导数复习经典例题分类（含答案）导数解答题题型分类之拓展篇(一)编制：王平审阅：朱成2014-05-31题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立;经验1:此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f'(x) 0得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；经验2:不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元(即关于某字母的一次函数)；题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元)；第二种：分离变量求最值(请同学们参考例5)；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值；题型特征(f(x) g(x)恒成立h(x) f(x) g(x) 0恒成立)；参考例4;1例「已知函数f(x)3x3bx22x a，x 2是f (x)的一个极值点.(I)求f(x)的单调递增区间；(U)若当围.2 2x [1, 3]时，f (x) a —恒成立，求a的取值范32x例 2.设 f (x) , g(x) ax 5 2a(a 0)。

x 1(1)求f(x)在x [0,1]上的值域；(2)若对于任意人[0,1]，总存在x0 [0,1],使得g(x。

)f(xj成立，求a的取值范围_ 3 2例3.已知函数f(x) x ax 图象上一点P(1,b)的切线斜率为 3 , (t 1)x 3 (t 0)(U)当x [ 1,4]时，求f (x)的值域;ax 3 2ax 2 b(a 0)在区间 2,1上的最大值是5,最小值是(U)若t ［ 1,1］时，f (x ) tx 0恒成立，求实数x 的取值x 3 2J10 例5.已知函数f (x) -y 图象上斜率为3的两条切线间的距离为 ----------- ，函数a5(、-、3bx 2 g(x) f(x) — 3.a(1) 若函数g(x)在x 1处有极值，求g(x)的解析式；(2) 若函数g(x)在区间［1,1］上为增函数，且b 2 mb 4 g(x)在区间［1,1］上都成立，求实 数m 的g(x)(I)求a,b 的值;(川)当x ［1,4］时，不等式f (x)g(x)恒成立，求实数t 的取值范围例4.已知定义在R 上的函数f(x) —11.(I)求函数f(x)的解析式;范围•取值范围.题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题;经验1已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：第一种：转化为恒成立问题即f'(x) 0或f'(x) 0在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(看是否在0的同侧)，如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；第二种：利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考08年高考题；第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷；特别说明：做题时一定要看清楚“在(a,b )上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b )”，要弄清楚两句话的区别；经验2:函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式(组)即可；例6•已知函数f(x)】x3丄卫x2，g(x) 1kx，且f(x)在区间(2,)上为增函数.3 2 3(1)求实数k的取值范围；(2)若函数f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.3例7.已知函数f (x) ax3 3x2 1a(I )讨论函数f(x)的单调性。

(II )若函数y f(x)在A、B两点处取得极值，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围。

例8.已知函数f(x) = x3—ax2—4x+ 4a,其中a为实数.(I )求导数f (x) ; ( n )若f ( —1) = 0,求f(x)在［—2, 2］上的最大值和最小值;(川)若f(x)在(一％,—2］和［2 , +^)上都是递增的，求a的取值范围例9.已知：函数f (x) x3 ax2 bx c(I )若函数f (x)的图像上存在点P，使点P处的切线与x轴平行，求实数a,b的关系式；(II )若函数f(x)在x 1和x 3时取得极值且图像与x轴有且只有3个交点，求实数c的取值范围•1例10.设y f(x)为三次函数，且图像关于原点对称，当x -时，f(x)的极小值为1 .2(I)求f (x)的解析式；(n)证明：当x (1,)时，函数f (x)图像上任意两点的连线的斜率恒大于0.例11.在函数f (x) ax3 bx(a 0)图像在点(1, f (1))处的切线与直线6x y 7 0.平行，导函数f'(x)的最小值为一12。

( 1)求a、b的值；(2)讨论方程f(x) m解的情况 (相同根算一根)。

导数解答题题型分类之拓展篇(二)编制：王平审阅：朱成2014-06-01例12.已知定义在R上的函数f(x) ax3 bx c(a,b,c R)，当x 1时，f(x)取得极大值3, f(0) 1.(I)求f(x)的解析式；(U)已知实数t能使函数f(x)在区间(t, t 3)上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数t组成的集合为M.请判断函数g(x) 竺(x M)的零点个数•x例13.已知函数f (x) kx3 3(k 1)x2 2k2 4,若f(x)的单调减区间为(0, 4)(I )求k的值；(II )若对任意的t [ 1,1],关于x的方程2x2 5x a f(t)总有实数解，求实数a的取值范围。

