授课类型T-指数函数C-函数的值域与最值T-指数函数教学目的1、掌握指数函数的概念和指数运算的性质2、掌握指数函数的图像和性质，并能够根据指数函数的性质解决一些变形的指数函数的问题；利用指数函数建议数学模型解决实际问题。

3、掌握函数值域与最值的解法教学内容1．一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层，对折3次得8层，问若对折x 次所得层数为y ，则y 与x 的函数表达式是：2xy =.2．一根1米长的绳子从中间剪一次剩下12米，再从中间剪一次剩下14米，若这条绳子剪x 次剩下y 米，则y 与x 的函数表达式是：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭.问题：这两个函数有何特点?同步讲解一、指数函数的概念 一般地，函数xy a=()01a a >≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .注意：为何规定0a >，且1a ≠?你知道么？图象性质①定义域：R ②值域：（0,+∞）③过点（0,1）,即x =0时y =1④在R 上是增函数,当x ＜0时,0＜y ＜1;当x ＞0时,y ＞1④在R 上是减函数,当x ＜0时,y ＞1;当x ＞0时,0＜y ＜1利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小.（1）32和 1.72； （2）230.6-和340.6-.【分析与解答】（1）因为指数2xy =函数在(),-∞+∞上是增函数，又3 1.7>，所以31.722>.（2）因为指数函数0.6xy =在(),-∞+∞上是减函数，又2334->-，所以23340.60.6-->.求下列函数的定义域与值域。

（1）142x y -= （2）23xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭（3）1421x x y +=++【分析与解答】根据指数函数的定义域为R ，逐个分析。

【解】（1）由404x x -≠⇒≠所以定义域为}{,4x x R x ∈≠且1410214x x -≠∴≠-Q所以值域为{}0,1y y y >≠ （2）定义域为R 。

2331322xxx y --≥⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==≥= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q 故值域为{}1y y ≥（3）定义域为R ，令2xt =，则()220,2111t y t t t >=++=+>所以值域为{}1y y >函数()(),x x f x a g x b ==的图像如图，试确定,a b 的大小；若()()3127f g ==，求()(),f x g x 的解析式。

【分析与解答】由图像知，()()11,1f g a b <∴<< 由题意：327a b == 所以，3,27a b ==所以函数的解析式分别为：()()3,27x x f x g x ==已知函数)1(122>-+=a a ay x x在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值【分析与解答】解： )1(122>-+=a a a y x x，换元为)1(122a t at t y <<-+=，对称轴为1-=t . 当1>a ，a t =，即x =1时取最大值，略 解得 a =3 (a = －5舍去)银行一年定期储蓄年利率为1.89%，如果存款到期不取继续留存于银行，银行自动将本金及80%的利息（20%利息缴纳利息税）自动转存一年期定期储蓄.（1）某人以一年期定期储蓄存入银行20万元，问5年后，这笔钱扣除利息税后的本利和为多少，精确到1元. （2）设本金为a 元，年利率为r ，扣除利息税20%后的本金和为y ，写出y 随年x 变化的函数式. 【分析与解答】（1）1年后的本利和为()12020 1.89%80%201 1.89%80%y =+⨯⨯=+⨯；2年后的本利和为()()221111.89%80%1 1.89%80%201 1.89%80%y y y y =+⨯⨯=+⨯=+⨯ ；……5年后的本利和为 ()55201 1.89%80%y =+⨯. 由计算器计算得 521.5584y ≈. 所以，5年后的本利和为215584元.()()()112111212221212xx xxf x f x-+-=+==--=----所以()11212xf x=+-是奇函数。

8、解不等式221250.20.2x x x x++-+>【解】00.21<<Q所以指数函数0.2ty=在R上是减函数。

又22125220.20.2125x x x x x x x x++-+>∴++<-+Q解得113x<<所以原不等式的解集为113x x⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭方法回顾教师：你还有哪些收获和感悟？--------函数的值域和最值知识结构一、相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈=，)(，我们把函数值的集合}/)({A x x f ∈称为函数的值域。

2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。

事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。

因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。

二、基本函数的值域1、 一次函数）（0≠+=a b kx y 的值域为R ；2、 二次函数）（02≠++=a c bx ax y ；]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时3、 反比例函数()0k xky ≠=的值域为}0y |y {≠； 4、 指数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为}0/{>y y ； 5、 对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R 。

