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3. 求由 y x2 与直线 y x 4 所围成的平面图形的面积。
4.2 二重积分的计算
1. 计算二重积分 I (x y)dxdy ，其中 D 是由直线 y x, x 1及 x 轴围成的平面区域。
D
2. 计算二重积分 I (x2 y)dxdy ，其中 D 是由坐标轴与直线 x y 1所轴围成的平面
1
2 f (x)dx 10 ，则
1 f (x)dx
1
1
1 1 [2 f (x) 1]dx
1 5
（3） d x2 sin t 2dt
dx 0
1
； f (x)dx 1
（4）计算由曲线 y sin x(0 x ) 与直线 y 0 所围成的面积
（5）设 a xe2xdx 1 ，则 a
（
(A) sin x x
(C) sin x 2 x
）
(B) sin x C x
(D)
sin x
x
2
C
（12）已知
f
(x)
x2
1
1 x 0
，则
1
f (x)dx （
0 x 1
1
3
(A)
2
(B) 2 3
(C) 4 3
）
4
(D)
3
（13）由曲线 y x2 2x 与直线 y x 所围成的封闭图形的面积为（
D
6. 计算 (x2 y2 )dxdy ，其中 D：x2 y2 R2 (R 0) .
D
4.3 解微分方程
1. 解微分方程 y2 x2 dy xy dy . dx dx
2. 求方程 y 1 y sin x 的通解.
x
x
3. 求方程 y 2xy 4x 的通解.
- 12 -
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（17）定积分
x2
cos
xdx
值的符号为（
）
2
(A) 大于零 (B) 小于零 (C) 等于零
(D) 不能确定
（18）若 (x) x2 1 tdt ，则 (x) （ 0
）
(A) 2x 1 x2
(B) 1 x2
(C) x 1 x2
(D) 1 x2 1
（19）若 x f (t)dt ln cos x ，则 f (x) ( 0
（21）积分 x cos xdx （ 0
）
(A) -2 (B) 2 (C) -1
(D) 0
（22）如果广义积分
k 0 1 x2
dx ，则 k 10
（
）
1
(A)
3
1
(B)
4
1
(C)
5
1
(D)
6
（23）广义积分 e2xdx （ 0
1
(A)
3
1
(B)
2
）
1
(C)
5
1
(D)
6
（24）已知
0
4
-7-
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（6）定积分 x cos xdx 0
2
（7）
4 x2 dx
0
（8） 5| 2x 4 | dx 0
（9）幂级数
n!xn 的收敛半径为_________;
xn
的收敛半径为__________.
n0
n0 n!
（10）微分方程 y sin x 的通解为
(D) p 1
（28）若级数 un 收敛中，那么下列级数收敛的是（
）
n1
(A) un 2020.520 n1
(B) 2020.520un n1
2020.520
(C)
n1
un
(D) | 2020.520un | n1
（29）下列级数为条件收敛的是（
1
(A)
n1 100 n
(C)
n0
1 3n
x2n
xn
（4）
n1 n2 4n
（5） (1)n (x 3)n
n1
n
四、综合题 4.1 定积分的应用
1. 求由 y x2 及 y 0, x 2 所围成图形的面积。
2. 求由 y x2 与直线 x 1, x 4 及 x 轴所围成的平面图形的面积。
- 10 -
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）
1
(A)
6
1
(B)
3
5
(C)
6
2
(D)
3
（14）下列积分中不为 0 的是（
1
(A) x sin xdx 1
1
(C)
x
dx
11 cos x
）
1
(B) cos x sin xdx 1
(D)
1
11
x sin 2
x
dx
-3-
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x
（15）变上限积分 f (t)dt 是（ 0
）
(A) f (x) 的所有原函数 (B) f (x) 的一个原函数
(C) f (x) 的一个原函数 (D) f (x) 的所有原函数
（16）下列等式错误的是（
）
(A) f (x)dx f (x) C
(C)
d dx
f (x)dx
f (x)
(B) df (x) f (x) (D) d f (x)dx f (x)dx
）
(A) 1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
(C) 1 x2 ln x 1 x2 C
2
2
(B) 1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
(D) 1 x2 ln x 1 x C
2
2
（6）不定积分 xexdx （
(A) xex ex C (C) xex ex C
）
(B) xex ex C (D) xex ex C
(B) (1,1) (C) [1,1)
．
(D) (1,1]
（34） (
)不是微分方程
（A） y 3y 0 ．
（C） 3y 2 2x y 0 ．
(B)
d2y dx 2
3x
sin
x
．
(D) (x 2 y 2 )dx (x 2 y 2 )dy 0
二、填空题
（1） cos xdx 0
（2）设
)
(A) sec2 x (B) sec2 x (C) csc2 x
(D) csc2 x
（20）下列定积分为零的是（
(A) 1 x2 cos xdx 1
(C) 1 (x sin x)dx 1
）
1
(B) x sin xdx 1
(D) 1 (x cos x)dx 1
-4-
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4. 求方程 y y 1的通解.
5. 求方程 xy y 3 的通解.
- 13 -
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（4）若函数 ln x 为 f (x) 的一个原函数，则不定积分 xf (x)dx =（
x
）
(A) 1 ln x C x
(B) 1 ln x C x
(C) 1 2 ln x C x
(D) 1 2 ln x C x
-1-
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（5）不定积分 x ln xdx （
D
区域。
3. 计算二重积分 I (3x 2 y)d ，其中 D 是由坐标轴与直线 x y 2 所轴围成的平面
D
区域。
4. 计算 xydxdy ，其中 D 是由直线 y x 与直线 y x2 所轴围成的平面区域。
D
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5. 计算 ex2 y2 dxdy ，其中 D 是以原点为圆心，半径为 a 的圆周所围成的闭区域。
（7）设 f (ln x) x2 ln x ，则 f (x)dx （
）
(A) 2x ln x C
Байду номын сангаас
(B) 2xex C
(C) x2 ln x C
(D) xe2x C
（8）若 f (x)dx sin x C ，则 xf (1 x2 )dx （
）
(A) 2 sin(1 x2 ) C (C) 1 sin(1 x2 ) C
（11） ydx xdy 0 的通解为
（12） y sin xy x cos x 的通解中应含
个独立常数.
（13）微分方程 y y ( y)6 0 是
阶微分方程
三、计算题
4.1 求积分
1.
1 1 3
1 2x2 x2 (1 x2 )
dx
2.
1 1 3
1 x2 (1
x2)
dx
-8-
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n1
n
）
(B) (1)n n n1
(D)
n1
(1)n
1 n2
-6-
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(x 5)n
（32）幂级数
的收敛域为（
）
n1 n
(A) [4,6) (B) (4,6)
(C) (4,6]
(D) [4,6]
xn
（33）幂级数
的收敛域为（
）
n1 n
(A) [1,1]
(
1 2n
1 3n
)
）
(B) (1 1 )n
n1
n
(D)
n1
(
1 4n
1) n