例14.已知函数f(x) ax3 bx2 x(x R,a,b是常数)，且当x 1和x 2时，函数f (x)取得极值•(I)求函数f (x)的解析式；(U)若曲线y f (x)与g(x) 3x m( 2 x 0)有两个不同的交点，求实数m的取值范围._ 3 2例15.已知 f (x) = x + bx + cx + 2.⑴若f(x)在x= 1时有极值—1,求b、c的值；⑵若函数y二x2+x —5的图象与函数y二匚的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范x围.例16.设函数 f (x) x3 x2 ax , g(x) 2x b，当x 1 .2时，f(x)取得极值.3(1)求a的值，并判断f(1 . 2)是函数f (x)的极大值还是极小值；(2)当x ［ 3,4］时，函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，求b的取值范围.题型三：函数的切线问题；经验1:在点处的切线，易求；经验2 :过点作曲线的切线需四个步骤；第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线(一般用点斜式)；第三步：根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数；例17.已知函数f (x) ax3 bx2 cx在点x°处取得极小值一4，使其导数f'(x) 0的x的取值范围为(1,3)，求：(1) f (x)的解析式；(2)若过点P( 1,m)可作曲线y f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.例18.已知f (x) x3 ax2 4x ( a为常数)在x 2时取得一个极值，(1)确定实数t的取值范围，使函数f(x)在区间［t,2］上是单调函数；(2)若经过点A (2, c)( c 8 )可作曲线y f(x)的三条切线，求c的取值范围.题型四：函数导数不等式线性规划结合；例19.设函数g(x) -x3丄ax2 bx(a,b R)，在其图象上一点F(x,y)处的切线的斜率记为3 2f (x) •(1)若方程f (x)有两个实根分别为-2和4,求f (x)的表达式；⑵若g(x)在区间1,3上是单调递减函数，求a2 b2的最小值。

1例20.已知函数 f (x) x3 ax2 bx(a, b R)311(1)若y f (x)图象上的是(1,-)处的切线的斜率为4,求y f (x)的极大值。

3(2)y f (x)在区间［1,2］上是单调递减函数，求a b的最小值。

例21.已知函数f (x) mx3 nx2( m , n R , m n且m 0)的图象在(2, f (2))处的切线与x轴平行.(I) 试确定m、n的符号；(II) 若函数y f (x)在区间［n,m］上有最大值为m n2，试求m的值.题型五：函数导数不等式的结合a例22.已知函数fx x b x 0，其中a,b R .x(I)若曲线y f x 在点P 2, f 2处的切线方程为y 3x 1，求函数f x 的解析式; (U)讨论函数f x 的单调性；(川)若对于任意的a -,2，不等式f x 10在-,1上恒成立，求b 的取值范围•24例23.已知函数f(x) -x 3 ax 2 bx 1(x R,a ， b 为实数)有极值，且在x 1处的切线与直线3x y 10平行.(1) 求实数a 的取值范围；(2) 是否存在实数a ，使得函数f (x)的极小值为1，若存在，求出实数a 的值；若不存在， 请说明理由；1 -x2 cx d (a 、c 、d € R )满足 f(0) 0, f'(1) 0且 f'(x) 0在 R 4(1)求 a 、c 、d 的值；(2)若 h(x) - x 2 bx --，解不等式 f '(x) h(x) 0 ；42 4例 25.设函数 f(x) x(x a)2 (x R )，其中 a R(1) 当a 1时，求曲线y f (x)在点(2， f (2))处的切线方程； (2) 当a 0时，求函数f (x)的极大值和极小值；例24.已知函数f(x)上恒成立。