6、 函数y=sinx 、y=cosx 的值域是 ][1,1-三、求函数值域的方法（注：不论采用什么方法求函数的值域均应先考虑其定义域） 1、 观察法： “直线类，反比例函数类”用此方法；2、配方法.：“二次函数”用配方法求值域； 例1. ]53(232，求函数-∈+-=x x x y 的值域；题型Ⅰ求一元二次函数为背景的函数的值域求函数22()4422f x x ax a a =-+-+在[0, 2]上的最值 【分析与解答】： 22()4()222a f x x a =--+(1)当a 2≤0，即a ≤0时，f (x )在上递增．∴ f (x )max ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2.(2)当a2≥2，即a ≥4时，f (x )在上递减．∴ f (x )max ＝f (0)＝a 2－2a ＋2.f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.(3)当0≤a2≤2时，即0≤a ≤4时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－2a ＋2.①当0≤a2≤1时，即0≤a ≤2时，f (x )max ＝f (2)＝a 2－10a＋18；②当1≤a2≤2时，即2≤a ≤4时，f (x )max ＝a 2－2a ＋2.题型Ⅱ求以分式为背景的函数的值域求函数22221x x y x x -+=++ 的值域？若是求(2,3)x ∈ 的值域呢？【分析与解答】（1）方法一：2222(1)33211x x x xy x x x x ++-==-++++ 转化成分子为一次，分母为二次的函数的值域，得[1,5]y ∈ ；方法二：由题意得x R ∈ ，此式可看成是关于x 的方程在R 上有解，故得22(1)22y x x x x ++=-+ ，整理可得22(1)20y x y x y -+++-=（）在R 上有解（1）2y = 时，0x = ；（2）2y ≠ 时，2214(2)0y y ∆=+--≥（），得[1,5]y ∈ ； 综上所述：[1,5]y ∈（3）当x有范围时只能考虑方法一了，解题步骤如方法一，2222(1)33211x x x xyx x x x++-==-++++，(2,3)x∈，转化为分子为一次分母为二次的函数的值域为817(,)713y∈1.若x为实数，则函数532-+=xxy的值域是（）A. RB.),0[+∞ C.),7[+∞- D. ),5[+∞-2．已知,25≥x则4254)(2-+-=xxxxf有（）A. 最大值45B. 最小值45C. 最大值1D. 最小值13．函数xxxf4)(2+-=在],[nm上的值域是],4,5[-则nm+的取值所成的集合为（）A.]6,0[B. ]1,1[- C. ]5,1[ D. ]7,1[4.函数)(xf=1232++-xx的值域为（）A.[)∞+，0 B. ⎥⎦⎤⎝⎛∞-43,C. ⎥⎦⎤⎝⎛∞-332, D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡332,05.函数)(xf=)1(11xx--的最大值是（）A.54B.45C.43D.346．函数]1,3[,1--∈-=xxy的最大值与最小值的差为7．函数]3,21[,1)(∈+=xxxxf的值域是8．（1）函数322++-=xxy的值域是1.能力培养（2012四川文）函数(0,1)xy a a a a =->≠的图象可能是（ ）【解析】采用特殊值验证法. 函数(0,1)xy a a a a =->≠恒过(1,0),只有C 选项符合. 【点评】函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用.（2012北京文）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22xg x =-.若,()0x R f x ∀∈<或()0g x <, 则m 的取值范围是________ .【解析】首先看()22xg x =-没有参数,从()22xg x =-入手,显然1x <时,()0g x <,1x ≥时,()0g x ≥,而对,()0x R f x ∀∈<或()0g x <成立即可,故只要1x ∀≥时,()0f x <(*)恒成立即可.当0m =时,()0f x =,不符合(*),所以舍去;当0m >时,由()(2)(3)0f x m x m x m =-++<得32m x m --<<,并不对1x ∀≥成立,舍去;当0m <时,由()(2)(3)0f x m x m x m =-++<,注意20,1m x ->≥,故20x m ->,所以30x m ++>,即(3)m x >-+,又1x ≥,故(3)(,4]x -+∈-∞-,所以4m >-,又0m <,故(4,0)m ∈-,综上,m 的取值范围是(4,0)-.2.检测总结16． 若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .17．已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性； （2）求f (x )的值域；（3）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.我的感悟和收获：。