2
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AR(p)的模型为 X t 1 X t p X t p at ，则有效的样本容 量为 N-P，估计的参数为 (p+1),所以 AR(p)的残差方差为：
ˆ2 残差平方和 残差平方和 或 N p ( p 1) N 2p
ˆ1 1 ˆ1 ˆ2 ˆ p 1 ˆp
ˆ1 1 ˆ p2
ˆ2 ˆ1
ˆ p 2 ˆ p 3 ˆ1
ˆ p 1 ˆ1 ˆ p2 ˆ2 1 ˆp
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（二）偏相关系数截尾性的判断 若yt是一个AR（p）过程 ，
s p
ˆ kk
~ N (0,
1 ) N
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ˆ ss | 1 p |
ˆ ss | 2 p |

N 68.3%
N 95.5%
2 a
的矩估计：
ˆ1 ˆ 2 ˆp) ˆ ˆ0 (1 ˆ1 ˆ2 ˆp
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例1，AR(1)模型的矩估计
设xt 1 xt 1 at 则 ˆ1 ˆ1 ˆ1 ˆ0
ˆ 0(1 ˆ 1 ˆ1 )
29
xt 1 xt 1 2 xt 2 p xt p at
k 1 k 1 2 k 2 p k p
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于是可得如下的Yule-Walk方程：
1 1 0 2 1 p p 1 2 1 1 2 0 p p 2 p 1 p 1 2 p 2 p 0
ˆ1 ˆ0 ˆ k ... ... ˆ k 1 ˆ k 2
... ˆ k 2 ... ... ... ˆ0
通常是正定的。
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（二）偏自相关函数的估计
1 ˆ 1 ˆ s 1
1
ˆ p 3
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0 E ( xt2 ) E ( xt (1 xt 1 2 xt 2 p xt p at ))
2 1 1 2 2 p p a
于是可得到
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AIC准则是1973年由赤池（Akaike）提出，此 准则是对FPE准则(用来判别AR模型的阶数是否合 适)的推广，用来识别ARMA模型的阶数。该准则 既适合于AR，也适合于ARMA模型。
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实际中, 常用 AIC 准则: (1) 分别取 p k 0,1, , P0 ;
残差方差
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2、ACF和PACF定阶法
模 型 AR(p) 拖 尾 截 尾 MA(q) 截 尾 拖 尾 ARMA(p,q) 拖 尾 拖 尾
自相关函数（ACF） 偏自相关函数 （PACF）
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（三）F 检验定阶法 利用方差分析的工具，比较 ARMA（p，q）模型和 ARMA（p-1，q-1）的残差平方和，用 F 检验判定阶数降低 后的模型与原来的模型之间是否存在显著性差异。 做法是： 拟合 ARMA（p，q）和 ARMA（p-1，q-1）模型，并记模 型的残差平方和为 Q0 和 Q1 ， df0 和 df 分别为其自由度。检验
1/ 2

1 2 2 - 0.2782 0.1075 1 2 - 0.025 10


ˆ3 i 1,2,...., 10 时，
-0.125， ˆ4
-0.037...,
ˆ12 0.042， ˆ k i 0.1075 满足
7 的比例为 10 70 % ，大于 68.3%。因此该序列自相关函数在 2 阶截尾。
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第二节 模型参数的估计 一、模型参数的矩方法估计 二、最小二乘估计 三、极大似然估计
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一、模型参数的矩估计 （一）AR(p)模型的矩估计
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q 2 s 1 2
P | k |
2
ˆ ) 95.5% (1 2 N s 1
q 2 s 1 2
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例1，某资产组合过去100个交易日收益率情况
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
20
40
60
80
100
120
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1
第三章 平稳时间序列模型的建立 本章首先介绍利用时间序列的样本统计特征识别 时间序列模型，然后分别介绍模型定阶、模型估 计和模型检验的多种方法，对Box-Jenkins建模 方法和Pandit-Wu建模方法归纳总结，最后给出 实际案例。
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ˆ1 1 ˆ s 2
ˆ s 1 ˆ1 ˆ s1 ˆ s 2 ˆ2 ˆ s2 ˆs ˆ ss 1
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2 ˆ (2) 求 AR(k)时的 k ;
(3) 计算
ˆ k2 AIC(k ) ln
2k , k 0,1, , P0 N
ˆ min{k |[AIC(k )]} 称为 AIC 定阶. (4) p k
注:
ˆ p, 一般 p
依概率 ˆ p p , 即不相合; 并无
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3
ˆk ˆ k , k 0,1,... ˆ0
* ˆ * ˆk k , k 0,1,... ˆ0
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4
* ˆk ˆ k 是平稳时间序列自协方差的无偏估计量； 1）
则是平稳时间序列自协方差的渐进无偏估计量。 ˆ0 ˆ1 ... ˆ k 1 2）
2 a
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例2，AR(2)模型参数的矩估计
设xt 1 xt 1 2 xt 2 at
2 待估计参数 1 , 2 , a
由前推导的一般公式得 ˆ1 ˆ 1 ˆ1 ˆ2 ˆ2 ˆ 1 ˆ1 ˆ2 求解得 : ˆ (1 ˆ2) ˆ1 ˆ 12 1 ˆ2 ˆ 12 ˆ2 ˆ 12 1
25
为克服不相合, 改用 BIC(k)函数定阶.
k ln N ˆ BIC(k ) ln , k 0,1, , P0 N
2 k
注:
2 ~ WN(0, ) 若 t
是独立同分布的, 则
BIC(k)是强相合的; 当 N 不大, BIC 定阶偏低,会失真, 宜取 AIC.
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H 0 : 4 0
Q1 Q0 F 1
H1 : 4 0
71123.96 71104.13 Q0 1 0.015 60 5 71104.13 / 55
两模型几乎没有差异。
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（四）模型定阶的最佳准则函数法
1、基本思想：确定一个函数，该函数既要考虑用某 一模型拟合原始数据的接近程度，同时又考虑模 型中所含参数的个数。当该函数取最小值时，就 是最合适的阶数。 衡量模型拟合数据的接近程度的指标是残差方差。 2、最佳准则函数包括AIC、BIC等准则。
15
模型
残差平方和
自由度
残差方差
AR(1) AR(2)
AR(3)
8184.654 7920.037
7919.2947
68 67
66
120.03095 117.76331
16
模型的残差方差图 8250 8200 8150 8100 8050 8000 7950 7900 7850 7800 7750 AR(1) AR(2) 模型类别 AR(3)



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（三） ARMA（p，q）模型识别
模型
AR(p)
MA(q)
ARMA(p,q)
ACF
拖尾
截尾
拖尾
PACF
截尾
拖尾
拖尾
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三、模型的定阶
1、残差的方差
残差的方差 ˆ 实际观测值个数－模型的参数个数
2
第一节 模型识别与定阶 一、 自相关函数和偏自相关函数的估计 （一）自协方差函数和自相关函数的估计
1 ˆk N
N k k 1
y
N k k 1
t
y yt k y , k 0,1,...