1 3 ax 3(3)当a 3时，证明存在k [ 1,0]，使得不等式f (k cosx) f (k2 cos2x)对任意的x R恒成导数解答题题型分类之拓展篇答案2014-05-31题型一例1、解：(I) f '(x) x 2 2bx 2. I x 2是f (x)的一个极值点，••• x 2是方程x 22bx 2 0的一个根，解得b3.2令 f '(x)0,则 x 2 3x 2 0 ,解得 x 1 或x 2.•函数y f (x)的单调递增区间为(，1) , (2, + ).(n)v 当 x (1,2)时 f '(x) 0 , x (2,3)时 f '(x) 0 ,• f (x)在(1, 2) 上单调递减，f (x)在(2, 3) 上单调递增.• f(2)是f (x)在区间［1 , 3］ 上的最小值，且f(2) - a . 若当x ［1, 3］时，要使f(x) a 2 -恒成立，只需33f(2) a22,即2a a22，解得 0 a 1.333f(x)在[0,1]上增,• f(x)值域[0,1]f ( 1) 4, f (0) 0,{f(x)}min f(2) 4,{f(x)}max f (4) 16 • f(x)的值域是[4,16](川)令 h(x) f (x) g(x) x 2 (t 1)x 3 x [1,4]2•要使 f (x) g(x)恒成立,只需 h(x) 0 ,即 t(x 22x) 2x 62x 6(1)当 x [1,2)时 t 丁 一，解得 t 1 ;x 2x(2) 当 x 2 时 t R ;例2、解：(1)法 ：(导数法)f (x)24x( x 1) 2x (x 1)222x 4x (x 1)20在x ［0,1］上恒成立.法二：f(x)空x 1 法三:f(x)超⑵ f(x)值域［0,1］ 0, x2 厂 x2(x 由条件，只须［0,1］ ,x (0,1],复合函数求值域.21)4(x 1) 2 x 1,g(x) ax 5 2a(a5 a]，5/[5 2a,5 例 3、解：(I) f /(x) 3x 2(U)由(I)知，f (x)在[2(x 1)0)在x 2a 01 a o • f()b 11,0]上单调递增,—4用对号函数求值域. x 1［0,1］上的值域［5 2a,5 a ］.5 2 a 4.解得a3b2［0,2］上单调递减，在［2,4］上单调递减又2x 6(3)当x (2,4]时t 丁—解得t 8 ;综上所述所求t的范围是(，1]U[8,)x 2x例 4、解：(I) Q f(x) ax 3 2ax 2 b, f (x) 3ax 2 4ax ax(3x 4) 4令 f(x)=O,得 x i 0,X 2 — 2,13因为a 0，所以可得下表:因此 f(0)必为最大值，二 f (0) 5 因此 b 5 , Qf( 2) 163 5,f(1) a 5, f(1) f( 2), 即 f( 2) 16a 5 11 ,••• a1，二 f(x ) x 3 2x 2 5.(n)v f (x) 3x 2 4x , - f (x ) tx 0 等价于 3x 2 4x tx 0,令g(t) xt 3x 24x ，则问题就是g(t) 0在t ［ 1,1］上恒成立时，求实数x 的取值范围，为此只例6解： (1)由题意f (x) x 2 (k 1)x v f(x)在区间(2,)上为增函数， • f (x) x 2 (k 1)x 0在区间(2,)上恒成立即k 1 x 恒成立，又x 2 , • k 1 2，故k 1 • k 的取值范围为k 1 x 3 (k 1) o 1 (2)设 h(x) f (x) g(x) x kx3 2 32h (x) x (k 1)x k (x k)(x 1)令h (x) 0得x k 或x 1由(1)知k 1 ,①当k 1时，h (x) (x 1)20 , h(x)在R 上递增，显然不合题意…②当k 1时，h(x),h (x)随x 的变化情况如下表：需 g ((；) 解得0•••切线方程为y .| 2a 2a|3x 2 5x 0，即2门，x x 01，所以所求实数x 的取值范围是［0 , f (x)3x 2，•由-4 x 2 3 有 xa aa 3(x a)，或 y a ，解得a 1 , / 53(x a)，f(x)32( 1)22g (x) 3x 3b , g (x) x 3 3x 3(2)v 函数g(x)在区间［1,1］上为增函数，二g(x)在x 1处有极值, b 0 ,又 I b 2mb b 2mb 44 3b ,题型二答案：1］-a ，即切点坐标为(a, a)，(整理得3x y 2ax 3，二 g(x) x (1) 0，即 3 12 3bx 3b 0 a, a) 0或3x 3。