2019-2020学年广东省广州市高一上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题 1．函数()()32f x log x =+-的定义域为()A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,22⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】要使得()f x 有意义，则需满足21020x x ->⎧⎨->⎩，解出x的范围即可． 【详解】 要使()f x 有意义，则21020x x ->⎧⎨->⎩，解得122x <<， ()f x ∴的定义域为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：A 【点睛】本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．2．在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ）A ．f （x ）=x -1，()211x g x x -=+B ．f （x ）=|x +1|，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<⎩C ．f （x ）=x +1，x ∈R ，g （x ）=x +1，x ∈ZD ．f （x ）=x，()2g x =【答案】B【解析】A 中的2个函数()1f x x =-与()211x g x x -=+的定义域不同，故不是同一个函数；B 中的2个函数()1f x x =+与()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数；C 中的2个函数()1f x x =+，x R ∈与()1g x x =+，x Z ∈的定义域不同，故不是同一个函数；D 中的2个函数()f x x =，()2g x =的定义域、对应关系都不同，故不是同一个函数；综上，A C D 、、中的2个函数不是同一个函数，只有B 中的2个函数才是同一个函数，故选 B ． 3．函数()326x f x x =+-的零点所在的区间是( ) A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,2 D ．()2,3【答案】C【解析】由零点存在定理，依次判断选项中区间端点函数值的正负，从而得到零点所在的区间. 【详解】 因为()132)1(160f -=+---⋅<，()03600f =-<，()132610f =+-=-<，()294670f =+-=>，所以()f x 在()1,2上存在零点． 故选：C.【点睛】本题考查零点存在定理的运用，考查基本运算求解能力，求解时只要算出区间端点函数值的正负，即可得到答案. 4．已知向量()()3,2,,4a b x ==，且//a b ，则x 的值为() A ．6 B ．－6C ．83-D ．83【答案】A【解析】两向量平行，內积等于外积。

【详解】2346x x =⨯⇒=，所以选A.【点睛】本题考查两向量平行的坐标运算，属于基础题。

5．函数()()2212f x x a x =-+-+在(),4-∞-上是增函数，则a 的范围是()A ．[)5,+∞B ．[)3,-+∞C ．(],3-∞-D ．(],5-∞-【答案】B【解析】因为函数()f x 开口向下，对称轴1x a =-，若函数()f x 在(),4-∞-上是增函数，则41a -≤-，即可解出答案．【详解】 因为函数()()2212f x xa x =-+-+，开口向下，对称轴1x a =-，若函数()f x 在(),4-∞-上是增函数， 则41a -≤-，解得3a ≥-， 故选：B 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，根据函数的单调性求参数的取值范围，意在考查转化与化归的思想，属于基础题． 6．已知||3a =，23b =，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角是（）A ．0150B ．0120C ．060D ．030【答案】B【解析】设向量的夹角为θ ∵3a=，23b =，3a b ⋅=-由向量夹角的公式可得,12323a b cos a bθ⋅===-⨯∵00180θ∴θ=0120 故选B.点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.7．设20.34log 4log 30.3a b c -===，，，则a ，b ，c 大小关系是 （ ）A ．a<b<cB ．a<c<bC ．c<b<aD ．b<a<c 【答案】A 【解析】试题分析：()20.34log 40,log 30,1,0.31a b c a b c -=<=∈=>∴<<【考点】1.指数函数对数函数性质；2.比较大小8．为了得到函数()23y cos x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y cos x =的图象()A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动6π个单位长度D ．向右平行移动6π个单位长度 【答案】D【解析】设出平移量a ，然后根据平移法则“左加右减，上加下减”构造关于平移量的方程，解方程求出平移量，即可得到答案． 【详解】设将函数2y cos x =的图象向右平移a 个单位后，得到函数23y cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R 的图象，则()223cos x a cos x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得6a π=，所以，函数2y cos x =的图象向右平行移动6π个单位长度，可得到函数23y cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R 的图象， 故选：D 【点睛】本题考查的知识点是函数()y Acos x ωϕ=+的图象变换，其中设出平移量为a ，然后根据平移法则“左加右减，上加下减”构造关于平移量的方程，是解答本题的关键．9．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A ．2 B ．2sin1C ．2sin1D ．sin 2【答案】B【解析】先由已知条件求出扇形的半径为1sin1，再结合弧长公式求解即可. 【详解】解：设扇形的半径为R ，由弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，可得1sin1R =， 由弧长公式可得：这个圆心角所对的弧长是22sin1R =， 故选：B. 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了运算能力，属基础题.10．已知向量()3,4a =-，()4,3b =，则向量b a -在向量a 方向上的投影是()A．B．-C ．5 D ．5-【答案】D【解析】向量b a -在向量a 方向上的投影，计算()b a a a-⋅即可得出结论． 【详解】向量()3,4a =-，()4,3b =，()1,7b a ∴-=，()()137425b a a -⋅=⨯+⨯-=-；则向量b a -在向量a 方向上的投影是：()2253(4)b a a a-⋅==-+-．故选：D 【点睛】本题考查向量的数量积，投影，主要考查基本公式，属于基础题．11．已知函数()()(0,0,)2f x Asin x A πωϕωϕ=+>><在一个周期内的简图如图所示，则方程()(f x m m =为常数且12)m <<在[]0,π内所有解的和为()A ．6πB ．3πC ．2πD ．π【答案】B【解析】由函数的图象的最大值求出A ，由过点()0,1求ϕ，由点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭求ω，可得函数的解析式；再利用图象以及正弦函数的图象的对称性，得出结论． 