有理数知识点1：确定一个数是否是有理数问题模型：一般的我们把整数和分数统称为有理数。

有理数都能写成nm（m ，n 是整数，n ≠0）的形式。

任何一个分数也可以化成有限小数或无限循环小数的形式。

求解策略：在了解有理数由整数和分数组成后，首先选出整数，然后再选可表示为有限小数和无限循环小数的分数。

例：在—722，1.5，0，—4，3.14，23%，π，2.323323332，其中有理数的个数为 个。

分析：整数和分数统称为有理数，其中分数是有限小数和无限循环小数。

因为π是无限小数不属于分数，同时也不是整数，所以π不是有理数其它都是有理数。

解：7个 变式：1. 把下列各数分别填入相应的大括号内：8+,293-,2.31,0,-3.14,58+,-5,-12.6， 0.101001000…，••32.0正数集合{ …}； 负数集合{ …}； 有理数集合{ …}。

解：正数集合{ +8，2.31，58+ ， 0.101001000…，••32.0，…}；负数集合{293-，-3.14，-5，-12.6，…}；有理数集合{8+,293-,2.31,0,-3.14,58+,-5,-12.6，…}。

2.给出下列各数：4.443， 0，π，814-，3.1159，－1000，722．其中有理数和非负数的个数分别是 （ ）A ．7和5B ．6和5C ．5和4D ．4和4 解：选B3.请你列举一些有理数以及不是有理数的数解：答案不唯一，但列要特别记住π和0.101001000…之类的数不是有理数。

有理数的分类1有理数按定义进行分类0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数负整数有理数正分数分数负分数问题情境2：有理数的分类情形1：对有理数按定义进行分类 问题模型：有理数按定义进行分类0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数负整数有理数正分数分数负分数求解策略：首先明确各类数的意义，然后根据数的类型筛选数字，最后再检验是否有多选和漏选。

例：把下列各数填在相应的括号内—7， 3.5, —3.14, 722-, 31, 0, 1713 , 0.03%, —314 , 10，—708，⑴自然数集合{ …} ⑵整数集合 { …}⑶分数集合 { …} ⑷负分数集合 { …} ⑸非正整数集合{ …}分析：有理数分为整数和分数。

整数集合包含正整数、0、负整数。

分数集合包含正分数和负分数,正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。

解：⑴自然数集合{0，10 …} ⑵整数集合{—7，0，10 ，—708 …}⑶分数集合 { 3.5, —3.14, 722-, 31, 1713 , 0.03%, —314 …}⑷负分数集合 {—3.14, 722-, —314 …}⑸非正整数集合{ 0,-7,-708， …}变式1. 下列关于“零”的说法：①是整数，也是有理数；②不是正数，也不是负数；③不是整数，是有理数；④是整数，不是自然数．正确的有( )． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 解：选C2.下列说法中正确的是 （ ）A ．有理数是指整数、分数、正有理数、0、负有理数这五类数B ．一个有理数不是正数就是负数C ．一个有理数不是整数就是分数D ．以上说法都不对 解：C3.下列说法不正确的是 （ ） A ．有最小的正整数，没有最小的负整数 B ．一个整数不是奇数就是偶数 C ．－3.14是分数，但不是有理数 D ．－1和0之间没有负整数 解：C相应的大括号里： －1，－9.8，0，37，+108，－315， －100，0.3214，－0.002，1，15.49，－24，956.正整数集合：｛ …｝ 负整数集合：｛ …｝ 正分数集合：｛ …｝ 负分数集合：｛ …｝ 解：正整数：｛+108，1，956，…｝负整数：｛-1，-100，-24，…｝正分数：｛0.3214，5.49 ，37…｝ 负分数：｛－9.8，－315，－0.002…｝有理数分类2：有理数符号性质进行分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 情形2：对有理数按符号性质进行分类问题模型：有理数符号性质进行分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 求解策略：首先明确各类数的意义，然后根据数的类型筛选数字，最后再检验是否有多选和漏选。

注意： 通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数。

如果用字母a 表示数，则a ＞0表明a 是正数；a ＜0表明a 是负数；a ≥0表明a 是非负数；a ≤0表明a 是非正数。

例.把下列各数填在相应的大括号内：－35，20，0.1，－74，0，－0.9，341，1，93%，0.3 正有理数：{ …}； 负有理数：{ …}；整数：{ …}； 正分数：{ …}； 负分数：{ …}； 非正数 { …}。

