π ∴∠A ＝3.故∠B ＝30 °或150 °，课时作业 1 正弦定理时间：45 分钟满分： 100分课堂训练1．（2013 ·湖南理， 3）在锐角△ ABC 中，角 为 a ，b.若 2asinB ＝ 3b ，则角 A 等于 （ ） A ，B 所对的边长分别πA.12π B.6π π C.4ππ D.3π答案】 D解析】 本题考查了正弦定理由 asinA ＝sinBb，得 sinA ＝ 23， 2．在△ ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，已知∠ A ＝ 3π， a ＝ 3， b ＝1，则 c 等于（ A ．1 B ．2 C. 3－ 1D. 3答案】解析】 a由正弦定理 asinA ＝sinB，可得 3π sin ππ＝sinB 311，sinB ＝2，由 a>b ，得∠A> ∠B.∴∠B ＝30 °，故∠C ＝90 °， 由勾股定理得 c ＝ 2，故选 B.153．在△ ABC 中，若 tanA ＝3，C ＝6π，BC ＝1，则AB ＝ ______【答案】 210【解析】 ∵tanA ＝13，且 A 为△ABC 的内角，∴sinA ＝ 110.由正弦104．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝2 3，AC ＝2，求△ ABC 的周 长．【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边 BC ，但 BC 的对角∠ A 未知，只知道∠ B ，可 结合条件由正弦定理先求出∠ C ，再由三角形内角和定理求出∠A.【解析】 由正弦定理，得 sinC ＝AB A s C inB ＝ 23.∵AB>AC ，∴∠C>∠B ，又∵0°<∠C<180 ，°∴∠C ＝60 °或120 .°(1)如图(1)，当∠C ＝60°时，∠A ＝90°，BC ＝4，△ABC 的周长为 6 ＋ 2 3；定理得 AB ＝BCsinCsinA 1×sin 56π10 102(2)如图(2)，当∠C＝120°时，∠A＝30°，∠A＝∠B，BC＝AC＝2，△ABC 的周长为4＋2 3.综上，△ABC的周长为6＋2 3或4＋2 3.【规律方法】已知三角形两边和其中一边的对角时，应先由正弦定理求出正弦值，再判定这个角是否最大，若最大，则有两角，分别为一个锐角、一个钝角，且两角互补，否则只有一解，且为锐角．课后作业一、选择题(每小题 5 分，共40分)1．在△ ABC 中，sinA＝sinC，则△ ABC 是( )A ．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】B【解析】∵sinA＝sinC，∴由正弦定理得a＝c，∴△ABC 为等腰三角形，故选 B.2．已知△ ABC 的三个内角之比为A:B:C＝1:2:3，那么 a b c＝()A ．1:2:3 B．1:2: 3C．1: 2 : 3 D．1: 3 :2答案】 D解析】 设∠A ＝k ，∠B ＝2k ，∠C ＝3k ，由∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°得，k ＋2k ＋3k ＝180 °，∴k ＝30 °，故∠A ＝30 °，∠B ＝60 °，∠C ＝90 °.由正弦定理得 a:b:c ＝ sinA:sinB:sinC ＝sin30 :s °in60 :sin °90 ＝ 1: 3 :2.3．在△ ABC中，A ．b ＝4 2 已知 a ＝8，∠B ＝ 60°，∠C ＝ 75°，则()B ．b ＝4 3C ．b ＝4 6 32D ．b ＝ 3答案】 C4．已知△ ABC 中， a ＝1，b ＝ 3，A ＝6π，则 B ＝( )B.23π5π D.6π或6答案】∴sinB ＝ 3·s 1in30＝°23，∴B＝5．在△ ABC 中，已知∠ A ＝30°，a ＝8，b ＝8 3，则△ ABC 的面 积 S 等于( )解析】 ∠A ＝180°－60°－75°＝45，由si a nA ＝si b nB 可得 b ＝ asinB sinA8sin60 sin45＝°4 6. π A.3πC.3π或23π解析】由si a nA ＝sin b sinA sinbsinAsinB ＝ a ，.A．32 3B．16正弦定理练习含答案C．32 6或16【答案】DD．32 3或16 3解析】由正弦定理，知bsinA 8 3sin30 ° 3 a＝8＝2，又b>a，∴∠B>∠A，∴∠B＝60 °或120 .