【详解】 根据函数()()(0,0,)2f x Asin x A πωϕωϕ=+>><在一个周期内的简图，可得2A =，再把点()0,1代入可得21sin ϕ=，求得12sin ϕ=，6πϕ∴=．再根据五点法作图可得5126ππωπ⋅+=，2ω∴=，故函数()226f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2262x k πππ+=+，k Z ∈，当[]0,x π∈时，函数的对称轴是6x π=，故由图象可得方程()(f x m m =为常数且12)m <<在[]0,π内所有的解共有2个，且这2个解的和等于263ππ⨯=，故选：B 【点睛】本题主要考查由函数()y Asin x ωϕ=+的部分图象求解析式，一般由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12log 2,011,1x x f x x x +<<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩，若()4f a =-，则a =（） A ．14- B ．3- C ．14-或3D ．14-或3- 【答案】D【解析】根据题意得到0a <，分01a <-< 和1a -≥ 两种情况得到函数在不同的情况下的解析式，进而得到参数值. 【详解】由题意知，当0x >时，()2f x ≥，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以当0x <时，()2f x ≤-， ()4f a =-，0a ∴<，()()4f a f a =--=-，()4f a ∴-=，当01a <-<时，()122log 4a -+=，解得14a =-，当1a=-，-+=，解得3a-≥时，14a综上可得，1a=-或3-.4故答案为D.【点睛】解决分段函数求值问题的策略(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决．(3)求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则．二、填空题13．幂函数()，则f x的图象经过(2,2f=_______________(4)【答案】12【解析】根据题意,设出幂函数解析式,代入点坐标即可求得解析式,进而求得(4)f的值.【详解】设幂函数解析式为()=f x xα因为图象经过(2,2,2α= 可解得12α=-所以12()f x x -= 所以121(4)42f -==【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法,幂函数函数值的求法,属于基础题. 14．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=,则tan()4πα+=________. 【答案】322【解析】由()()44ππααββ+=+--，再结合两角差的正切公式求解即可. 【详解】 解：因为2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=, 又()()44ππααββ+=+--， 所以tan()tan()4tan()tan[()()]441tan()tan()4παββππααββπαββ+--+=+--=++-=213542122154-=+⨯， 故答案为：322.【点睛】本题考查了两角差的正切公式及考查了角的拼凑()()44ππααββ+=+--，重点考查了观察能力及运算能力，属中档题. 15．在等腰直角ABC 中，2A π∠=，1AB AC ==，M 是斜边BC 上的点，满足3BC BM =，若点P 满足1AP =，则AP BM ⋅的取值范围为______．【答案】22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】依题意，建立平面直角坐标，求出各点的坐标，可得234AP BM sin πθ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭，进而得解． 【详解】以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标， 由1AP=可得，点P 在圆221x y +=上，设(),P cos sin θθ，易知()1,0B ，()0,1C ，由3BC BM =可得，21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭， 则()11,,,33AP cos sin BM θθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 则1123334AP BM cos sin sin πθθθ⎛⎫⋅=-+=- ⎪⎝⎭， 由正弦函数的有界性可知，2233AP BM ⎡⋅∈-⎢⎣⎦．故答案为：22,33⎡-⎢⎣⎦．本题考查平面向量的运用，意在考查转化与化归的思想，和计算能力，通过坐标化解决问题是关键，属于基础题．三、解答题16．在不考虑空气阻力的条件下，火箭最大速度/Vm s 和燃料的质量Mkg 、火箭（除燃料外）的质量mkg 的函数关系是22000log 1M V m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当燃料质量是火箭质量的 倍时，火箭的最大速度可达12Km/s ． 【答案】63.【解析】试题分析：令12000=V ,则)1(log 2000120002mM +=，即6)1(log 2=+m M ，即64216==+m M ，所以63=mM ；即当燃料质量是火箭质量的63倍时，火箭的最大速度可达12Km/s. 【考点】函数模型的应用. 17．已知02πα<<，且513sin α=． ()1求tan α的值； ()2求()222222sin sin sin cos sin απααπαα--⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)512；(2)717【解析】()1由513sin α=．02πα<<，利用同角三角函数关系式先求出cos α，由此能求出tan α的值．()2利用同角三角函数关系式和诱导公式化简为222sin cos 2sin 2sin 2sin cos αααααα++，再化简为关于sin ,cos αα的齐次分式求值．(1)因为513sin α=．02πα<<，所以1213cos α===， 故512sin tan cos ααα==． (2)()22222221221222sin sin sin sin cos sin cos sin tan sin sin cos sin cos tan cos sin απααααααααπαααααααα-----===+++⎛⎫++ ⎪⎝⎭51712517112-==+． 【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查同角三角函数关系式和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题型． 18．已知全集U=R,集合{}240,A x x x =-≤{}22(22)20B x x m x m m =-+++≤.(Ⅰ)若3m =，求U C B 和AB ；(Ⅱ)若B A ⊆，求实数m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）{05},{35}U A B x x C B x x x ⋃=≤≤=或（Ⅱ）02m ≤≤【解析】（Ⅰ）由3m =时，求得集合{04},{35}A x x B x x =≤≤=≤≤，再根据集合的并集、补集的运算，即可求解；（Ⅱ）由题意，求得{04},{2}A x x B x m x m =≤≤=≤≤+，根据B A ⊆，列出不等式组，即可求解。