目录1. 均匀分布 ...................................................................................................... 1 2. 正态分布（高斯分布） ........................................................................... 2 3. 指数分布 ...................................................................................................... 2 4. Beta 分布（β分布） .............................................................................. 2 5. Gamma 分布 .............................................................................................. 3 6. 倒Gamma 分布 ......................................................................................... 4 7. 威布尔分布(Weibull 分布、韦伯分布、韦布尔分布) ..................... 5 8. Pareto 分布 ................................................................................................. 6 9. Cauchy 分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7)10. 2χ分布（卡方分布） (7)11. t 分布......................................................................................................... 8 12. F 分布 ........................................................................................................ 9 13. 二项分布 ................................................................................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布） .............................................................. 10 15.对数正态分布 .......................................................................................111. 均匀分布均匀分布~(,)X U a b 是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
1()f x b a=-()2a bE X +=2()()12b a Var X -=2. 正态分布（高斯分布）当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作2~(,)X N μσ。
正态分布为方差已知的正态分布2(,)N μσ的参数μ的共轭先验分布。
22()21()2x f x e μσπσ--=()E X μ=2()Var X σ=3. 指数分布指数分布~()X Exp λ是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。
其中0λ>为尺度参数。
指数分布的无记忆性：{}|{}P X s t X s P X t >+>=>。
(),0x f x e x λλ-=>1()E X λ=21()Var X λ=4. Beta 分布（β分布）Beta 分布记为~(,)X Be a b ，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。
如果二项分布(,)B n p 中的参数p 的先验分布取(,)Beta a b ，实验数据（事件A 发生y 次，非事件A 发生n-y 次），则p 的后验分布(,)Beta a y b n y ++-，即Beta 分布为二项分布(,)B n p 的参数p 的共轭先验分布。
10()x t x t e dt ∞--Γ=⎰11()()(1)()()a b a b f x x x a b --Γ+=-ΓΓ ()a E X a b=+ 2()()(1)abVar X a b a b =+++ 5. Gamma 分布Gamma 分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的问题是“要等到n 个随机事件都发生，需要经历多久时间”，记为~(,)X Ga a b 。
其中0a >为形状参数，0b >为尺度参数。
Gamma 分布为指数分布()Exp λ的参数λ、Poisson 分布()P λ的参数λ的共轭先验分布。
1(),0()a a bxb f x x e x a --=>Γ()aE X b =2()aVar X b =6. 倒Gamma 分布倒Gamma 分布记为~(,)X IGa a b 。
若随机变量~(,)X Ga a b ，则1~(,)IGa a b X。
其中0a >为形状参数，0b >为尺度参数。
倒Gamma 分布为指数分布()Exp λ的参数1λ、均值已知的正态分布2(,)N μσ的参数2σ的共轭先验分布。
(1)(),0()a a bxb f x x e x a ---=>Γ()1bE X a =- 22(),2(1)(2)b Var X a a a =>--7. 威布尔分布(Weibull 分布、韦伯分布、韦布尔分布)威布尔分布记为~(,)X W m η。
其中0m >为形状参数，0η>为尺度参数。
当1m =，它是指数分布；2m =时，是Rayleigh distribution （瑞利分布）。
常用于拟合风速分布，并用最小二乘法、平均风速估计法或极大似然法求解其参数。
1(),0mm x m x f x e x ηηη-⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫=> ⎪⎝⎭1()1E X m η⎛⎫=Γ+ ⎪⎝⎭2221()11Var X m m η⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫=Γ+-Γ+⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎪⎩⎭8. Pareto 分布Pareto 分布记为~(,)X Pa a b 。
其中0b >为门限参数，0a >为尺度参数。
Pareto 分布是一种厚尾分布。
Pareto 分布为均匀分布(0,)U θ的参数θ的共轭先验分布。
1(),a a b f x x bb x +⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭(),11abE X a a =>-22(),2(1)(2)ab Var X a a a =>--9. Cauchy 分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布）Cauchy 分布记为~(,)X Ca a b 。
其中a 为位置参数，0b >为尺度参数。
中位数()Mode X a =，期望、方差都不存在。
如果12,,,n X X X 是分别符合柯西分布的相互独立同分布随机变量，那么算术平均数()12,,,/n X X X n 服从同样的柯西分布。
标准柯西分布(0,1)Ca 是t 分布的一个自由度。
这种分布更适合拟合那种比较扁、宽的曲线。
221()()bf x b x a π=+-10. 2χ分布（卡方分布）设12,,,n X X X 是来自(0,1)N 的样本，则称统计量221n i i X χ==∑服从自由度为n 的2χ分布，记为22~()n χχ。
12221(),022n x n f x xe x n --=>⎛⎫Γ ⎪⎝⎭()E X n =()2Var X n =11. t 分布设~(0,1)X N ，2~()Y n χ，且X ，Y 相互独立，则称随机变量t Y n=服从自由度为n 的t 分布。
记为~()t t n 。
当自由度n →∞时，t 分布将趋于(0,1)N 。
有时样本量很小，不知道总体的标准偏差，则可以依赖 t 统计量（也称为 t 分数）的分布，其值由下式给出：~(1)X t n s nμ--，其中X 是样本均值，μ是总体均值，s 是样本的标准偏差，n 是样本大小。
12212()12n n x f x n n n π+-+⎛⎫Γ ⎪⎛⎫⎝⎭=+ ⎪⎛⎫⎝⎭Γ ⎪⎝⎭ ()0E X =(),22nVar X n n =>-12. F 分布设21~()U n χ，22~()V n χ，且U ，V 相互独立，则称随机变量12U nF V n =服从自由度为12(,)n n 的F 分布，记为12~(,)F F n n 。
设112,,,n X X X 与212,,,n Y Y Y 分别是来自正态总体211(,)N μσ和222(,)N μσ的样本，且这两个样本相互独立。
设X ，Y 分别是这两个样本的样本均值；21s ，22s 分别是这两个样本的样本方差，则有2122122122~(1,1)s s F n n σσ--；当22212σσσ==121212~(2)11w X Y t n n s n n +-+，其中222112212(1)(1)2wn s n s s n n -+-=+-。
11122112122212122(),0122n nn n n n n xn f x x n n n x n -+⎛⎫+⎛⎫Γ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=>⎛⎫⎛⎫⎛⎫ΓΓ+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111(),22n E X n n =>- 2112122112(2)(),4(2)(4)n n n Var X n n n n +-=>--13. 二项分布二项分布十分好理解，给你n 次机会抛硬币，硬币正面向上的概率为p ，问在这n 次机会中有k 次（k ≤n ）硬币朝上的概率为多少。
记为~(,)X B n p 。
当n 足够大，且p 不接近于0也不接近于1时，二项分布(,)B n p 可用正态分布(,(1))N np np p -来近似。
!()(1),[0,1]()!!k n k n P X k p p p n k k -==-∈- ()E X np = ()(1)Var X np p =-14. 泊松分布（Poisson 分布）泊松分布解决的是“在特定一段时间里发生n 个事件的概率”，记为~()X P λ。