江苏省无锡市2019—2020学年度第一学期期末考试试卷
高一数学
2020．1
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．集合A ＝{0，1}，B ＝{1，2，3}，则A B ＝
A ．{1}
B ．{1，2，3}
C ．{0，2，3}
D ．{0，1，2，3}
2．若集合M ＝{}2k k Z ααπ=∈，，集合N ＝{}k k Z ββπ=∈，，则集合M 与N 的关系是
A ．M ⊆N
B ．N ⊆M
C ．M ＝N
D ．M ＜N
3．与向量AB ＝(1，3)平行的单位向量是
A ．(12
B ．(12
-，
C ．(
12，2)或(12-，2-) D ．(12-，2)或(12，2-4．已知向量a ，b 满足a ＝(﹣3，1)，b ＝(2，k )，且a ⊥b ，则a ﹣b 等于 ( )
A ．(5，5)
B ．(﹣5，﹣5)
C ．(﹣5，5)
D ．(﹣1，7)
5．若扇形的弧长为6cm ，圆心角为2弧度，则扇形的面积为
A ．6cm 2
B ．9cm 2
C ．6πcm 2
D ．9πcm 2
6. 已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝cos(2x ﹣3
π)，则下列结论正确的是 A ．把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 23
π个单位长度，得到曲线C 2 B ．把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 3
π个单位长度，得到曲线C 2 C ．把曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移23
π 个单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3
π 个
单位长度，得到曲线C 2
7．某互联网公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）
A ．2020年
B ．2021年
C ．2022年
D ．2023年
8．函数233()x x
f x x
--=的图象大致为
9．已知ω＞0，函数()2sin()f x x ωϕ=+在[
2π，56π]上单调递减，则实数ω的取值范围是
A ．(0，1]
B ．[12，85]
C ．[23，56]
D ．[23，85
] 10．关于函数()cos cos f x x x =+有下述四个结论：①函数()y f x =是偶函数；②函数
()y f x =的周期是π；③函数()y f x =的最⼤值为2；④函数()y f x =在[0，π]上有⽆数个零点．其中所有正确结论的序号是
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．①③④
11．在平面直角坐标系中，已知点A(0，﹣1)，B(0，3)，M ，N 是x 轴上的两个动点，且MN
＝2，则AM BN ⋅的最小值为
A ．﹣4
B ．﹣3
C ．2
D ．3
12．已知函数2
()4f x x x =-，x ∈R ，若关于x 的方程()12f x m x =+-恰有4个互异
的实数根，则实数m 的取值范围为
A ．(0，6-)
B ．(0，6+)
C ．(2，6-)
D ．(2，6+)
二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．计算：2lg2﹣lne 3＋lg25＝ ．
14．已知函数112
1()1
2()log 1x x f x x x -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，则(0)(2)f f +等于 ．
15．已知幂函数n y x =的图像过点(3，19)，则n ＝ ，由此，请比较下列两个数的大
小：2(25)n x x -+ (3)n -（本题第一空2分，第二空3分）．
16．在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，A ＝120°，若点D ，E 满足BC 3BD =，AE AC λ=
AB -(λ∈R)，且AD AE ⋅＝﹣6，则实数λ＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知向量a ，b 满足3a =，2b =，a ，b 的夹角为θ．
（1）若56
πθ=，求()a a b ⋅+的值； （2）若1cos 3θ=，求a xb +(x ∈R)的最小值．
18．（本小题满分10分）
定义一种集合运算：A ⊗B ＝{A
B x x ∈且}A B x ∉，已知集合M ＝{lg(3x y x =}2)R x x -∈，，N ＝1()02x y y x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭
，． （1）求M N ；
（2）求M ⊗N ．
19．（本小题满分12分）
已知函数2
()(2)2f x x a x =+-+为偶函数，记()()1(R)g x xf x ax a =--∈．
（1）求实数a 的值；
（2）求函数()y g x =的单调区间，并给予证明．
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作角α与β(0＜β＜α＜π)，它们的终边与单位圆分别相交于点P ，Q ，已知点P(45-，35
)． （1）求
12sin 21cos 2sin ααα
+++的值； （2）若1OP OQ 3⋅=-，求sin β的值．
21．（本小题满分12分）
如图，直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的一个定点，过点A 的直线EF 垂直于直线l 1，AE ＝m ，AF ＝n (m ，n 为常数)，点B ，C 分别为l 1，l 2上的动点，已知∠BAC ＝60°．设∠ACF ＝α(0°＜α＜60°)．
（1）求△ABC 面积S 关于角α的函数解析式()S α；
（2）求()S α的最小值．
22．（本小题满分14分）
对任意实数a ，b ，定义函数()12()F a b a b a b =+--，，已知函数2
()f x x nx n =-+，
()21g x x =-，记()(()())H x F f x g x =，．
（1）若对于任意实数x ，不等式()(2)5f x g n ≥+-恒成立，求实数m 的取值范围；
（2）若2m ﹣n ＝2，且m ∈[6，+∞)，求使得等式()()H x f x =成立的x 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求()H x 在区间[0，6]上的最小值．
参考答案。