的图像和函数
的图像在
上的交点个数，即可求出结
果. 【详解】因为函数
满足
,所以函数
是偶函数，图像关于 轴对称，又
函数
在
上的零点个数等价于函数
的图像和函数
的图
像在
上的交点个数，作出函数
和函数
的图像如下：
由图像易得函数
的图像和函数
的图像在
上的交点有 5 个，
即函数
在
上的零点个数为 5 个.
【点睛】本题主要考查数形结合的方法求函数零点问题，属于中档试题. 二、填空题（本大题共 6 小题，共 24.0 分）
（2）若 有两个零点且均比-1 大，求 m 的取值范围．
【答案】（1） 或 4；（2）
【解析】
【分析】
(1)由函数只有一个零点可得，判别式等于 0，从而可求出结果;
(2)结合题意，由根与系数关系可列出关于 m 的不等式组，解之即可得出结果.
【详解】（1）根据题意，若
有且只有一个零点，
则
，
解可得：m=-1 或 4，
②函数
的图象关于点
对称
③函数
的图象的一条对称轴为
④若
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由正弦函数的奇偶性可判断①；由正切函数的对称中心可判断②；由余弦函数的对称性可判
断③；由同角三角函数基本关系，可判断④
【详解】①因为
,所以是奇函数，故①正确；
②令
，得
，所以函数
的对称中心为
,故②错误；
③令
【详解】（1）函数
，
故它的最小正周期为 =π．
（2）令
，求得
，可得函数的增区间为
，
再根据 x 区间 上，可得函数的增区间为[0， ]、[ ，π]．
由以上可得，函数减区间为
，
再根据 x 区间 上，可得函数的减区间为
．
【点睛】本题主要考查三角恒等变换和函数的图像与性质，属于基础题型.
17.函数
．
（1）若 有且只有一个零点，求 m 的值；
，
,
，所以
【点睛】本题主要考查对数值大小的比较，属于基础题型.
5.将函数 f（x）=sinx 的图象上所有的点的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的 3 倍，再将图
象向右平移 π 个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由三角函数图像变换逐步写出结果即可.
【详解】将函数
的图象上所有的点的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的 3 倍,可得
，再将
的图象向右平移 π 个单位长度可得
.
【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，属于基础题型.
6.设函数 与
的图象的交点为 ，则 所在的区间是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
试题分析：根据题意，由于函数 与
的图象的交点为
，，则 就是图像与图
2020 学年天津市河西区高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）
1.已知
则
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
试题分析：依题意可知，
，所以
.
考点：本小题主要考查集合的运算.
点评：列举法表示的集合的运算，可以借助韦恩图辅助解决；描述法表示的集合的运算，可
以借助数轴辅助解决.
【详解】二次函数
在
上单调递减，故 A 错误；
定义域为
，
故 B 错误；指数函数
在 R 上单调递减，故 C 错误；因此选 D.
【点睛】本题主要考查函数的单调性，属于基础题型.
4.若
，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用对数函数、指数函数的单调性即可求解.
【详解】因为
像的交点的横坐标，那么可知也是方程的解，也是函数
的零点，因此结合零点存
在性定理可知，则有 选 A. 考点：函数零点
,那么可知 所在的区间是 ，
点评: 本题主要考查函数的零点和方程的根的关系和零点存在性定理，考查考生的灵活转化
能力和对零点存在性定理的理解，属于基础题．
7.在下列结论中（ ）
①函数
为奇函数
=
=．
【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.
13.已知全集 ,
,
.
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求
.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】
试题分析：两集合 A,B 的交集为两集合的相同的元素构成的集合，并集为两集合所有的元素
构成的集合，补集为全集中除去集合中的元素，剩余的元素构成的集合
试题解析：（Ⅰ）
（Ⅱ）
考点：集合的交并补运算
即 m 的值为-1 或 4；
（2）根据题意，若
有两个零点且均比-1 大，
则有
，解可得-5＜m＜-1，
即 m 的取值范围为（-5，-1）． 【点睛】本题主要考查函数零点问题，属于中档试题.
ห้องสมุดไป่ตู้,所以 a=2.
【点睛】本题主要考查根据函数的值求参数问题，属于基础题型.
11.已知
是奇函数，且
，若
，则
．
【答案】-1
【解析】
试题解析：因为
是奇函数且
，所以
，
则
，所以
．
考点：函数的奇偶性． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 52.0 分）
12.计算：
．
【答案】 【解析】 【分析】 根据对数的运算法则进行化简即可. 【详解】log3 +1g25+1g4- -
2.已知角 的终边经过点
，则 =（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】 由三角函数的定义即可求出结果.
【详解】因为角 的终边经过点
，所以
.
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，属于基础题型.
3.下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据常见函数的单调性即可判断出结果.
14.已知
．
（1）化简 ；
（2）若
，且 是第二象限角，求
的值．
【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 (1)由诱导公式即可化简出结果; (2)由二倍角公式和两角和的余弦公式即可求出结果.
【详解】（1）
=
=．
（2）若
且 是第二象限角，∴
，
，
．
【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式，属于基础题型.
,得
，所以函数
的图象的对称轴为
，故③正确；
④因为
，所以
，则
，故④错误.
【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，以及同角三角函数基本关系，属于基础题型.
8.设函数 满足
，当 时，
，若函数
，则函数
在
上的零点个数为（ ）
A. 6 B. 5 【答案】B 【解析】 【分析】
C. 4
D. 3
数形结合求得函数
【详解】（1）根据题意，f（x）为奇函数且在 R 上的增函数，则
，
解可得
即不等式的解集为
；
（2）根据题意，f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，
则
，
解可得：
，
即不等式的解集为
．
【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题型.
16.已知函数
．
（1）求 的最小正周期； （2）讨论 在区间 上的单调性． 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】 【分析】 (1)由三角恒等变换将函数解析式进行整理化简，再由最小正周期公式即可求出结果. (2)结合正弦函数的单调性即可求出结果.
15.（1）若奇函数 是定义在 R 上的增函数，求不等式
的解集；
（2）若 是定义在 R 上的偶函数，且在区间
上是增函数，求不等式
的解集．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
【分析】
(1)由函数是奇函数可将不等式化为
，再由函数的单调性即可求出结果.
(2)由函数是偶函数可将不等式化为
，再由函数单调性即可求出结果.
9.已知
，则 =______
【答案】
【解析】 【分析】 由二倍角公式即可求出结果.
【详解】因为
，所以
，故
.
【点睛】本题主要考查二倍角公式，属于基础题型.
10.已知
，若
，那么实数 a 的值为______．
【答案】2 【解析】 【分析】 根据分段函数解析式，将
由内向外逐步代入即可求出结果.
【详解】由题意