°∴∠C＝90 °或30 °.1∴S＝2absinC 的值有两个，即32 3或16 3.cosA b 86．在△ ABC 中，c co o s s B A＝a b＝85，则△ ABC 的形状为( )A ．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【答案】D【解析】∵cosB＝a＝sinA，即sin2A＝sin2B，∴∠A＝∠B或∠Aππ ＋∠B＝2，又cosA≠cosB，∴∠A≠∠B，∴∠A＋∠B＝2，∴△ABC 为直角三角形．7．已知△ ABC 中，2sinB－3sinA＝0，∠ C＝6，S△ABC＝6，则 a ＝( )A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】ab由正弦定理得sinA＝sinB，故由2sinB－3sinA＝0，sinB＝得2b＝3a.①又S△ABC＝21absinC＝12absin6π＝6，∴ab＝24.②解①②组成的方程组得a＝4，b＝ 6.故选 B.8．在△ ABC 中，∠A＝60°，a＝13，则sinA＋a＋sin b B＋＋c sinC等于（）A.8 3 A.3 B.2 39 B. 3C.26 3C.3D ．2 3【答案】B【解析】由a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC 得a＋b＋c＝2R＝a 13＝＝ 2 39.＝2R＝＝＝sinA＋sinB＋sinC sinA sin60 ° 3二、填空题（每小题10 分，共20 分）b 2－c2c2－a2a2－b29．在△ ABC 中， 2 sin2A＋ 2 sin2B＋ 2 sin2C 的值为abc【答案】0【解析】可利用正弦定理的变形形式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC 代入原式即可．10．在锐角三角形aABC 中，若∠ A＝2∠B，则的取值范围答案】（ 2，3）解析】 ∵△ABC 为锐角三角形，且∠ A ＝2∠B ，0<2∠B<2π，π0<π－3∠B<2，a sinA∵∠A ＝2∠B ，∴sinA ＝sin2B ＝2sinBcosB ，∴b ＝sinB ＝ 2cosB ∈( 2，3)．三、解答题(每小题 20分，共 40分．解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤 )11．(1)在△ ABC 中，已知 a ＝ 5，∠ B ＝45°，∠ C ＝ 105°，求 b. (2)在△ABC 中，已知∠ A ＝45°，a ＝2，b ＝ 2，求 B. 【解析】 (1)∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＝180°－ (∠B ＋∠C)＝a b sinB180°－ (45 °＋ 105°) ＝ 30°.由正弦定理 sinA ＝ sinB ，得 b ＝ a ·sinA ＝a b bsinA 2sin45sinA ＝sinB ，得sinB＝a ＝2又∵0°<∠B<180 ，°且 a>b ，∴∠B ＝30 °.【规律方法】 (1)中要注意在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°的sin455·sin30＝ 5 2. (2)由正弦定理12.6＋2运用，另外sin105 ＝°sin75 ＝°sin(45 ＋°30)＝4 .(2)中要注意运用三角形中大边对大角的性质，判定解的个数．12．在△ ABC 中，已知sinA ＝sinB＋sinC cosB＋cosC判断△ ABC 的形状．分析】当式子中只有角或只有边时，一般将其一端化为零，另一端化为因式之积，再因式分解，进而判断三角形的形状．sinB＋sinC【解析】∵sinA＝，cosB＋cosC∴sinAcosB＋sinAcosC＝sinB＋sinC.∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴sinAcosB＋sinAcosC＝sin（A＋C）＋sin（A＋B）．∴sinAcosB＋sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAcosB＋cosAsinB.∴cosAsinC＋sinBcosA＝0.∴cosA（sinB＋sinC）＝0.∵∠B，∠C∈（0，π），∴sinB＋sinC≠0.π∴cosA＝0，∴∠A＝2，∴△ABC 为直角三角形．。