1 0, 2 0, | | 1

性质 二维正态分布(X,Y)的概率密度函数
f(x,y)满足:
(1) (2)




f ( x, y)dxdy 1
令f 1 ( x) : f 1 ( x)



f ( x, y ) dy
( x 1 ) 2
2 2 1
则:
1 2 1
e
证明见黑板
二维正态分布
这一讲我们介绍了二维连续型 随机向量的概率密度函数,深入了解 其概念及性质是十分重要的. 另外,还介绍的二维均匀分布,二 维正态分布.
y x
F ( x, y )
20 dudv 2 2 2 (16 u )( 25 v ) y 20 x 1 1 2 du dv 2 2 25 v 16 u 20 1 x 1 y 2 arctg arctg 4 4 2 5 5 2 x 1 1 y 1 1 arctg arctg 4 2 5 2


y
x

f (u, v)dudv
二维随机变量（X,Y） 连续型 X和Y 的联合密度函数
一维随机变量X 连续型 X的密度函数
f ( x , y) P{( x, y) A} f ( x, y )dxdy
A
P{a X b}
A 2
f ( x )dx
a
b
f ( x, y ) 0
(三) 二维正态分布
若二维随机变量（X,Y）具有概率密度 1 1 x 1 2 f ( x , y) exp{ [( ) 2 2(1 ) 1 21 2 1 2 x 1 y 2 y 2 2 2 ( )( )( ) ]} 1 2 2 其中 1, 2 , 1, 2 , 均为常数,且 则称（ X,Y）服从参数为 1, 2 , 1, 2 , 的二维正态分布. 2 2 记作（ X,Y）～N( 1 , 2 , 1 , 2 , )
P{(X,Y)A}= A的面积/d
例2 设(X,Y)服从圆域
x2+y2≤4上的均匀分布. 计算P{(X,Y)A}, 这里A是图中阴影部 分的区域
解:
圆域x2+y2≤4的面积d=4 区域A是x=0,y=0和x+y=1三条直线所围成的 三角区域,并且包含在圆域x2+y2≤4之内,面积 =0.5 ∴ P{(X,Y)A}=0.5/4=1/8
y
f (u, v)dudv
例1
设(X,Y)的概率密度函数为 A f ( x, y ) 2 x, y R 2 2 (16 x )( 25 y )
其中A是常数.(1)求常数A. (2)求(X,Y)的分布函数； (3)计算P{0<X<4,0<Y<5}.
解: (1)
A dxdy 1 2 2 2 (16 x )( 25 y )
(3) P{0<X<4,0<Y<5} 5 4 20 dxdy 2 2 2 0 0 (16 x )( 25 y ) 5 20 4 1 1 2 dx dy 2 2 0 25 y 0 16 x 20 1 4 5 1 2 arctg 0 arctg 0 4 4 5 5 1 1 1 4 4 16
(二) 均匀分布 定义 设D是平面上的有界区域,其面积为d,
若二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为:
1 d f ( x, y ) 0 ( x, y ) D ( x, y ) D
则(X,Y)称 服从D上的均匀分布. (X,Y)落在D中某一区域A内的概率 P{(X,Y)A},与A的面积成正比而与A的位置 和形状无关.
第三章第三节 二维连续型随机向量
(I) 概率密度函数
设二维随机向量(X,Y)的分布函数为F(x,y). 如果存在一个非负函数f(x,y),使得对任意实数 x,y,总有
F ( x, y )


y
x

f (u, v)dudv
则称(X,Y)为连续型随机向量概率密度函数,简称 概率密度.
F ( x, y ) Leabharlann 即A2
1 1 (16 x 2 ) dx (25 y 2 ) dy 1

1 1 dx , dy 2 2 16 x 25 y 4 5 A 1 A 20 2 4 5
( 2).
f ( x) 0




f ( x, y )dxdy 1



f ( x)dx 1
对连续型r.v(X,Y)，其概率密度与 分布函数的关系如下：
F ( x, y ) f ( x, y ) xy
2
在 f (x,y)的连续点
F ( x, y )
x