i=1
k
上标1表示一次累加，同理，可作m次累加：
X (m) (k) = ∑X (m−1) (i)
i=1 k
• 对非负数据，累加次数越多则随机性弱化 越多，累加次数足够大后，可认为时间序 列已由随机序列变为非随机序列。
• 一般随机序列的多次累加序列，大多可用 指数曲线逼近。
• 例1
x
(0)
={2,5,4,3,6 }
（2）灰色预测法 • 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系 统进行预测的方法。
• 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定 信息的系统进行预则，就是对在一定范围内 变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
• 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋 势的相似或相异程度，即进行关联度分 析，并通过对原始数据的生成处理来寻 找系统变动的规律，生成数据序列有较 强规律性，可以用它建立相应的微分方 程模型，从而预测事物未来发展趋势和 未来状况。
其中：α称为发展灰数；μ称为内生控制灰数。
GM－Grey model －
a 设 α 为待估参数向量， α = ˆ ˆ µ
可利用最小二乘法求解得：
−1 T a T ˆ α = = ( B B) B Yn µ
1 − (x (1) (1) + x (1) (2)) 2 − 1 (x (1) (2) + x (1) (3)) B= 2 M 1 (1) − (x (n − 1) + x (1) (n)) 2
（3）后验差检验 1.计算原始序列标准差:
S1 =
∑[X (i) − X ]
(0) (0)
2
n −1
2. 计算绝对误差序列的标准差：
S2 =
∑[∆ (i) − ∆ ]
( 0) ( 0)
2
n −1
3. 计算方差比：
S2 C= S1
4. 计算小误差概率：
P = P ∆(
令: 则：
{
0)
( i) −∆( 0)
∆4 = (0,0.0674,0.1185,0.2148)
第三步：求两极差
M = m m ∆i (k) = 0.2335 ax ax
m = m m ∆i (k) = 0 in in
第四步：计算关联系数 取ρ=0.5，有：
0+ 0.5×0.2335 ηi ( k) = ,i = 2,3,4 ∆i ( k) + 0.5×0.2335
k = 0 1 2..., n ,,
二、模型检验 灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验 和后验差检验。 （1）残差检验
ˆ ˆ 按预测模型计算 X(1) ( i) → 累减生成 X (0) (i),
ˆ 计算原始序列 X (0) (i) 与 X (0) (i)
绝对误差序列及相对误差序列
( ˆ ∆0) (i) = X (0) (i) − X (0) (i)
i =1,2,..., n
( i) ×100% Φ( i) = ( 0) X ( i)
∆(
0)
i =1,2,..., n
（2）关联度检验
ˆ 根据前面所述关联度的计算方法算出 X (0) (i)
与原始序列 X (0) (i) 的关联系数，然后计算出关联 度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度r大于0.6便 满意了。
1 1 M 1 (n −1)×2
x(0)(2) (0) x (3) Y= n M (0) x (n) (n−1)×1
求解微分方程，即可得预测模型：
ˆ (1) (k +1) = X (0) (1) − µ e−ak + µ X a a
η2 (1) =1
η3 (1) =1
从而：
η2 ( 2) = 0.503
η2 ( 3) = 0.3695
η2 ( 4) = 0.3333
η3 ( 2) = 0.8384 η3 ( 3) = 0.5244 η3 ( 4) = 0.504
η4 (1) =1 η4 ( 2) = 0.634
η4 ( 3) = 0.4963 η4 ( 4) = 0.352
一、残差模型 若用原始时间序列 X (0) 建立的GM(1,1) 模型检验不合格或精度不理想时，要对建立的 GM（1，1）模型进行残差修正来提高模型的预 测精度。修正的方法是建立GM（1，1）的残差 模型。
x(0) −GM(1,1) 模型为： • 原始时间序列
ˆ x (i + 1) = [ x (1) − ]e a
(1) (0)
µ
− ai
+
µ
a
可获得生成序列 x(1) 的预测值序列
ˆ ˆ ˆ ˆ x (1) = {x (1) (1), x (1) (2),L, x (1) (n)}
′ X2 = (11.0631.1227, .1483) , , 1
′ X3 = (1 ,0.97,1.0294,1.0294)
′ X4 = (1 .01 ,0 05 .7) ,1 49 .8 ,0
