解析几何一、选择题1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是( ) A. 3 B ．－ 3 C.33D ．－33解析：斜率k ＝－1－33－－3＝－33，故选D. 答案：D2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意． ②a ≠0，x ＝0时，y ＝2＋a . y ＝0时，x ＝a ＋2a，则a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D. 答案：D3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( ) A ．4 B ．21313C.51326D ．71020解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0， 由两直线平行知m ＝2， 则d ＝|1－－6|62＋22＝71020.故选D. 答案：D4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －5＝0D ．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C.答案：C5．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－3)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含端点)，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.故选B.答案：B6．(2014一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝0解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2， ∴所求直线的斜率为k ′＝12，∴方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0.答案：A 二、填空题7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________． 解析：由题意知截距均不为零．设直线方程为x a ＋y b＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝3b ＝3或⎩⎨⎧a ＝4b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. 答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝08．(2014质检)若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0， ∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－89．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值围是________．解析：由直线PQ 的倾斜角为钝角，可知其斜率k <0， 即2a －1＋a 3－1－a <0，化简得a －1a ＋2<0，∴－2<a <1.答案：(－2,1)10．已知k ∈R ，则直线kx ＋(1－k )y ＋3＝0经过的定点坐标是________． 解析：令k ＝0，得y ＋3＝0，令k ＝1，得x ＋3＝0.解方程组⎩⎨⎧ y ＋3＝0，x ＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－3，所以定点坐标为(－3，－3)． 答案：(－3，－3) 三、解答题11．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x sin α＋y ＋1＝0，试求α的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一 当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α.要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.法二 由l 1∥l 2，得⎩⎨⎧2sin 2α－1＝0，1＋sin α≠0，∴sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)∵l 1⊥l 2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0. ∴α＝k π，k ∈Z . 故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.12．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. (1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1∥l 2即k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一 由方程组⎩⎨⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1解得交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上． 即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二 交点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x ，故知x ≠0.从而⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝y －1x ，k 2＝y ＋1x .代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0， 整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第八篇 第2节一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意，设圆心(0，t )， 则12＋t －22＝1，得t ＝2，所以圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1，故选A. 答案：A2．(2014模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：设P (x ，y )， 则由题意可得2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B. 答案：B3．(2012年高考卷)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能解析：x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝3－22＋0－02＝1<2，点P (3,0)恒在圆，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A. 答案：A4．(2012年高考卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)， 所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C 符合，故选C. 答案：C5．(2013年高考卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|b |12＋12＝1，故b ＝± 2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，则直线方程为x ＋y －2＝0.故选A.答案：A6．(2012年高考卷)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3 C. 3D ．1解析：因为圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋32＝1，半径r ＝2，所以弦长|AB |＝222－12＝2 3. 故选B. 答案：B 二、填空题7．(2013年高考卷)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r＝5. 又直线方程为2x－y＋3＝0，∴圆心到直线的距离为d＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，∴弦长为2×25－5＝220＝4 5.答案：4 58．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为________．解析：因为圆C的圆心(1,1)到直线l的距离为d＝|1－1＋4|12＋－12＝22，又圆半径r＝ 2.所以圆C上各点到直线l的距离的最小值为d－r＝ 2.答案： 29．已知圆C的圆心在直线3x－y＝0上，半径为1且与直线4x－3y＝0相切，则圆C 的标准方程是________．解析：∵圆C的圆心在直线3x－y＝0上，∴设圆心C(m,3m)．又圆C的半径为1，且与4x－3y＝0相切，∴|4m－9m|5＝1，∴m＝±1，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1或(x＋1)2＋(y＋3)2＝1.答案：(x－1)2＋(y－3)2＝1或(x＋1)2＋(y＋3)2＝110．圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l：x＋y－3＝0对称的圆的方程为________．解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x2＋(y－1)2＝1.答案：x2＋(y－1)2＝1三、解答题11．已知圆C：x2＋(y－2)2＝5，直线l：mx－y＋1＝0.(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程． (1)证明：法一 直线方程与圆的方程联立，消去y 得(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0， ∵Δ＝4m 2＋16(m 2＋1)＝20m 2＋16>0， ∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．法二 直线l ：mx －y ＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5部， ∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点． (2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )， 由方程(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0， 得x 1＋x 2＝2mm 2＋1， ∴x ＝mm 2＋1.当x ＝0时m ＝0，点M (0,1)， 当x ≠0时，由mx －y ＋1＝0，得m ＝y －1x， 代入x ＝mm 2＋1，得x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x 2＋1＝y －1x ， 化简得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14.经验证(0,1)也符合，∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14.12．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程． 