2、质点系的动能定理 、 个质点， 对第 i 个质点，有： 1 1 2 Ai = m i v i − m i v i20 2 2 1 1 2 Ai外 + Ai内 = m i v i − m i v i20 2 2
m1
v ex Fi
v in m i m2 Fi
1 1 2 Ai外 + ∑ Ai内 = ∑ m i v i − ∑ m i v i20 对质点系， 对质点系，有： ∑ 2 2 质点系动能定理 ∑ Ai外 + ∑ Ai内 = E k − E k 0
b
a
r r F ⋅ dr
A=
∫F
x
dx +
∫F
y
dy +
∫ F dz
z
5）功的大小与参照系有关。 ）功的大小与参照系有关。 例如： 例如：传送带将箱子从低处 运到高处，地面上的人看摩 运到高处，地面上的人看摩 擦力作功了，而站在传送带 擦力作功了，而站在传送带 上的人看摩擦力没有作功。 上的人看摩擦力没有作功。 看摩擦力没有作功
明确几点： 明确几点： A = ∆Ek , 即 ：
∫
P 2
P 1
r r 1 2 1 2 F ⋅ dr = mv2 − mv1 2 2
1）动能定理说明，做功可以引起物体动能的 ）动能定理说明， 变化，也可以说功是能量变化的量度 功是能量变化的量度。 变化，也可以说功是能量变化的量度。 2） 功是过程量，动能是状态量。 ） 功是过程量 动能是状态量 过程量， 状态量。 在计算复杂的外力作功时， 在计算复杂的外力作功时，只须求始末两态的 动能变化，即可求出该过程的功。 动能变化，即可求出该过程的功。 3） A 为合力做的功，而不是合力中某一个力 ） 为合力做的功， 的功。动能定理中的速度必须相对同一个惯性系。 的功。动能定理中的速度必须相对同一个惯性系。 4） 通过作功，质点与外界进行能量交换。 ） 通过作功，质点与外界进行能量交换。 动能是质点因运动而具有的做功本领。 动能是质点因运动而具有的做功本领。
r r dA = F ⋅ dr
v dA = F cos θ dr = F cos θ ds b r r A = ∫ dA = ∫ F ⋅ dr
a
= ∫ F cos θ ds
a
b
功的计算主要在于把握对元功的分析。 功的计算主要在于把握对元功的分析。 元功的分析 不论力是在变还是位移的方向在变， 不论力是在变还是位移的方向在变，我们都只 力是在变还是位移的方向在变 抓住在任一元位移中，它们都可视为不变的， 抓住在任一元位移中，它们都可视为不变的，因而 可写出元功，这叫做微元法 微元法。 可写出元功，这叫做微元法。
r F
θ
r r r 位移无限小时： 位移无限小时：dA = F ⋅ dr ∆r v dA = F cos θ dr = F cos θ ds = Fτ ds
dA 称为元功， 称为元功 元功，
是指质点发生微小的位移过程中，力所作的功。 是指质点发生微小的位移过程中，力所作的功。
2、变力曲线运动的功
解决方法： 解决方法：微元积分法
1 p 2 Ek = m v = 2 2m
2
A = E kb − E ka = ∆Ek
功和动能都与参考系有关； 功和动能都与参考系有关； 参考系有关 惯性系。 动能定理仅适用于惯性系 动能定理仅适用于惯性系。
即：合力对质点所作的功，等于质点动能的增量。 合力对质点所作的功，等于质点动能的增量。 注意
f静
3、功率 、
∆A 平均功率： 平均功率： P = ∆t 瞬时功率： 瞬时功率：
r r dA = F ⋅ dr
r r 轴作直线运动， 例：某质点沿 x 轴作直线运动，受力为 F = (4 + 5 x )i N , 的过程中该力所做 求：质点从 x0 = 0 移动到 x = 10m 的过程中该力所做 的功。 的功。
教学基本要求 掌握功的概念 能计算变力的功， 功的概念， 一、 掌握功的概念，能计算变力的功， 理解保守力作功的特点及势能的概念 保守力作功的特点及势能的概念， 理解保守力作功的特点及势能的概念，会计算 万有引力、重力和弹性力的势能。 万有引力、重力和弹性力的势能。 掌握动能定理 动能定理、 二、 掌握动能定理、功能原理和机械能 守恒定律，掌握运用守恒定律分析问题的思想 守恒定律，掌握运用守恒定律分析问题的思想 和方法。 和方法。
A = ∫ Fdx , F = ma x
1
x2
d 2 x dv a= 2 = = 3t dt dt
F = ma = 6 t
3 2 A = ∫ 6tdx = ∫ 6t t dt 0 2
2
1 1 2 A = mv − mv 0 2 = 36J 2 2
4.2
保守力（Conservation 及其功
二、动能定理 1、质点的动能定理 、