第二步：求绝对差序列
∆2 = (0,0.1155,0.1992,0.2335)
∆3 = (0,0.0225,0.1059,0.1146)
式中：
ˆ X (0) (k) − X (0) (k) 为第k个点 X (0)
ˆ 和 X (0) 的绝对误差；
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
m m X (0) (k) − X (0) (k) 为两级最小差； in in ˆ
m m X (0) (k) − X (0) (k) 为两级最大差； ax ax ˆ
ρ称为分辨率，0<ρ<1,一般取ρ=0.5； 对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系 数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据 分别除以第一个数据
记原始时间序列为：
X (0) = X (0) (1), X (0) (2), X (0) (3),...X (0) (n)
{
}
生成列为：
X (1) = X (1) (1), X (1) (2), X (1) (3),...X (1) (n)
{
}
x(1) (k) = ∑x(0) (i) = x(1) (k −1) + x(0) (k)
• 系统预测
通过对系统行为特征指标建立一组相互 关联的灰色预测理论模型，在预测系统整体 变化的同时，预测系统各个环节的变化 。
• 拓扑预测
又叫波形预测，将原始数据做曲线，在 曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点， 并以该定值为框架构成时点数列，然后建立 模型预测该定值所发生的时点。
二、生成列
灰色预测所直接使用的不是原始数据，而是 由原始数据经过数据处理产生的所谓生成数 列， 目的是为了弱化原始时间序列的随机性。 在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间 序列进行数据处理，经过数据处理后的时间 序列即称为生成列。
x(i) x( ) 1
。
（2）关联度
ˆ X (0) (k) 和 X (0) (k) 的关联度为：
1 n r = ∑ (k) η n k=1
一个计算关联度的例子
工业、农业、运输业、商业各部门的行为 数据如下： 工业 农业 运输业 商业
X1 = (45.8,43.4,42.3,41.9)
X2 = (39.1 41.6,43.9,44.9) ,
X3 = (3.4,3.3 3.5,3.5) ,
X较序列为 X2,X3,X4 试求关联度。
解答：
以 X1 为参考序列求关联度。 第一步：初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。得到：
′ X = (1 ,0.9475 ,0.9235 ,0.9148) 1
x ={2,9,20,34,54}
(0)
x ={2,7,11 ,14,20}
(1)
x
(2)
={2,5,4,3,6 }
三、关联度 关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方 法，在计算关联度之前需先计算关联系数。 （1）关联系数
设
ˆ ˆ ˆ ˆ X (0) (k) = X (0) (1), X (0) (2),..., X (0) (n)
• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。 • 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不 确定的关系。
例：市场经济条件下的产销系统，企业要根据市场信息来决定 市场经济条件下的产销系统， 生产，产销不对路，生产出来的产品便无法实现销售价值， 生产，产销不对路，生产出来的产品便无法实现销售价值， 市场价格又是多变的， 市场价格又是多变的，获得完备的市场信息和价格信息对 企业几乎是不可能的， 企业几乎是不可能的，因此此时的产销系统就是一个灰色 系统。 系统。
一、GM（1，1）模型的建立
X (0) = X (0) (1), X (0) (2),..., X (0) (n) 设时间序列：
{
} 有n个观察值，
通过累加生成列：
X (1) = X (1) (1), X (1) (2),..., X (1) (n)
{
}
则GM（1，1）模型相应的微分方程为：
dX (1) + aX (1) = µ dt
< 0.6745S 1
}
( ( ei = ∆0) (i) − ∆0) ， S0 = 0.6745S1
P = P{ei < S0}
P >0.95 >0.80 >0.70 ≤0.70 C <0.35 <0.50 <0.65 ≥0.65
好 合格 勉强合格 不合格
10.3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
{
}
}
－参考序列 －被比较序列