学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 专题8 解三角形
【考题回放】
1．设,,a b c 分别是A B C ∆的三个内角,,A B C 所对的边，则()2
a b b c =+是2A B =的
（ A ）
（A ）充分条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 2．在ABC ∆中，已知C B A sin 2
tan
=+，给出以下四个论断：
① 1cot tan =⋅B A
② 2sin sin 0≤+<B A ③ 1cos sin 22=+B A ④ C B A 222sin cos cos =+
其中正确的是（ B ）
（A ）①③ （B ）②④ （C ）①④ （D ）②③ 3．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2
tan
2
tan
32
tan
2
tan C A C A ++的值为
__________3.
4．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（） A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形
C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形
D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形
5．己知A 、C 是锐角△ABC 的两个内角，且tanA, tanC 是方程x 2-3px+1-p ＝0 (p≠0，且p ∈R)，的两个实根，则tan(A+C)=_______，tanA,tanC 的取值范围分别是___ _ 和__ ___，p 的取值范围是__________3；(0，3)；(0，3)；［
3
2，1)
6．在ΔABC 中，已知6
6cos ,3
64=
=
B AB ，A
C 边上的中线BD=5，求sinA.
【专家解答】 设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE//AB ，且3
6221=
=
AB DE ，
设BE=x 在ΔBDE 中可得2
2
2
2cos BD BE ED BE ED BED =+-⋅∠，
x x 6
63
6223
852
⨯
⨯
++
=，解得1=x ，3
7-=x （舍去）
故BC=2，从而3
28cos 22
2
2
=
⋅-+=B BC AB BC
AB AC ，
即3
21
2=
AC 又6
30sin =
B
，故
2sin A
=
，70
sin =
A
【考点透视】本专题主要考查正弦定理和余弦定理．
【热点透析】三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 学生需要掌握的能力：
(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；
(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；
(3)能熟练运用三角形基础知识，正(余)弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等
学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘
【范例1】【文】在△ABC 中，若tanA ︰tanB ＝22b a :，试判断△ABC 的形状．
解析 由同角三角函数关系及正弦定理可推得
∵A 、B 为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．
∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝
2
π
．
所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 【点晴】三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边
之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a 2
＋b 2＝c 2， a 2＋b 2>c 2（锐角三角形），a 2＋b 2＜c 2（钝角三角形）或sin(A －B)＝0，sinA ＝sinB ，sinC ＝1或cosC ＝0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索．
【范例2】 【文】在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，
2
2
74sin cos 2
2
B C A +-=
.
(1)求角A 的度数；
(2)若a =3，b +c =3，求b 和c 的值.
解析 2
7
(1)4s i n c o s 2180,
:
22
B C
A A
B
C +-=++=︒由
及得 22
2
72[1cos()]2cos 1,4(1cos )4cos 5
2
14cos 4cos 10,cos ,2
0180,60B C A A A A A A A A -+-+=+-=-+=∴=︒<<︒∴=︒ 即
22
2
2
2
2
22
(2):cos 211cos ()3.
222
312
3:2 :.
221b c a
A bc b c a
A b c a bc bc
b c b b a b c bc bc c c +-=+-=∴
=∴+-=+===⎧⎧⎧=
+==⎨⎨⎨===⎩⎩⎩
由余弦定理得代入上式得由得或
【点睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛.
【范例3】已知△ABC 的周长为6，,,BC C A AB
成等比数列，求
（1）△ABC 的面积S 的最大值；
（2）BA BC
的取值范围．
解析 设,,BC C A AB
依次为a ，b ，c ，则
a+b+c=6，b²=ac ．
在△ABC 中得222
22
21cos 2222
a c b
a c ac
ac ac B ac
ac
ac
+-+--==
≥
=,
故有03
B π
<≤
．又6,2
2
a c b
b +-=
≤=从而02b <≤．
（１）2
2
111sin sin 2sin
2
2
2
3
S ac B b B π
=
=≤⋅⋅=
m ax S =
学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 （２）22222()2cos 22
a c
b a
c ac b
BA BC ac B +-+--===
22
2
(6)3(3)272
b b
b --=
=-++．
02,b <≤ 218B A
B C ∴≤<
． 【点睛】 三角与向量结合是高考命题的一个亮点.问题当中的字母比较多，这就需要我们采用消元的思想，想办法化多为少，消去一些中介的元素，保留适当的主变元．主变元是解答问题的基本元素，有效的控制和利用对调整解题思路是十分有益处的．
【变式】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c, △ABC 的外接圆半径R=3，且满足
B
C
A B
C sin sin sin 2cos cos -=
.
(1) 求角B 和边b 的大小； (2) 求△ABC 的面积的最大值。

解析 (1) 由
B
C
A B
C sin sin sin 2cos cos -=
整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB
∴sin(B+C)= 2sinAcosB ∴sinA =2sinAcosB ∴cosB=2
1 ∴B=
3
π
∵ b=2RsinB ∴b=3 (2)∵ABC ∇S =)3
2sin(
sin 33sin sin 3sin 21
2
A A C A R
B ac -==
π
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-=
21)62sin(233πA ∴当A=
3
π
时, ABC ∇S 的最大值是
4
39 ．
【点睛】三角函数的最值问题在三角形中的应用
【范例4】某观测站C 在城A 的南20˚西的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南40˚东，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问还需走多少千米到达A 城？
解析 据题意得图02，其中BC =31千米，BD =20千米，CD =21千米，∠CAB=60˚． 设∠ACD = α ，∠CDB = β ．在△CDB 中，由余弦定理得：
7
120
21231
20
21
2cos 2
2
2
2
2
2
-
=⨯⨯-+=
⋅⋅-+=BD CD BC BD
CD
β，
7
34cos
1sin 2
=-=
ββ．
()CDA
CAD ∠-∠-︒=180sin sin α
()β+︒-︒-︒=18060180sin
()14
352
37
12
17
3460sin cos 60cos sin 60sin =
⨯
+
⨯
=
︒-︒=︒-=βββ．。