万有引力定律及其应用一、选择题(每小题5分，共40分)1．下列说法中正确的是 （ ） A.两质点间万有引力为F,当它们间的距离增加1倍时,它们之间的万有引力是2F B.树上的苹果掉到地上,说明地球吸引苹果的力大于苹果吸引地球的力 C.由万有引力公式221rm m G F =可知,当其他条件不变而r 趋近0时,F 趋于无穷大 D.以上说法均不正确【解析】由公式221r m m GF =，F 与r 2成反比，距离增加1倍，引力变为41F ，A 项错.地球和苹果间的相互作用力符合牛顿第三定律,故大小相等,B 项错.万有引力公式221rmm G F =只适用于质点,当r 趋近于0时,m 1、m 2物体已不能看成质点,F 并不趋于无穷大,C 项错. 【答案】D2．设想人类开发月球,不断把月球上的矿藏搬运到地球上.假定经过长时间开采后,地球仍可看做是均匀的球体,月球仍沿开采前的圆周轨道运动,则与开采前相比 （ ） A.地球与月球间的万有引力将变大 B.地球与月球间的万有引力将变小 C.月球绕地球运动的周期将变长 D.月球绕地球运动的周期将变短【解析】设地球的质量为M,月球的质量为m,则F 引=222)2(Trm r GMm π=.因为(M+m)为定值,且m ＜M,在搬运过程中m 与M 的差值越来越大,所以M 与m 的乘积越来越小,故万有引力将减小;由2224T r m r GMm π=得, 2224Trm r GM π=.因为M 逐渐增大,所以T 逐渐减小. 【答案】B 、D3．2007年10月24日18时05分，中国第一颗探月卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心成功升空.已知月球半径为R ，若“嫦娥一号”到达距月球表面高为R 处时，地面控制中心将其速度调整为v 时恰能绕月球匀速飞行.将月球视为质量分布均匀的球体，则月球表面的重力加速度为 （ ） A.v 2/R B.2v 2/R C.v 2/2R D.4v 2/R 【解析】由万有引力充当向心力，即R v m R GMm 2222=）（，① 在月球表面处有mg RGMm=2.②由①②可得g=Rv 22,故B 正确.【答案】B4．据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200 km ，运行周期127 min.若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是（ ） A.月球表面的重力加速度 B.月球对卫星的吸引力 C.卫星绕月运行的速度 D.卫星绕月运行的加速度【解析】因为不知道卫星的质量，所以不能求出月球对卫星的吸引力. 【答案】B5．我国发射的“嫦娥一号”探月卫星简化后的路线示意图如图所示，卫星由地面发射后，经发射轨道进入停泊轨道，然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道，卫星开始对月球进行探测.已知地球与月球的质量之比为a ，卫星的停泊轨道与工作轨道半径之比为b,卫星在停泊轨道和工作轨道上均可视为做匀速圆周运动，则 （ ）A.卫星在停泊轨道和工作轨道运动的速度之比为b a B.卫星在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为ab C.卫星在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度 D.卫星从停泊轨道转移到地月转移轨道，卫星必须加速【解析】根据万有引力提供向心力列出方程，写出速度、周期与轨道半径的关系式，然后进行比较判断. 由v=r GM得，月工泊地工泊＝M r r M v v •=b a,A 正确；由T=2πGMr 3,得a b M M r r T T 333=•地月工泊工泊＝,B 错；第一宇宙速度是卫星转动半径等于地球半径时的环绕速度，由于r 泊>R,由v=rGM知，在停泊轨道的卫星速度小于地球的第一宇宙速度，C 错；卫星在停泊轨道上运行时，万有引力提供向心力，即r v m r m GM 22泊泊地=GM 地mr2泊=mv2泊r,只有卫星所需要的向心力大于地球对它的万有引力，即r v m r m GM 22泊泊地〈GM 地mr2泊<mv2r 时，卫星做离心运动，才能进入地月转移轨道.因此，卫星必须加速，D 正确.【答案】A 、D6. 木星是绕太阳公转的行星之一，而木星的周围又有卫星绕木星公转.如果要通过观测求得木星的质量，则需要测量的量是 （ ） A.木星运行的周期和轨道半径 B.卫星运行的周期和轨道半径C.木星运行的周期和卫星的轨道半径D.卫星运行的周期和木星的轨道半径【解析】要测量木星的质量，只要将其视为中心天体，测得绕其运行的卫星的周期和轨道半径，根据公式M=2324GTr π求得. 【答案】B7 ．2020年2月11日，美国铱卫星公司的“铱33”通信卫星和俄罗斯的“宇宙2251”军用通信卫星在西伯利亚上空约790 km 处发生相撞.据报道，美俄卫星相撞时，双方的运行速度达到25 000 km/h.关于这两颗卫星的说法中正确的是（ ） A.两颗卫星可能都是地球同步卫星B.两颗卫星相撞前瞬间受到地球的万有引力相等C.两颗卫星相撞前瞬间加速度相同D.两颗卫星的运行速度都大于第一宇宙速度【解析】若两颗卫星都是地球同步卫星，则它们在同一高度以同一速度运行，不可能相撞，所以A 选项错误；两颗卫星相撞前瞬间，它们距离地球的距离相等，但它们的质量不等，因此受到地球的万有引力不等，所以B 选项错误；两颗卫星相撞前瞬间，它们距离地球的距离相等，虽然它们的质量不等，但受地球的万有引力与质量的比值相等，所以C 选项正确；这两颗卫星都是环绕地球运动，根据万有引力定律可知，卫星距离地面的高度越高，运行速度越小，所以它们的运行速度都小于第一宇宙速度，所以D 选项错误. 