： 常见的三种力、物体的平衡一、力学中常见的三种力(一)相关概念1.重力、重心 重心的定义： ++++=g mg m gx m gx m x 212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。

重心与质心不一定重合。

如很长的、竖直放置的杆，重心和质心不重合。

2.弹力、弹簧的弹力（F =kx ）（1）两弹簧串联，k 1=11k +21k （2）并联时k=k 1 +k 2 3.摩擦力（1）摩擦力的方向：（2）摩擦角:f 和N 的合力叫全反力，全反力的方向跟弹力的方向的最大夹角（f 达到最大）叫摩擦角，摩擦角=tan -1f /N =tan -1。

摩擦角与摩擦力无关，对一定的接触面，是一定的。

由于静摩擦力f 0属于范围0＜f ≤f m ，故接触面作用于物体的全反力F '同接触面法线的夹角⎪⎭⎫ ⎝⎛=-N f tg 01α≤φ0，这就是判断物体不发生滑动的条件。

换句话说，只要全反力F '的作用线落在（0，φ0）范围时，无穷大的力也不能推动木块，这种现象称为自锁。

（二）巩固练习1.（90国际奥赛题）（哥伦比亚）一个弹簧垫，如图所示，由成对的弹簧组成。

所有的弹簧具有相同的劲度系数10N/m ，一个重为100N 的重物置于垫上致使该垫的表面位置下降了10cm ，此弹簧垫共有多少根弹簧（假设当重物放上后所有的弹簧均压缩相同的长度）。

4002.如图所示，两个劲度系数分别为k 1和k 2的轻质弹簧竖直悬挂，弹簧下端用光滑细绳连接，并有一光滑的轻滑轮放在细绳上.把滑轮和两个轻弹簧等效成一个弹簧，求等效弹簧的劲度系数。

3.水平地面上有一质量为m 的物体,受斜向上的拉力F 作用而匀速移动,物体与地面间的动摩擦因数为,则为使拉力F 最小,F 与水平地面间的夹角多大F 的最小值为多少 （答案：tan -1；21μμ+mg ） 解:先把f 和N 合成一个力T ,因f 和N 成正比,所以当F 发生变化时T 的大小也要发生变化,但方向不变,且=tan -1N f =tan -1. 这样,就把四个力平衡问题变成了三个力平衡问题,如左图所示.根据平行四边形定则,当F 和T 垂直时F 最小,如右图所示.得F 与水平地面间的夹角==tan -1,θ F N F F f m f 0α φ另解：设F与水平面成角时F最小,有F cos-(mg-F sin)=0,得αμαμsincos+=mgF,令=cot,,代入上式得)sin(sinαϕϕμ+=mgF=21μμ+mg。

二、共点力作用下物体的平衡（一）相关概念1.三力汇交原理：互不平行的三个力处于平衡，这三个力的作用线必交于一点。

例1.如图所示,质量为M的杆AB静止在光滑的半球形容器中,设杆与水平方向的夹角为.则容器面对杆A 点的作用力F为多大解：F的作用线通过圆心B点对杆的作用力N与相垂直角度关系如图所示根据正弦定理ααsin)90sin(0FMg=-得αtanMgF=（二）巩固练习1.如图所示，有四块相同的滑块叠放起来置于水平桌面上，通过细绳和定滑轮相互联接起来.如果所有的接触面间的摩擦系数均为μ，每一滑块的质量均为m，不计滑轮的摩擦.那么要拉动最上面一块滑块至少需要多大的水平拉力如果有n块这样的滑块叠放起来，那么要拉动最上面的滑块，至少需多大的拉力16μm g , n2μmg2.在一个与平面成a角的粗糙斜面上放着一个物体，它系于一个不伸长的细绳上，绳的另端通过斜面上的一个小孔竖直穿过平面，如图所示，然后慢慢地拉动绳子，开始时，绳子处于水平位置，在这个物体到达小孔的时候，物体在斜面上通过的轨迹正好是一个半圆，求动摩擦因数μ。

tan a3.三根不可伸长的相同的轻绳，一端系在半径为r0的环1上，彼此间距相等，绳穿过半径为r0的第2个圆环，另一端同样地系在半径为2r0的环3上，如图所示，环1固定在水平面上，整个系统处于平衡状态.试求第2个环中心与第3个环中心之间的距离.(三个环都是用相同的金属丝制作的，摩擦不计) 解:过中心作一截面图，如图所示，由于对称，每根绳上张力相同，设为F.设环2的质量为m，则环3的质量为2m.对环2和3整体有:3F = mg + 2mg对环3有:3F sinθ= 2mg由以上两式得:32sin=θ即3222=+drd，所以52rd=124. 有三个光滑的圆柱体，重量相等，且半径均为r ，同置于一块光滑圆形曲面上如图所示。

试求下面两个圆柱体不致被压而分开时，曲面半径R 需满足的条件。

r )721(R +≤5. 如图所示，原长L O 为100公分的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内，弹簧的一端固定在槽的O 端，另一端连接一小球，这一装置可以从水平位置开始绕O 点缓缓地转到铅直位置，设弹簧的形变总是在其弹性限度内，试在下述(a)、(b)两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O 点转到铅直位置时小球离开原水平面的高度h o 。

(a)在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现40cm 的极大值。

(b)在转动过程中，发现小球离原水平面的高度不断增大。

答案(a)37.5cm (b)100cm ＞ho ＞50cm6..一个小物体与竖直墙面之间的动摩擦因数μ=，当作用力F 与竖直方向成α=530度时，F 至少为10N才能维持物体的静止（1）在α不变的情况下，需要多大的力F 才能使物体沿墙面向上做匀速运动。

