解三角形 1．正弦定理:
2sin sin sin a b c
R A B C
===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =.
2．余弦定理： 222222
2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C
⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪
+-⎪=
⎨⎪⎪+-=
⎪⎩
.
3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用
ABC ∆中A B C π
++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：
sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-
sin cos ,cos sin ,tan cot 222222
A B C A B C A B C
+++===.
高一数学测试题———正弦、余弦定理与解三角形
一、选择题： 1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于
（ ）
A ．60°
B ．60°或120°
C ．30°或150°
D ．120°
2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）
A ．a=1,b=2 ,c=3
B ．a=1,b=
2 ,∠A=30°
C ．a=1,b=2,∠A=100°
C ．b=c=1, ∠B=45°
3、在锐角三角形ABC 中，有 （ ）
A ．cosA>sin
B 且cosB>sinA B ．cosA<sinB 且cosB<sinA
C ．cosA>sinB 且cosB<sinA
D ．cosA<sinB 且cosB>sinA
4、若(a+b+c)(b+c-a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
5、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x 2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么角B （ ）
A ．B>60°
B ．B ≥60°
C ．B<60°
D ．B ≤60°
6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m 的值为
（ ）
A ．4
B ．2
C ．1
D ．不定
7、如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β, α(α<β),则A 点离地面的高度
AB 等于
（ ）
A ．
)sin(sin sin αββα-a
B ．
)
cos(sin sin βαβα-⋅a
C ．
)
sin(cos sin αββα-a D ．
)
cos(sin cos βαβα-a
8、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南偏东60°,则A,B 之间的相距 （ ）
A ．a (km)
B ．
3a(km) C ．2a(km)
D ．2a (km)
二、填空题：
9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=
12
7
, 则ΔABC 是______三角形. 10、在ΔABC 中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.
11、在ΔABC 中，若S ΔABC =4
1 (a 2+b 2－c 2
),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=32
31
,则cosC=_______.
三、解答题：
13、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC=B
A B
A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).
A B
α
β
1、在ABC △中，已知内角
A π
=
3
，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．
2、在ABC △中，角
,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，若1
sin ,2
A
=sin B =
，求::a b c
3、在
ABC
△中
,,a b c
分别为
,,A B C
∠∠∠的对边，若
2sin (cos cos )3(sin sin )A B C B C +=+，
（1）求A 的大小；（2
）若9a b c =+=，求b 和c 的值。

4、如图
2AO =，B 是半个单位圆上的动点，ABC △是等边三
角形，求当AOB ∠等于多少时，四边形OACB 的面积最大，并
求四边形面积的最大值．
5、在△OAB 中，O 为坐标原点，
]2
,0(),1,(sin ),cos ,1(π
θθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ( )
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．2
π
6. 在ABC ∆中，已知C B
A sin 2
tan =+，给出以下四个论断，其中正确的是 ①2tan cot 1X A B σ⋅=
②2sin sin
0≤+<B A
③1cos sin 22
=+B A
④C B A 222
sin cos cos
=+
F
E
O
C
B
A
一、BDBBD AAC 二、（9）钝角 （10）
3314 （11）4
π
（12）
8
1
三、（13）分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦定理
ac ac c a ac b c a ac b c a =-+⇒=-+⇒-+=︒222222222
1
2260cos 0)(2=-∴c a ，
c a =∴. 由a=c 及B=60°可知△ABC 为等边三角形. ②由A
A
b B a A b cos sin tan tan 22
2
⇒=
,2sin 2sin ,cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos sin 22222B A B B A A A
B a b B A A B B B a =∴=∴==⇒=∴A=B
或A+B=90°，∴
△ABC 为等腰△或Rt △. ③B
A B A C cos cos sin sin sin ++=
，由正弦定理：,)cos (cos b a B A c +=+再由余弦定理：
b a ac
b c a c bc c b a c +=-+⨯+-+⨯22222222
∆∆∴+=∴=--+∴Rt ABC b a c b a c b a 为,,0))((2
2
2
2
2
2
. ④由条件变形为222
2
)sin()sin(b
a b a B A B A +-=+-
︒=+=∴=∴=⇒=--+-++∴90,2sin 2sin sin sin sin cos cos sin ,)sin()sin()sin()sin(2
222B A B A B A B
A
B A B A b a B A B A B A B A 或. ∴△AB
C 是等腰△或Rt △.。