v v b b dv v Ft = m A = ∫ F ⋅ dr = ∫ Ft dr = ∫ Ft ds, a a a dt b vb dv 1 1 2 2 A=∫ m ds = ∫ m vd v = m v b − m v a a va dt 2 2
b
动能（状态函数） 动能（状态函数） 函数 动能定理
Force） ）
自然界中有一类力具有特殊的性质， 自然界中有一类力具有特殊的性质，它们 的功有共同特点。 的功有共同特点。
B 2
C 2 D
v v 解： F = ( 4 − 2 y ) i
Fx = 4 − 2 y
Fy = 0
O
（1）OD段：y=0,dy=0, DC段：x=2,Fy=0 ） 段 段
AODC =
∫
OD
v v F ⋅ dr +
∫
DC
v v 2 F ⋅ dr = ∫ (4 − 2 × 0)dx + 0 = 8 J
vb dr
P
θ
0 ° < θ < 90 ° ,
dA > 0
a
r F
90 ° < θ < 180 ° , d A < 0 v v θ = 90°, F ⊥ dr , dA = 0
３）合力的功 = 各分力的功的代数和
2） 功是过程量，是力对空间的积累作用。 ） 功是过程量，是力对空间的积累作用。 一般来说，功的值与质点运动的路径有关。 一般来说，功的值与质点运动的路径有关。 如摩擦力的功） （如摩擦力的功）Leabharlann r r2x
r dr12 ≠ 0,
r r r r r r r dA = f12 ⋅ dr1 + f 21 ⋅ dr2 = f12 ⋅ d ( r1 − r2 ) r r = f 12 ⋅ dr12
r r dA = f12 ⋅ dr12 ≠ 0
1 3 例3：一质量为 m = 2kg 的物体按 x = t + 2(m) ： 2
v v A = ∫ ( ∑ Fi ) ⋅ d r =
v v ∑ ∫ Fi ⋅ d r =
∑A
i
i
４）在直角坐标系中功的解析式： 在直角坐标系中功的解析式：
v v v v F = F x i + F y j + Fz k v v v v d r = d x i + d yj + d zk
A = ∫ dA = ∫
重点： 重点： 功、势能的概念及其计算； 势能的概念及其计算； 功和能的基本规律（动能定理、功能原理、 功和能的基本规律（动能定理、功能原理、 机械能守恒定律） 机械能守恒定律）及应用 难点： 难点： 变力的功的计算； 变力的功的计算； 势能概念的正确理解； 势能概念的正确理解； 应用功能规律解题时，系统的划分和相应规律的 应用功能规律解题时， 正确应用。 正确应用。
0
（2）OB段：Fy=0, BC段：x=2 ） 段 段
AOBC =
∫
OB
v v F ⋅ dr +
∫
BC
v v 2 F ⋅ dr = ∫ (4 − 2 × 2)dx + 0 = 0
0
结论：力作功与路径有关， 结论：力作功与路径有关，即力沿不同的路径所作的功是不同的
计算功的基本步骤： 计算功的基本步骤： 建立坐标系； 建立坐标系； 在过程区间任选一元位移 元位移； 在过程区间任选一元位移； 元功， 写出元功 分析变量关系； 写出元功，分析变量关系； 积分计算功； 积分计算功； 分析结果的物理意义。 分析结果的物理意义。
4.1
功 动能定理
一、功
力对质点所作的功： 力在质点位移方向的分量 力对质点所作的功： 与位移大小的乘积，即为力与质点位移的点积。 位移大小的乘积，即为力与质点位移的点积 力与质点位移的点积。 的乘积 1、恒力直线运动的功： 恒力直线运动的功：
r F
r r r A = F cosθ | ∆r | = F ⋅ ∆r
A外 + A内 = ∆ E k 即：外力的功与内力的功的代数
注意 和，等于质点系总动能的增量。 等于质点系总动能的增量。 内力可以改变质点系的总动能。 内力可以改变质点系的总动能。
注意：内力能改变系统的总动能， 注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统 的总动量。 的总动量。 因为内力总是成对出现， 因为内力总是成对出现，而一对作用力反作用 力的冲量为零，因而内力不能改变系统的动量。 力的冲量为零，因而内力不能改变系统的动量。 但是由于质点系内各质点间可以有相对位移， 但是由于质点系内各质点间可以有相对位移， 有相对位移 一般情况下，内力的功不一定为零， 一般情况下，内力的功不一定为零，所以内力作功 可以改变质点系的总动能。 可以改变质点系的总动能。 比如: 比如 子弹射入墙中，墙对子弹的摩擦力作负功，而子 子弹射入墙中，墙对子弹的摩擦力作负功， 弹对墙的摩擦力不作功， 弹对墙的摩擦力不作功，所以 A内 ≠ 0