解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切， 则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝22，|DA |＝12|AB |＝2，解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.第八篇 第3节一、选择题1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：由方程知a ＝5，根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.故选D. 答案：D2．(2014二模)P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．3B ． 3C ．2 3D ．2解析：由椭圆方程知a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2－4＝2|PF 1||PF 2|cos 60° ∴|PF 1||PF 2|＝4.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos 60°＝4×12＝2.答案：D3．(2012年高考卷)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14 B ．55C.12D ．5－2解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用． 由椭圆的性质可知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ， |F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列， 故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2， 可得e ＝c a ＝55.故应选B. 答案：B4．(2013年高考卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35 B ．57C.45D ．67解析：|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos ∠ABF ＝100＋64－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6，∠AFB ＝90°， 半焦距c ＝|FO |＝12|AB |＝5，设椭圆右焦点F 2， 连结AF 2，由对称性知|AF 2|＝|FB |＝8， 2a ＝|AF 2|＋|AF |＝6＋8＝14， 即a ＝7，则e ＝c a ＝57.故选B. 答案：B5．已知椭圆E ：x 2m ＋y 24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( )A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0解析：取k ＝1时，l ：y ＝x ＋1.选项A 中直线：y ＝－x －1与l 关于x 轴对称，截得弦长相等． 选项B 中直线：y ＝x －1与l 关于原点对称，所截弦长相等． 选项C 中直线：y ＝－x ＋1与l 关于y 轴对称，截得弦长相等． 排除选项A 、B 、C ，故选D. 答案：D6．(2014省实验中学第二次诊断)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值围为( )A ．(0，2－1)B ．⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 D ．(2－1,1)解析：由题意知点P 不在x 轴上， 在△PF 1F 2中，由正弦定理得 |PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，所以由a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1可得a |PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝ca＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 所以e |PF 2|＋|PF 2|＝2a ， 解得|PF 2|＝2ae ＋1.由于a －c <|PF 2|<a ＋c ， 所以有a －c <2ae ＋1<a ＋c ， 即1－e <2e ＋1<1＋e ， 也就是⎩⎨⎧1－e1＋e <2，2<1＋e 2，解得2－1<e . 又0<e <1，∴2－1<e <1.故选D. 答案：D 二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．解析：∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6， 又|PF 1|＋|PF 2|＝10， ∴|PF 1|＝4. 答案：48．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1， ∵直线MF 2的倾斜角为120°， ∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3， 2c ＝|F 1F 2|＝1.∴e ＝c a＝2－ 3. 答案：2－ 39．(2014模拟)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．解析：由题意可设椭圆方程为y 225－m ＋x 29－m＝1(m <9)，代入点(3，－5)， 得525－m ＋39－m＝1， 解得m ＝5或m ＝21(舍去)， ∴椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. 答案：y 220＋x 24＝1 10．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：由题意得⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2， 即4a 2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2， ∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2＝9，∴b ＝3. 答案：3 三、解答题11．(2012年高考卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上，可得⎩⎨⎧a 2－b 2＝1，b ＝1，∴⎩⎨⎧a 2＝2，b 2＝1.故椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意分析，直线l 斜率存在且不为0， 设其方程为y ＝kx ＋b ，由直线l 与抛物线C 2相切得⎩⎨⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，消y 得k 2x 2＋(2bk －4)x ＋b 2＝0，Δ1＝(2bk －4)2－4k 2b 2＝0，化简得kb ＝1. ①由直线l 与椭圆C 1相切得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 22＋y 2＝1，消y 得(2k 2＋1)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0，Δ2＝(4bk )2－4(2k 2＋1)(2b 2－2)＝0，化简得2k 2＝b 2－1.②①②联立得⎩⎨⎧kb ＝1，2k 2＝b 2－1， 解得b 4－b 2－2＝0， ∴b 2＝2或b 2＝－1(舍去)， ∴b ＝2时，k ＝22，b ＝－2时，k ＝－22. 即直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 12．(2014海淀三模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．所以a ＝3，b ＝1， 椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，又因为|AB |＝23，|PO |＝3， 所以∠PAO ＝60°， 所以△PAB 是等边三角形， 所以直线AB 的方程为y ＝0， 当直线AB 的斜率存在且不为0时， 则直线AB 的方程为y ＝kx ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，y ＝kx ，化简得(3k 2＋1)x 2＝3， 所以|x 1|＝33k 2＋1， 则|AO |＝1＋k233k 2＋1＝3k 2＋33k 2＋1. 设AB 的垂直平分线为y ＝－1kx ，它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，y ＝－1k x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3k k －1，y 0＝－3k －1.则|PO |＝9k 2＋9k －12，因为△PAB 为等边三角形， 所以应有|PO |＝3|AO |， 代入得9k 2＋9k －12＝33k 2＋33k 2＋1， 解得k ＝0(舍去)，k ＝－1. 综上，k ＝0或k ＝－1.第八篇 第4节一、选择题1．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8， 又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1， ∴|PF 2|＝17. 故选B. 答案：B2．(2013年高考卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选D.答案：D3．(2012年高考卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1 D ．x 220－y 280＝1 解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5. 将P (2,1)代入y ＝b ax 得a ＝2b .a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20，所以方程为x 220－y 25＝1.故选A.答案：A4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于( )A.14 B ．35C.34D ．45解析：∵c 2＝2＋2＝4， ∴c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， |PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝42， 由余弦定理可知cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C. 答案：C5．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1 B ．x 2132－y 252＝1C.x 232－y 242＝1 D ．x 2132－y 2122＝1 解析：在椭圆C 1中，因为e ＝513，2a ＝26，即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10， 则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)， 根据题意，可知曲线C 2为双曲线， 根据双曲线的定义可知， 双曲线C 2中的2a 2＝8， 焦距与椭圆的焦距相同， 即2c 2＝10， 可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x 242－y 232＝1.故选A.答案：A6．(2014八中模拟)若双曲线x 29－y 216＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，则实数m 的取值围是( )A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．