－3 A.f 2 <f(－1)<f(2)
－3 B.f(2)<f 2 <f(－1)
－3 C.f(2)<f(－1)<f 2
－3 D.f(－1)<f 2 <f(2) 解析 ∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，
∴f(2)＝f(－2).
又 f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－3<－1. 2
－x2－x，x<0， 综上可知 f(x)＝
x2－x，x≥0. (2)设 x<0，－x>0， 则 f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1， 又 f(x)在 R 上为偶函数，∴当 x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1. 题型四 函数单调性与奇偶性的应用 方向 1 比较大小问题 【例 4－1】 若对于任意实数 x 总有 f(－x)＝f(x)，且 f(x)在区间(－∞，－1]上是 增函数，则( )
－∞，－5 5，＋∞
单调递减区间是
2和2
.
4.(1)中的函数在区间(－∞，－2]与[2，＋∞)上单调性相反，(2)中的函数在区间
－5，0 0，5 2 与 2 上单调性相同.
1.函数的奇偶性 奇、偶函数的定义域关于原点对称
奇偶性
定义
图象特点
设函数 f(x)的定义域为 I，如果 x∈I，都有－x∈I，且
为________________________________________________________.
解析 因为函数 f(x)在区间[－3，－1]上是减函数，所以 f(－1)<f(－2)<f(－3).
又函数 f(x)是偶函数，则 f(－x)＝f(x).即 f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，
课标要求
3.2.2 奇偶性
素养要求
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和
几何意义.
通过本节内容的学习，让学生结合实例，
2.会根据函数奇偶性求解析式.
利用图象抽象出函数性质，重点提升学
3.能利用函数的奇偶性与单调性分析、 生的直观想象和逻辑推理素养.
解决简单问题.
教材知识探究
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建 筑物和它在水中的倒影……
3 又函数 f(x)＝1x2＋bx＋b＋1 为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得 b＝0.
3 (2)由奇函数定义有 f(－x)＋f(x)＝0， 得 a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故 a＝0. 答案 (1)1 0 (2)0
3 规律方法 利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数：奇偶函数 f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称， 利用 a＋b＝0 求参数. (2)解析式含参数：根据 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系 数法求解. 【训练 2】 (1)设函数 f(x)＝（x＋1）（x＋a）为奇函数，则 a＝________.
因为 f(x)为 R 上的奇函数，故 f(0)＝0.
－2x2＋3x＋1，x>0， 综上，f(x)的解析式为 f(x)＝ 0，x＝0，
2x2＋3x－1，x<0.
答案
(1)x(x＋1)
－2x2＋3x＋1，x>0， (2) 0，x＝0，
2x2＋3x－1，x<0
规律方法 利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应设在哪个区间上. (2)要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用 f(x)的奇偶性写出－f(x)或 f(－x)，从而解出 f(x). 提醒：若函数 f(x)的定义域内含 0 且为奇函数，则必有 f(0)＝0，但若为偶函数， 未必有 f(0)＝0. 【训练 3】 (1)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x<0 时，f(x)＝－x2－x， 求函数 f(x)的解析式. (2)已知 f(x)是 R 上的偶函数，当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，当 x∈(－∞， 0)时，求 f(x)的解析式. 解 (1)设 x>0，－x<0， 则 f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x. 又 f(x)是 R 上的奇函数，所以 f(x)＝－f(－x)＝x2－x. 又∵函数定义域为 R，∴f(0)＝0，
答案 －x－1
[微思考]
1.为什么奇、偶函数的定义域一定关于原点对称？
提示 由函数奇偶性的定义知，若 x 在定义域内，则－x 一定也在定义域内(若－
x 不在定义域内，则 f(－x)无意义)，因此，具有奇偶性的函数的定义域必关于原
点对称.
2.对于函数 f(x)＝ax2＋bx＋c. (1)若 f(x)为偶函数，需满足什么条件？ (2)若 f(x)为奇函数，需满足什么条件？ 提示 (1)b＝0 (2)a＝c＝0
称，则函数为偶函数. 【训练 1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x5； (2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|； (3)f(x)＝2x2＋2x.
x＋1 解 (1)函数的定义域为 R.又 f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，所以 f(x) 是奇函数. (2)f(x)的定义域是 R.因为 f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，所以 f(x)是偶函数. (3)函数 f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以 f(x)是 非奇非偶函数. 题型二 利用函数奇偶性求参数(值) 利用定义或特殊值求解 【例 2】 (1)若函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则 a＝________，b＝________； (2)已知函数 f(x)＝ax2＋2x 是奇函数，则实数 a＝________. 解析 (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a－1＋2a＝0，解得 a＝1，
问题 4 就图(1)而言，函数在区间(－∞，－2]与[2，＋∞)上的单调性是否相同？
就图(2)而言，函数在区间
－5，0 2
与
0，5 2
上的单调性是否相同？
提示 1.整个图形对称.
2.图形略.
3.(1)中的函数单调递增区间是(－2，0)和(2，＋∞)；
单调递减区间是(－∞，－2)和(0，2).
－5，0 0，5 (2)中的函数单调递增区间是 2 和 2 ；
所以 f(1)<f(2)<f(－3).
答案 f(1)<f(2)<f(－3)
3.函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝－x＋1，则当 x<0 时，f(x)
＝________.
解析 当 x<0 时，－x>0，则 f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝－f(x)，
所以 f(x)＝－x－1.
问题 1 上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部 分”对称？ 问题 2 我们本节学习的奇偶函数的图象有完美的对称关系，如图(1)(2)所示分别 为偶函数和奇函数的一部分图象，你能结合奇偶函数图象的对称关系象的单调区间吗？
数.
2.不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(×)
提示 存在 f(x)＝0，x∈R 既是奇函数，又是偶函数.
3.若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数.(×)
提示 函数 f(x)＝x2－2x，x∈R 的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又
不是偶函数.
4.若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0.(√)
x
x2＋x，x≤0，
(2)已知函数 f(x)＝
为奇函数，则 a＋b＝________.
ax2＋bx，x>0
解析 (1)因为 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，
即（－x＋1）（－x＋a）＝－（x＋1）（x＋a），
－x
x
显然 x≠0，整理得 x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
题型一 函数奇偶性的判断 首先判断定义域是否关于原点对称，若对称，则利用定义判断 【例 1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝ x2－1＋ 1－x2； (3)f(x)＝ x ；
x－1 x＋1，x>0， (4)f(x)＝ －x＋1，x<0. 解 (1)函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称，又 f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， 所以 f(x)为偶函数. (2)函数 f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且 f(x)＝0，又 f(－x)＝－f(x)， f(－x)＝f(x)， 所以 f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)函数 f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， 所以 f(x)是非奇非偶函数. (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x). 综上可知，对于 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有 f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数. 规律方法 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法： (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定 义域关于原点对称，则应进一步判断 f(－x)是否等于±f(x)，或判断 f(－x)±f(x)是 否等于 0，从而确定奇偶性. (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于 y 轴对
数，即在对称区间上单调性一致(相同).
(2)若 f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数，则 f(x)在[－b，－a]上为减函
数，即在对称区间上单调性相反.
教材拓展补遗
[微判断]