8
若已知连续型随机变量 X 的密度函数为 px，
则 X 在任意区间D （D可以是开区间, 也可以是 闭区间，或半开半闭区间；可以是有限区间， 也可以是无穷区间）上取值的概率为，
PX D px dx
D
对连续型随机变量X, 有
P ( a X b ) P ( a X b)
7
p (x)
要注意的是: 密度函数
1
0
p ( x) 在某点处 a 的高度
x
p (a ) 并不是 X a 的概率.
但是这个高度越大，则X取a
附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线 的高度反映了概率集中在该点附近的程度.
由上述性质可知，对于连续型随机变量，
我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义； 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．
3、设Ai “第 i只晶体管150h 失效” i 1, 2, 3, 4.
10
1 P A i P X 150 3 由于 A1 A2 A3 A4 相互独立， 则所求的概率为

P( A1
A2
A3
A4 ) 1 P( A1
A2
A3
A4 )
1 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 )
变量的统计规律性。
本节将要用到由定积分变上限确定的函数及其
导数， 还要用到指数函数及图形特点等知识。
2
定义1、 对于随机变量X，若存在非负函数
px x , 使对任意实数 x , 都有
则称X为连续型随机变量， p x 为X的概率密度函数， 简称密度函数或密度. 所以若已知密度函数， 该连续型随机变量 的概率分布规律就得到了全面描述. 0 x
3
P( X x) ＝
x

p(t )dt
p (x)
x
二、 概率 密度函数的性质 (1) 非负性 (2) 归一性
px 0 x ,



p( x)dx ＝ 1.
性质(1)、(2)是密度函数的充要性质； 这两条性质是判定一个函数 p ( x ) 是否为某随机变量
X的密度函数的充要条件。
6
（5） 对任意实数a，则 P X a 0
这是因为
P( X a) lim P(a x X a)
x 0
lim
x 0

p( x)dx 0 a x
不能推出
a
可见， 由P(A )=0,
A
B=S
由P(B )=1,
不能推出
称A 为几乎不可能事件，B 为几乎必然事件.
p (x) 面积为1
1
0
x
4
3
P( x1 X x2 )＝
x2 x1
p (t ) d t
x1 x2
p (x)
密度函数的几何意义
即X落在[ x1 , x2 ]上的概率 [ x1 , x2 ] 上曲线 y px 之下的曲边 梯形的面积。 （4）若 px 在点x 处连续，则有
0
x1 x2
x
p x
Px X x x lim x 0 x
这表示X落在小区间[x,x+Δx] 上的概率近似地等于 px x.
5
若不计高阶无穷小，有： Px X x x px x
对 p ( x ) 的进一步理解: 若
x
是 p ( x ) 的连续点，则：
P ( x X x x ) lim x 0 x
lim
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0
x x
x
p(t )dt
x
p( x)
故X 的密度 p ( x ) 在 x 这一点的值，恰好是X 落在 区间 ( x, x x ] 的概率与区间长度 x 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量，p ( x ) 相当于线密度. p ( x) 不是概率. p( x)d x 在连续型随机变量理论中 所起的作用与 P( X xk ) pk 在离散型随机变量 理论中所起的作用相类似.
2 4 65 1 ( ) 3 81
11
三、连续性随机变量的分布函数
px x ,
对于连续性随机变量X，存在密度函数
使对任意实数
x
x,
都有
F ( x) ＝P( X x) ＝
由于连续型随机变量的分布 函数唯一被它的密度函数所
p(t )dt
则称F(x) 为连续型随机变量X的分布函数， p (x)
第五节 连续性随机变量
一 、概率密度函数的概念
二、概率密度函数的性质
第二章
三、连续型随机变量的分布函数
1
一、概率密度函数的概念 离散型随机变量的可能值可以一一列举出来， 但
另一类随机变量它们的可能取值不止有限个或可列个，
其取值是充满某一个区间， 即不能用分布列表示X 的
取值及其概率。 因此通过所谓概率密度来描述这类随机
p (x)
F ( x)
x
1
0
x
0
x
13
（2）若 px 在点x 处连续， 则有
F x x F x p x lim x 0 x
P x X x x lim x 0 x
F ( x) px
p(x)
(3) F () lim F ( x) ＝ 0.
F ( x)
x
12
确定. 所以若已知密度函数， 该连续型随机变量的概率 0
x
分布规律就得到了全面描述。
连续性随机变量分布函数的性质 (1) F x 是连续的单增函数
0 F x 1 x ,
F ( x) ＝
x
p(t )dt
p x 0
F ( x)
P ( a X b) P ( a X b)
9
例1 某种晶体管的寿命（h)是随机变量X，其密度
2 k x p x 0
x 100 other
求 1、常数 k .
2、 该晶体管不能工作150 h 的概率。 3、一台仪器中装有4只此种晶体管， 工作150h后， 至少有1只失效的概率。 1 k 2 解 1、 1 k x d x k k 100 100 x 100 100 150 1 1 1 2 ) 2. P X 150 100100 x d x 100( 100 150 3