七年级数学学案
平面直角坐标系
知识点概述1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为
直角坐标系
2、已知点的坐标找出该点的方法：分别以点的横坐标、纵坐标在数轴上表示的点为垂足，作x轴y轴的的垂线，两垂线的交点即为要找的点。

3、已知点求出其坐标的方法: 由该点分别向x轴y轴作垂线，垂足在x轴上的坐
标是改点的横坐标，垂足在y轴上的坐标是该点的纵坐标。

4、各个象限内点的特征
第一象限：（+，+）点P (x,y )，则x>0,y >0;
第二象限：（-，+）点P (x,y )，贝9 x v0,y >0;
第三象限：（-，-）点P (x,y )，则x v 0,y v 0;
第四象限：（+，-）点P (x,y )，贝9 x > 0,y v 0;
5、坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零;
原点的坐标为（0,0 ）。

两坐标轴的点不属于任何象限
6、点的对称特征：已知点P（m, n）.
关于x轴的对称点坐标是（m,-n）, 横坐标相同，纵坐标反号
关于y轴的对称点坐标是（-m, n）纵坐标相同，横坐标反号
关于原点的对称点坐标是（-m,-n）横，纵坐标都反号
7、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征:
平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等;
平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。

8、各象限角平分线上的点的坐标特征：
第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。

点P（a,b）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是（b, a）第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。

点P（a,b）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是（-b,-a）9、点P（x,y ）的几何意义：点P（x,y ）到x轴的距离为|y| ，点P（x,y ）至9 y
轴的距离为凶。

10、点的平移特征：在平面直角坐标系中,
将点（x,y 向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x-a , y);
将点（x,y 向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a , y);
将点（x,y ）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x, y + b）;
将点（x,y ）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y —b）。

注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;
反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了
怎样的平移。

例题精讲
例1、象限内的点的特征
1、______________________ 原点0的坐标是_________ ，点M（a，0）在轴上。

2、已知mn =0,则点（m，n）在 _________________________________ 。

3、若点B（a, b）在第三象限，则点C（—a+1, 3b—5）在第___________ 象限。

4、如果点A的坐标为（a2+1，—1 —b2）,那么点A在第几象限？为什么？
例2、点到坐标轴的距离
1、点P到x轴的距离是2,到y轴的距离是3,贝y P点的坐标是_________________________ 。

2、点A在x轴上，位于原点左侧，距离坐标原点7个单位长度，则此点的坐标
3、若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为( )
A . (3, 0)
B . (3, 0)或(-3, 0)
C . (0, 3)
D . (0, 3)
或(0,- 3)
例3、平行于坐标轴上的点的特征
1、在平面直角坐标系内，有一条直线PQ平行于y轴，已知直线PQ上有两个点，
坐标分别为(一a,—2)和(3, 6),则a= _________________ 。

2、已知AB// x轴，A点的坐标为(3, 2),并且AB= 5,则B的坐标为_____________ 。

3、 A (- 3 , - 2 )、B (2,-2 )、C (- 2 , 1 )、D( 3, 1)是坐标平面内的四个点，则线段AB
与CD的关系是 ____________ 。

4、在坐标系内，点P ( 2,—2)和点Q(2, 4)之间的距离等于___________ 个单位长度。

线段PQ的中点的坐标是____________ o
例4、关于坐标轴对称的点的特征
1、点A (- 1, 2)关于y轴的对称点坐标是_______________ ;点A关于x轴对称的
点的坐标为____________ ;点A关于原点的对称点的坐标是_______________
2、已知点M x, y与点N(-2,-3 )关于x轴对称，则x + y = _________ 。

3、已知点P (a+1, 2a-1 )关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围.
例5、图形的平移与点的坐标的变化
1、在平面直角坐标系内，把点P (—5,—2)先向左平移2个单位长度，再向上平移
4个单位长度后得到的点的坐标是
2、如图，将△ ABC向右平移2个单位长度，再向下平移的厶ABC，在图中画出并写出点A、B1、
例6、如图，在平面直角坐标系中，直线实
验与探究：
1、由图观察易知A
(0, 2)关于直线I
分别标明B(5,3) 的
坐标:B ______
归纳与发现：3个单位长度，得到对应
C1的坐标.
l是第一、三象限的角平分线•
的对称点A的坐标为(2, 0),请在图中、C(-2,5)关于直线I的对称点B、C的位置，并写出他们、C
2、结合图形观察以上三组点的坐标，
第一、三象限的角平分线I 的对称点P 的坐标为 _________________ （不必证明）； 运用与拓广：
3、已知两点D （1,-3） 、E （-1,-4），试在直线I 上
确定一点Q,使点Q 到D 、E 两点的距离之和 最小，并求出Q 点坐标. 巩固练习 一. 选择题
1.如果点M （ a-1 , a+1 ）在x 轴上，则a 的值为（ ）
A.a=1
B. a=-1
C. a>0
D. a
的值不能确定
2•点P 的横坐标是-3，且到x 轴的距离为5,则P 点的坐标是（ ）
C. （-3，5）
D.
（-3，-5 ）
3.
若点P （a ，b ）在
第四象限，则点 M （b-a ，a-b ）在（ ）
A.第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D. 第四象限
4. 已知正方形 ABCD 勺三个顶点坐标为 A （ 2，1），B （ 5，1），D （2，4），现将该正
方形向下
4个单位长度，得到正方形 A'B'C'D'，贝V C '
6.到x 轴的距离等于2的点组成的图形是（ ） A.过点（0, 2）且与x 轴平行的直线
B. 过点（2, 0）且与y 轴平行的直
A. ( 5, -3 )或(-5，-3 )
B.
(-3，5)或(-3，-5 )
点的坐标为（） A. （5, 4） B. （5，1） 5•点M （a , a-1 ）不可能在（ A.第一象限 B. 第二象限 C. (1,1) D. (-1 , -1 ) )
C. 第三象限
D.
第四象限
平移3个单位长度，再向左平移
C.过点（0, -2且与x 轴平行的直线
D. 分别过（0, 2）和（0, -2 ）且 与x 轴平行的两条直线 二. 填空题
7. 直线a 平行于x 轴，且过点（-2，3）和（5，y ），则y= ________ 8. 若点M （ a-2，2a+3）是x 轴上的点，贝U a 的值是 _____________ 9. 已知点P 的坐标（2-a ，3a+6），且点P 到两坐标轴的距离相等，则点
P 的坐标
是 ________________
10. 若P （x ，y ）是第四象限内的点，且 x=2, y=3，则点P 的坐标是 _______________ 三. 解答题
11. 在平面直角坐标系内，已知点（1-2a ，a -2 ）在第三象限的角平分线上，求
a
的值及点的坐标？
12 .如图为风筝的图案.
（1）若原点用字母 O 表示，写出图中点 A ，B, C 的坐标.
13.如图，在平面直角坐标系中，点 A, B 的坐标分别为（一
时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位 （1）求点C, D 的坐标及四边形 ABDC 勺面积S 四边形ABDC
⑵在y 轴上是否存在一点 P ,连接PA , PB,使S PAB = S 四边形ABDC ,
（2）试求（1）中风筝所覆盖的平面的面积.
现同
・x
B 的
对应点C ，D,连接AC, BD, CD
y
A
C
y
A
O
x
C 若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由.
A
⑶点P是线段BD上的一个动点，连接PC, PQ当点P在二
BD上移动时（不与B, D重合）给出下列结论：①，DCP' BOP A
NCPO 丁y
DCP CP°的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个的值不变，②
ZBOP
结论并求其值.。