x02
x02 pn2
或 x Asin( pnt )
初相位
tan pn x0
x0
周期
T 2π pn
频率
f 1 pn T 2π
系统的固有频率和周期仅与系统的质量与刚度有关，与运
动初始条件无关。振幅和初位相则由运动初始条件决定。
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第14章 振动
14.1 主要内容
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第14章 振动
14.1 主要内容
14.1.1 单自由度系统的自由振动
1. 单自由度无阻尼自由振动
（1）振动微分方程标准形式
x pn2 x 0
固有频率
pn
k m
（2）运动方程 x x0 cos
pnt
x0 pn
sin
pnt
振幅
A
T
1 2
meqq2
V
1 2
keqq
2
x=0时，U=0, 动能具有最大值Tmax，速度为零时，T=0,
势能具有最大值Umax。
Tmax Umax
得
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pn
keq meq
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第14章 振动
14.1 主要内容
14.1.3 单自由度系统的衰减振动
（1）振动微分方程标准形式
c m
;
h H m
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第14章 振动
1解 x bsin(t )
其中： b――振幅，――相位差
b
h
b0
( pn2 2 )2 4n2 2 (1 2 )2 4 22
其中：
tan
2n
2 n
2
2 1 2
pn
（3）共振
此时n即1时 发生共振b 。 b0
2
2
在共振频率附近阻尼对受迫振动振幅有显著影响。远离
共振区（0.75~1.25），其对振幅的影响可略去不计。
当1时，位相差 /2，与阻尼大小无关。工程上利
用此特点，通过实验测量系统固有频率pn。 （4）转子的临界转速
引起转子剧烈振动的特定转速称为临界转速。这种现象是
――频率比
n ――阻尼比
pn
b0
H k
――激振力之最大值引起的弹簧静伸长
受迫振动的频率等于激振力频率。
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第14章 振动
14.1 主要内容
振动微分方程的全解为
x Aent sin( pn2 2 t ) B sin(t )
衰减振动
强迫振动
由共振引起的。
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临界角速度
c pn
k m
临界转速
nc
30
c
第14章 振动
14.1 主要内容
（5）减振与隔振的概念
为了尽量减小振动，避免在共振区内工作。许多引发振动
的因素防不胜防，或难以避免，这时，可以采用减振或隔振的
措施。
减振：在振体上安装各种减振器，使振体的振动减弱。例
Ai1
ln nTd ――对数减幅系数
阻尼对周期影响不大，而对振幅有显著影响，使其按指数 曲线衰减。当n>pn时，运动不具有振动特性。
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14.1 主要内容
14.1.4 单自由度系统的受迫振动 （1）受迫振动微分方程式 简谐激振力的三种形式：
x 2nx pn2 x 0
n c 2m
（2）运动方程（n< pn即小阻尼情形）
x Aent sin( pdt )
A
x02
( x0
nx0 pd2
)2
tan x0 pd x0 nx0
其中
pd
pn2 n2
Td
2 pd
pd
T 1 2
pn 1 2
n
pn
――衰减振动周期
为阻尼比
Ai enTd ――振幅缩减率（即减幅系数）
14.1 主要内容
（3）等效的概念
自由振动微分方程等效为广义坐标的形式
meq q keq q＝0
meq---等效质量
keq---等效刚度
并联弹簧 keq k1 k2
串联弹簧
k eq
k1k2 k1 k2
14.1.2 计算固有频率的能量法
计算固有频率用能量法的理论基础是机械能守恒定律
T＋U=常量 其中
为了取得较好的隔振效果，系统应当具有较低的固有频率
和较小的阻尼。不过阻尼也不能太小，否则振动系统在通过共
振区时会产生较大的振动。
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第14章 振动
14.2 基本要求
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第14章 振动
14.2 基本要求
14.2 基本要求 1 .能建立单自由度系统线性自由振动、衰减振动和受迫振 动的微分方程，熟悉振动的特征及运动方程。 2 ..利用等效的概念计算系统的等效刚度、等效质量。 3 .能熟练地应用能量法计算系统的固有频率。 4 .能熟练地求解单自由度振动线性系统的自由振动、衰减 振动和强迫振动的微分方程。 5 .能熟练地计算系统的振动周期、频率、振幅、振幅缩减 率（即减幅系数）、对数减幅系数等。 6 .掌握共振的条件，了解临界转速的基本概念。 7 .了解隔振的基本概念。
理论力学第三篇 动 力 学 第14章 振动
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制作与设计 贾启芬 刘习军
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第14章 振动
14.1 主要内容 14.2 基本要求 14.3 重点讨论 14.4 例题分析 14.5 典型习题
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第14章 振动
直接作用激振力
F1 H1 sint
弹簧悬挂点简谐运动引起的激振力 F2 H2 sint kasint
偏心转子引起的激振力
F3 H 3 sin t me 2 sin t
有阻尼强迫振动微分方程的标准形式，是二阶常系数 非齐次微分方程
其中
x 2nx pn2 x h sin t
pn2
k m
;
2n
如，利用各种阻尼减振器消耗能量达到减振目的。
隔振：将需要隔离的仪器、设备安装在适当的隔振器（弹 性装置）上，使大部分振动被隔振器所吸收。
隔振有两种形式 a.主动隔振：将振源与基础隔离开。
主动隔振的效果用力传递率或隔振系数来衡量，定义为
a
HT H
其中H和HT分别为隔振前后传递到地基上的力的幅值。
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14.1 主要内容
b.被动隔振：将需防振动的仪器、设备单独与振源隔离开。
被动隔振是将防振的物体与振源隔离（振源来自地基的 运动），防止或减小地基振动对物体的影响。
被动隔振的效果位移传递率表示，定义为
a
B b
B为隔振后传到物体上的振动幅值，b地基运动的振动幅值。
通过计算可知位移传递率与力传递率具有完全相同的形式。