2020年河南郑州高三二模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）．A. B. C. D.2.已知复数（其中是虚数单位，满足），则的共轭复数是（ ）．A. B. C. D.3.郑州市年各月的平均气温（）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（ ）．A. B. C. D.4.圆关于直线对称的圆的方程为（ ）．A. B.C. D.5.在边长为米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为（ ）．A.米B.米C.米D.米6.若，，则的值为（ ）．A.B.C.D.开始输入输出结束是否7.在如图所示的程序框图中，若输出的值是，则输入的的取值范围是（ ）．A.B.C.D.8.为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线时，表示收入完全平等．劳伦茨曲线为折线时，表示收入完全不平等．记区域为不平等区域，表示其面积；为的面积．将，称为基尼系数．对于下列说法：①越小，则国民分配越公平．②设劳伦茨曲线对应的函数为，则对，均有．③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则．④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则．其中不正确的是（ ）．xyO累计人口百分比累计收入百分比A.①④B.②③C.①③④D.①②④9.年月日是中华人民共和国成立周年国庆日，将，，，，按照任意次序排成一行，拼成一个位数，则产生的不同的位数的个数为（ ）．A.B.C.D.10.已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.11.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）．正视图侧视图A.B.C.D.12.已知双曲线的右焦点为，过作直线的垂线，垂足为，且交双曲线的左支于，若，则该双曲线的离心率为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.二项式的展开式中的常数项为 ．14.已知函数，，当且时，方程根的个数是 ．15.已知四边形中，，．，，是边上的动点，则的最小值为 ．16.设函数的图象上存在两点，，使得是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17.已知数列为公差不为零的等差数列，，且满足．（1）（2）求数列的通项公式．若数列满足，且，求数列的前项和．（1）（2）（3）18.由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的年度全国“最美中学生”寻访活动结果出炉啦，此项活动于年月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在票以上（包括票）定义为风华组．票数在票以下（不包括票）的学生定义为青春组．在这名学生中，青春组学生中有男生人，风华组学生中有女生人，试问有没有的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关．如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取人，再从这人中随机抽取人，那么至少有人在青春组的概率是多少？用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取人，用表示所选人中青春组的人数，试写出的分布列，并求出的数学期望．附：；其中，独立性检验临界表：（1）（2）19.如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面上的射影恰好落在边上．求证：平面平面．当时，求二面角的余弦值．【答案】解析:∵，∴，∴．故选．Q R（1）（2）20.在平面直角坐标系内，动点到定点的距离与到定直线距离之比为．求动点的轨迹的方程．设点，是轨迹上两个动点，直线，与轨迹的另一交点分别为，，且直线，的斜率之积等于，问四边形的面积是否为定值？请说明理由．（1）（2）21.已知函数，当时，求曲线在处的切线方程．讨论函数在上的单调性．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在极坐标系中，圆的方程为（）．以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）．求圆的标准方程和直线的普通方程．若直线与圆交于，两点，且．求实数的取值范围.（1）（2）23.已知函数．当时，解不等式．若，求的最小值．D1.解析:，则．故选：．解析:样本数据有个，位于中间的两个数为，，则中位数为，故选．