20N(2)在动摩擦因数μ确定的情况下，要使物体向上做匀速运动,α角有有什么限制。

7.一条轻绳跨过同一高度的两轻滑轮,两端分别拴上质量为4Kg 和2Kg 的物体,两滑轮间的一段绳子上挂第三个物体,如图所示.试问：为使这三个物体能保持平衡，第三个物体的质量取值范围多大。

解(1)因所挂的质量m 越小,所以O 点靠近A 点,OB 趋向水平,OA 与水平面有夹角。

对O 点受力平衡：32,)4()2()(222==+m g g mg 得kg 。

即当32<m kg 时,三个物体平衡将破坏.(2)m 越大,OB 和OA 都趋向于竖直,所以当m >6Kg 时三个物体平衡将破坏.[解]:此题只需求两个极值.m 最大值:设线足够长,则m 接近m 1+m 2,此时两细线间的夹角接近0.如图解2-4-1因此126m m m kg <+<.m 的最小值:当m 最小时,因为21m m > ,此时m 在靠近右侧的滑轮处,连接m 和m 1的两线的夹角近90°此时满足:2221()()m g mg m g >+ 由此解得:23m kg > 综合以上:236kg m kg <<8. 如图所示，静止的圆锥体铅直放置， 顶角为α，有一质量为m 并分布均匀的细炼条圆环水平地套在圆锥体上。

忽略炼条与锥面之间的摩擦力，试求炼条中的张力T 。

2αcot π2mg =T解2-4-1 解2-4-19.如图所示，每侧梯长为L 的折梯置于铅垂平面内，已知A 、B 两处与地面间的动摩擦因数分别为A =，B =，C 点用光滑的铰链连接，不计梯重，求人最多能爬多高。

解：若B 端开始滑动，AC 为二力杆，地面对A 端的作用力方向与竖直方向夹角为30，而A 点对应的摩擦角A =tan -1A =<30。

AC 杆不能衡。

若A 端开始滑动，AB 为二力杆，地面对B 端的作用力方向与竖直方向夹角为30，而B 点对应的摩擦角B =tan -1B =>30。

AB 杆能衡。

所以人必须从A 点沿梯上爬，此时B 端受到地面的作用力沿着BC 方向。

对整体，根据三力共点，人的重力作用线必通过F A 和F B 的交点。

设人的水平距离为s ，有几何关系（两边高相等）：s cot A =(L -s )cot30， 得s =,最大高度H =3s =。

10.(2013年华约自主招生)明理同学平时注意锻炼身体，力量较大，最多能提起m=50kg 的物体。

一重物放置在倾角θ=15°的粗糙斜坡上，重物与斜坡间的摩擦因数为μ= 3 ≈。

试求该同学向上拉动的重物质量M 的最大值析;设该同学拉动重物的力F 的方向与斜面成角度φ，根据力的平衡，在垂直于斜面的方向上有F N +F sin φ-Mg cos θ=0 ①式中F N 是斜面对重物的支持力，其大小等于重物对斜面的正压力。

沿斜面的方向上有F cos φ-μF N - Mg sin θ=Ma ②根据题意，重物刚能被拉动，加速度a 近似为零，由牛顿运动定律F cos φ-μF N - Mg sin θ=0 ③联立①③式得θθμϕμϕsin cos sin cos ++⋅=g F M ④ 令Ω=tan μ⑤联立④⑤式得)sin()cos(Ω+-Ω⋅=θϕg F M ⑥ 要使质量最大，分子须取最大值，即1)cos(=-Ωϕ，ϕ=Ω⑦此时能拉动的重物的质量的最大值为)sin(1Ω+⋅=θg F M max ⑧ 由题给数据，知33tan =Ω，︒=Ω30⑨ 于是该同学能拉动的重物质量不超过M max ，有kg 7.702)1530sin(1≈=︒+︒⋅=<m g mg M M max ⑩(备用)1.将质量为M 的小车沿倾角为,动摩擦因数为的斜面匀速拉上,求拉力的方向与斜面夹角为多大时,拉力最小最小的拉力为多大？（答案：tan -1；21cos sin μαμα++=Mg Mg ） 解:小车受四个力作用处于平衡,先把摩擦力f 和支持力N 合成一个力R ,因f 和N 成正比,所以R 和N 的夹角=tan -1,这样问题就转化成小车在三个力作用的平衡问题.小车受到的重力Mg 的大小和方向都保持不变,当拉力F 和R 垂直时,F 最小，==tan -1,最小值为：F min =Mg sin(+)=Mg sin(+tan -1)21cos sin μαμα++=Mg Mg .2.半径为R 的钢性光滑球固定在桌面上,有一个质量为m 的均匀弹性绳圈,自然长度为2a (a =2R ).现将绳圈从球面的正上方轻放到球面上,并使它保持水平,静止套在球面上,这时绳圈的半径增为b (b =2a ),求绳圈的倔强系数. [答案：.2)12(2Rmg x T K π∆+==] 解:F 为水平方向(如图A ),对一小段绳研究：,tan ,45,2/220mg mg F R a b ∆∆αα===∴==则竖直投影(如图B ),F =2T sin2θ∆, 因0,所以mg T F ∆θ∆=⨯=22,θ∆∆mg T =, 又因为πθ∆∆2m m =,所以π2mg T =, 弹簧伸长,22222R R x ππ∆-= 所以绳圈的倔强系数：.2)12(2R mg x T K π∆+==。