分析：本题主要考查对有理数按符号性质分类的理解，应知道数的分类分为正有理数、负有理数和零，而正数包括正整数和正分数，负数包括负整数和负分数.零既不是正数也不是负数。

解：正有理数：{20，0.1，341,1,93%,0.3… }； 负有理数：{－35，－74，－0.9 …}； 整 数：{－35，20，0，1 …}； 正 分 数：{0.1，341，93%，0.3 …}； 负 分 数：{－74，－0.9 …}. 非正数{－35，－74，0，－0.9 …}。

变式1.下面各数，哪些是正有理数，哪些是负有理数？-2，3.5，+67，0，-1.75，150，-1.3•，27-解：正数有：3.5，+67，150；负数有：-2，-1.75，-1.3•，27-．2. 下列各数中既不是正有理数，又不是整数的有哪些？-18，7.2，0，-16，-8，4，-3.125解：-16，-3.1253.下列说法正确的个数有（）（1）0是最小的整数（2）一个有理数，不是正数就是负数.（3）有理数包括整数、零、分数.（4）a是正数，a-是负数.（5）自然数一定是正数.（6）整数包括正整数和负整数.（7）非正数就是负数和0.A.0个B.1个C.2个D.3个解：C4．数a是非负有理数，则a包括( )．A．正有理数 B．负有理数C．负有理数和0 D．正有理数和0解：选：D5.把下列各数填在相应的大括号内15，－21 ，0.11，－2.7，+9.87，+69，47+，0.99，0，1213-，56，正整数{ … }；负整数{ …}；正分数{ …}；负分数{ …} ；正有理数{ … }；负有理数{ …} 解正整数{15，+69 … }；负整数{ －21，…}；正分数{56，0.11 +9.87，47+，0.99 …}；负分数{1213-，－2.7，…} ；正有理数{15，56，0.11，+9.87，+69，47+，0.99…}；负有理数{1213-，－21，－2.7…}有理数分类的运用知识点3：有理数分类的运用问题情型：有理数的不同分类方法求解策略：首先明确各种分类的方法，知道各种数的定义，然后根据条件和分类的类型解题例小明写出了10个互不相同的有理数，小新发现这些数中有6个整数、5个正数和4个负分数，除了负分数外没有发现其他负数，那么这些数中有没有0？解题分析：有理数可以分为整数和分数，这10各数中有6个整数，必有4个分数，由于有4个负分数且“除了负分数外没有发现其他负数”，可知正分数有0个，负整数0个：又因为6个整数中有5个正数，这5个正数必是正整数，所以另一个整数一定是0.解：有0.变式1.关于－3.14，下面说法正确的是()．A. 是负数不是分数B. 不是分数是有理数C. 是负数也是分数D. 是分数不是有理数解：选C2.下列分类中，错误的一个是 （ ）A ．⎩⎨⎧非负有理数负有理数有理数B ．⎩⎨⎧偶数奇数正整数C ．⎩⎨⎧非正整数正整数整数 D ．⎩⎨⎧正整数自然数0解：B3.下列说法中正确的是( )．A ．有最大的有理数和最小的有理数B ．有最小的负数，没有最大的正数C ．有最大的负数，没有最小的正数D ．有最大的负整数，有最小的正整数 解：选D4.把下列各数分别填入相应的大括号内．-5，0.05，43-，－4.2，26，－36，10.8，0，+1，10%，π． 正有理数集合：｛0.05， 26， 10.8，+1，10%…｝；负分数集合：｛43-，－4.2， …｝； 非正整数集合：｛-5，0.05，43-，－4.2，－36，10.8，0，10%，π…｝；有理数集合：｛-5，0.05，43-，－4.2，26，－36，10.8，0，+1，10%…｝；非负分数集合：｛-5，0.05，26，－36，10.8，0，+1，10%，π…｝负数集合：｛-5，43-，－4.2，－36，…｝；5.如图所示的A 、B 、C 表示三个数的集合，每个集合中所包含的数都写在各自的大括号内，请把这些数填写在集合圈内相应的位置上． A ：｛－2，－3，－8，6，7，…｝； B ：｛-3,-5,1,2,6,…｝； C ：｛-1,-3,-8,2,5,…｝.解：-2，76-1，52-3-5，1-8。