[－5,5]D ．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线x 29－y 216＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，即直线与圆相离或相切，所以d ＝|4m |5≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数m 的取值围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考卷)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5， 则|PQ |＝16，又因为|PF |－|PA |＝6， |QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12， |PF |＋|QF |＝28， 则△PQF 的周长为44. 答案：448．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1， 又e ＝c a＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝19．(2014市第三次质检)已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)和圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径， 故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°， 设|PF 2|＝m ，则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝3m ， 该双曲线的离心率等于|F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||＝2m3m －m ＝3＋1.答案：3＋110．(2013年高考卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上， 由题意，在Rt △F 1PF 2中， |F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°， 得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ， 根据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(3－1)c ＝2a ，e ＝c a ＝23－1＝3＋1.答案：3＋1 三、解答题11．已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？解：法一 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上， 且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意． 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2 ＝0(2－k 2≠0)．①∴x 0＝x 1＋x 22＝k 1－k2－k 2. 由题意，得k 1－k2－k 2＝1，解得k ＝2.当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点． 法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若直线l 的斜率不存在， 即x 1＝x 2不符合题意，所以由题得x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－y 1＋y 2y 1－y 22＝0，即2－y 1－y 2x 1－x 2＝0， 即直线l 斜率k ＝2，得直线l 方程y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1得2x 2－4x ＋3＝0，Δ＝16－24＝－8<0，即直线y ＝2x －1与双曲线无交点，即所求直线不合题意， 所以过点P (1,1)的直线l 不存在．12．(2014质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值． 解：(1)由已知c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ， 双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，则⎩⎨⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2. ∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点， 则|PF 1|＋|PF 2|＝14， |PF 1|－|PF 2|＝6， ∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝213，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－21322×10×4＝45.第八篇 第5节一、选择题1．(2014模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B ．(1,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝12y ，它的焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.故选C.答案：C2．抛物线的焦点为椭圆x 24＋y 29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( )A ．x 2＝－45yB ．y 2＝－45xC ．x 2＝－413yD ．y 2＝－413x解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝5，∴抛物线焦点坐标为(0，－5)， ∴抛物线方程为x 2＝－45y .故选A. 答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C. 答案：C4．(2014高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( )A.53 B ．83C.103D ．10解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝3x 2＋1，x 1x 2＝y 214·y 224＝y 1y 2216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83.故选B.答案：B5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D ．74解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.故选C. 答案：C6．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)， 准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4， 故4<y 0＋2，∴y 0>2.故选C. 答案：C 二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ， 联立⎩⎨⎧y ＝3x ＋b ，x 2＝2py消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )， 即x 2－23px －2pb ＝0， ∴x 1＋x 2＝23p ＝3， ∴p ＝32，则抛物线的方程为x 2＝3y . 答案：x 2＝3y8．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________． 解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8. 所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64. 答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ， ∴焦点F 的坐标为(1,0)． 又∵直线l 倾斜角为60°， ∴直线斜率为3，∴直线方程为y ＝3(x －1)． 联立方程⎩⎨⎧y ＝3x －1，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝13，y 1＝－233，或⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝23，由已知得A 的坐标为(3,23)，∴S △OAF ＝12|OF |·|y A |＝12×1×23＝ 3.答案： 310．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－12，焦点F 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.求|PA |＋|PM |的最小值，可先求|PA |＋|PM ′|的最小值． 由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时， |PA |＋|PF |有最小值|AF |＝5，所以|PA |＋|PM ′|≥5， 又因为|PM ′|＝|PM |＋12，所以|PA |＋|PM |≥5－12＝92.答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，数m 的值．解：法一 如图所示，连接AB ， ∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上． 可设l AB ：y ＝－x ＋n ，由⎩⎨⎧y ＝－x ＋n ，y ＝2x 2，得2x 2＋x －n ＝0， ∴x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－n2.由x 1x 2＝－12，得n ＝1.又x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝－x 0＋n ＝14＋1＝54，即点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，54，由点M 在直线l 上，得54＝－14＋m ，∴m ＝32.法二 ∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．∴⎩⎨⎧y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)． 设AB 中点M (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4x 0. 又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－14.又点M 在l 上， ∴y 0＝x 0＋m ＝m －14，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，m －14，∴AB 的方程是y －⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14，即y ＝－x ＋m －12，代入y ＝2x 2，得2x 2＋x －⎝⎛⎭⎪⎫m －12＝0，∴x 1x 2＝－m －122＝－12，∴m ＝32.12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 解：(1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)，即C(4λ＋1,42λ－22)，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。