可知3()1x g x x =-在(1,]2--递减，在[1)2-递增，从而，1()32g x -<-或()g x ≥.从而31q a q =-，11q -<<时，有3a ≥-.………………18分。