C A
B
C A
B
左图 右图
A的面积
4 16
B的面积
9 9C的ຫໍສະໝຸດ 积13 25SA SB SC
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a、b和斜边长c来表示图中正方形 的面积吗？
C A
B
C A
B
SA SB SC
a2 b2 c2
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理的由来
这个定理在中国又称为“商高定理”，商高是公元前十一世纪的中 国人.当时中国的朝代是西周， 是奴隶社会时期.在中国古代大约是战国时期西汉 的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的 一段对话.商高说：“…故折矩，勾广三，股修四， 经隅五.”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边 分别为3（短边）和4（长边）时， 径隅（就是弦）则为5.以后人们就简单地把这个 事实说成“勾三股四弦五”.由于勾股定理的内容 最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫 做“商高定理”.
勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么
a2 b2 c2.
1.成立条件： 在直角三角形中；
2.公式变形:
a2 c2 b2, b2 c2 a2;
3.作用：已知直角三角形任意两边长，
求第三边长.
（注意：哪条边是斜边）
b
c
a
课堂 练 习
1、求下图中字母所代表的正方形的面积。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B和∠C所对的三 条边分别是a、b、c.
求证： a2 b2 c2.
请先用手中的全等直角三角形按图示进行摆放，然后根据图 示的边长，选择其中一个图形，分析其面积关系后证明.
图1
图2
图3
自主证明
图1
大正方 解：形的面积 (a b)2 , 小正方形的面积 c2 , 所以(a b)2 4 1 ab c2 ,
两个锐角互余.
直角 三角形
直角三角形的三边a、b、c有没 有等量关系呢？
拼图游戏
1. 有八个直角边长为1的等腰直角三角形，你能用它们拼出如 图所示的三个正方形吗？
A
B
C
2. 请你计算这三个正方形的面积，它 们之间存在什么数量关系？能否用一 个等式表示出来？
A
B
C
即：A、B、C的面积有什么关系？
Z```x```xk
（1）观察右边 两幅图：
C A
B
C A
B
（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：
左图 右图
A的面积
4 16
B的面积
9 9
C的面积
？ ？
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？
C A
B
C A
B
“补”的方法
4
3
C
B
C
A
S = S - 4×S C
大正方形
小直角三角形
7 Sc 7741234
A
625
81
22 5 400
22 B
144
5
2.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625
576
①
②
③
3、求出下列直角三角形中未知边的长度
x 6
x 5
13 8
解：（1）由勾股定理得：
（2）由勾股定理得：
x2=62+82 x2 =36+64 x2 =100
x=10
∵ x2+52=132 ∴ x2=132-52
边长分别为
()
B
2、4、6
Ｂ 6、8、10
Ｃ 4、6、8
Ｄ 8、10、12
1. 已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a=2，c=5，求b.
2. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，a=3，b=4，求c.
3. 教材第24页练习第2题.
谢谢观看！
本课我们学习了哪些知识？ 用了哪些方法？ 你有哪些体会？
25
“割”的方法
C
C4 B
3
A
S = 4×S S C
小直角三角形 + 小正方形
Sc 412341
25
“拼”的方法
你知道是怎样拼的吗？
（1）观察右边 两幅图：
C A
B
C A
B
（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：
左图 右图
A的面积
4 16
B的面积
9 9
C的面积
13 25
根据表中数据， 你得到了什么？
则 a2 b2 c2.
我国有记载的最早勾股定理的证明，是三国时，我国古代数学家赵爽在他所著的《勾股方圆图注》中
，用四个全等的直角三角形拼成一个中空的正方形来证明的.每个直角三角形的面积叫朱实，中间的正 方形面积叫黄实，大正方形面积叫弦实，这个图也叫弦图.２００２年的国际数学家大会将此图作为大 会会徽．
2 即：a 2 b2 c 2 .
解：
图3
梯形的面积 1 (a b)(a b), 2
直角三角形的面积 1 c2 , 2
所以 1 (a b)(a b) 2 1 ab 1 c2 ,
2
2
2
即a 2 b2 c2.
自主证明
图2
解：大正方形的面积 c2 , 小正方形的面积 (b a)2 , 所以4 1 ab (b a)2 c2 ,
美国第二十任总统加菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 . 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，
就把这一证法称为“总统”证法.
D
bc Aa
C c
a bB
勾
股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”. 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边 称为“弦”.
勾股定理
数学家曾建议用这个图作为与“外星人”联系 的信号.
你知道这是为什么吗？
你 见 过 这 个 漂 亮 的 图 案 吗 ？
这个图案有什么意义？ Zx```x```k`
弦图
它标志着我国 古代数学的成
就！
这个图形里 到底蕴 涵了什么样博大精深 的知识呢？
一般三角形
三个内角和是180°， 两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边.
毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家， 他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多 年.希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公 元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时， 认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以 他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以 后就流传开了.
有趣的总统证法
SA+SB=SC
3．由上面的条件可知，这三个正方形
的边长分别是1、1和2，那么刚才的面
积关系可以用一个等量关系式来描述吗？
请你写出这个等式.
2
SA+SB=SC
12 12 （ 2）2
两条直角边的平方和等于斜边的平方.
是不是所有的直角三角形 都是这样的呢？
这里的等腰直角三角形如果腰长不是1，而是 其他数，还会有刚才的结论吗？
x2=169-25 x2=144
x=12
4.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x
12
看
x
谁
20
算
得
快
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
试一试:
2、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则BC的长为
___________
5或
.7
B
B
4
4
C
3
A
A
3
C
试一试:
３、一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,则它的三
2 2ab b2 2ab a2 c2 , 即：a 2 b2 c2.
用赵爽弦图证明勾股定理
b
a
a2 b2 =
c2
c b
a
定理：
如果直角三角形两直角边分别为a、b，
斜边为c，那么
a2 b2 c2. a
c
b 即 直角三角形两直角边的平方和
等于斜边的平方.
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°，