解析:圆的圆心为，设与之对称的圆的圆心为，则两圆心中点为，其中点在直线上，①，同时两圆心连线的斜率，直线的斜率与的乘积为，故②，联立①②得，，故与之对称的圆为：．故选．解析:本题画图如下：A 2.C 3.C 4.A 5.光源发出的光线构成一个圆锥形状，要使光源照亮广场，正六边形的对角线是等腰直角三角形的底，根据轴截面是等腰直角三角形可知，等腰直角三角形底上的高为．解析:，，，，，，，两边同时平方得：，．解析:，第一次循环：，，第二次循环：，，第三次循环：，A 6.B 7.，第四次循环：，此时要跳出循环体，输出结果，则，故选：．解析:对于①，根据基尼系数公式，可得基尼系数越小，不平等区域的面积越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得，均有，可得，所以②错误；对于③，因为，所以，所以③错误；对于④，因为，所以，所以④正确．故选．解析:由题意可知：，，，，中除不可以作为首位，其他数字都可以，故先从、、、中选出一位作为首位，共有种选择，再排列剩下的四个数，共有！种不同的情况，所以不同位数的个数为！，但是当其中和相邻且在左时正好组成，和数字样，可以把和看作一个整体和，，，一起共有！种排列即种，其中有一半是重复的，故减去，最后产生的不同的位数有个．故选．B 8.B 9.D10.解析:∵，，成等比数列，∴，∴，，解得，∴，，∴，当且仅当时取等号，此时，且取到最小值．故选．解析:如图所示，该几何体为四棱锥．底面为矩形，其中底面．，，．则该阳马的外接球的直径为：．∴该阳马的外接球的表面积为：．C 11.故选．解析:设，则直线的方程为，代入双曲线渐近线方程得，由得，把点坐标代入双曲线方程，即，整理得，即离心率．故选：．解析:二项式的通项公式为，令，解得．故常数项为．解析:，令得，，∴在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，且，，，，，故作函数与在上的图象如下：又，都是奇函数，且不经过原点，∴与在上共有个交点，故有个零点．C 12.13.14.15.解析:如图：，，，，，，，，，，当时，取最小值为．16.解析:假设曲线上存在两点、满足题设要求，则点、只能在轴两侧．不妨设，，，，，∵是以为直角顶点的直角三角形，∴，即．①若方程有解，存在满足题设要求的两点、；若方程无解，不存在满足题设要求的两点、．若，则代入①式得，，即，而此方程无解．∴．此时，代入，即．（1）（2）令，，∴在上单调递增．∵，∴．∴．∴对于，方程①总有解．解析:设等差数列的公差为，则，解得，∴．由，∴，当时，，对也适合，∴，∴，∴．（1）．（2）．17.（1）没有的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．（2）．（3）分布列为：18.（1）（2）（3）（1）解析:作出列联表： 青春组风华组合计男生女生合计由列联表数据代入公式得，因为，故没有的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．用表示“至少有人在青春组”，则．由题知，抽取的名学生中有名学生是青春组学生，抽取名学生是青春组学生的概率为，那么从所有的中学生中抽取名学生是甲组学生的概率是，又因为所取总体数量较多，抽取名学生可以看出次独立重复实验，于是服从二项分布，显然的取值为，，，，．且，，，，，．所以得分布列为：数学期望．解析:设点在平面上的射影为点，连结，则平面，∴，∵四边形是矩形，∴，数学期望．（1）证明见解析．（2）．19.（2）（1）（2）∴平面，∴，又，∴平面，而平面，∴平面平面．在矩形中，过点作的垂线，垂足为，连结，∵平面，∴，又，∴平面，∴，∴是二面角的平面角，设，则，在中，由题意得，，在中，，解得，∴，∴二面角的余弦值为．解析:设，由题意可得：，化简得，所以动点的轨迹的方程为：．设，，（1）．（2）四边形的面积为定值，证明见解析．20.（1）（2）由得：，，因为点，在椭圆上，所以，，所以，化简得，直线的方程为，原点到直线的距离为，所以的面积，根据椭圆的对称性，四边形的面积，所以，所以，所以四边形的面积为定值．解析:当时，曲线，，时，切线的斜率为，又切线过点，所以切线方程为．（1）切线方程为．（2）当时，的单减区间是．当时，单减区间是，单增区间是，，当时，单增区间是．21.（1）（2），，，当时，，函数在上单调递减；当时，令，，当时，即，，此时，函数在上单调递增；当时，即，方程有两个不等实根，所以，，此时，函数在，上单调递增；在上单调递减．综上所述，当时，的单减区间是．当时，单减区间是，单增区间是，，当时，单增区间是．解析:∵（）．∴，即，即，（）．则圆的标准方程为，（）．由，消去参数得，即直线的普通方程为．由圆的方程得圆心，半径，则圆心到直线的距离，∵．∴，（1）圆的标准方程为，（）．直线的普通方程为．（2）．22.（1）（2）即，则，即，则，则，由得得．即实数的取值范围是．解析:当时，，由的单调性及，得的解集为．由得，由得，得．（当且仅当或时等号成立）故的最小值为．（1）．（2）．23.或或。