【答案】C8．2008年9月27日“神舟七号”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务，他的第一次太空行走标志着中国航天事业全新时代的到来.“神舟七号”绕地球做近似匀速圆周运动，其轨道半径为r,若另有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的半径为2r,则可以确定（ ）A.卫星与“神舟七号”的加速度大小之比为1∶4B.卫星与“神舟七号”的线速度大小之比为1∶2C.翟志刚出舱后不再受地球引力D.翟志刚出舱任务之一是取回外挂的实验样品，假如不小心实验样品脱手，则它做自由落体运动 【解析】加速度计算公式为a=2rGMm F =，所以卫星和“神舟七号”的加速度之比为1∶4，A 选项正确；线速度计算公式为v=rGM,所以卫星和“神舟七号”的线速度之比为1∶2，B 选项正确；翟志刚出舱后依然受到地球的引力，引力提供其做匀速圆周运动所需的向心力，C 选项错误；实验样品脱手后，依然做匀速圆周运动，相对飞船静止，D 选项错误. 【答案】A 、B二、非选择题(共60分) 9．（12分）如图是发射地球同步卫星的简化轨道示意图，先将卫星发射至距地面高度为h 1的近地轨道Ⅰ上，在卫星经过A 点时点火实施变轨，进入远地点为B 的椭圆轨道Ⅱ上，最后在B 点再次点火，将卫星送入同步轨道Ⅲ.已知地球表面重力加速度为g ，地球自转周期为T ，地球的半径为R.求：（1）近地轨道Ⅰ上的速度大小； （2）远地点B 距地面的高度. 【解析】（1）设地球的质量为M ，卫星的质量为m,近地轨道Ⅰ上的速度为v 1在圆周轨道Ⅰ上12121h R v m h R GMm +=+）（.① 在地球表面mg R GMm=2.② 由①②得：121h R gR v +=.③(2)设B 点距地面高度是h 2）（）（2222)2(h R T m h R GMm +=+π，④ 由②④得h 2=R TgR -32224π.⑤【答案】(1) 12h R gR + (2) R TgR -32224π10．（14分）假若几年后中国人乘宇宙飞船探索月球并完成如下实验：①当飞船停留在距月球一定的距离时，正对着月球发出一个激光脉冲，经过时间t 后收到反射回来的信号，并测得此刻月球对观察者眼睛的视角为θ；②当飞船在月球表面着陆后，科研人员在距月球表面h 处以初速度v 0水平抛出一个小球，并测出落点到抛出点的水平距离为x.已知万有引力常量为G ，光速为c ，月球的自转影响以及大气对物体的阻力均不计.试根据以上信息，求： （1）月球的半径R ； （2）月球的质量M. 【解析】（1）设飞船离月球的距离为d ，则2d=ct. R=sin 2sin)(θR d +.解得R=)2sin 1(22sinθθ-ct .（2）设月球表面的重力加速度为g 月，则 g 月=2RGM ，h=221t g '月,x=v 0t ′. 解得2222202)2sin 1(22sin θθ-Gx t v hc M ＝.【答案】（1）)2sin 1(22sinθθ-ct （2）2222202)2sin 1(22sin θθ-Gx t v hc 11．（16分）经过天文望远镜的长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识.双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离.一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理.现根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M ，两者间相距L ，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动. （1）试计算该双星系统的运动周期T ；（2）若实验上观测到运动周期为T ′，为了解释两者的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质.作为一种简化的模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着密度为ρ的暗物质，而不考虑其他暗物质的影响，并假定暗物质与星体间的相互作用同样遵守万有引力定律.试根据这一模型计算该双星系统的运动周期T ′.【解析】（1）222)2(2T L M L GMπ••=, 所以GMLLT 2π=. （2）2322)2()2(34L L GM L GM πρ+2)2(2T L M '••=π, 所以)23(63L M G LLT πρπ+='.【答案】(1) GM L LT 2π= (2) )23(63L M G LL πρπ+. 12.（18分）如图所示，A 是地球的同步卫星.另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h.已知地球半径为R ，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心.（1）求卫星B 的运行周期.（2）如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近（O 、B 、A 在同一直线上），则至少经过多少时间它们再一次相距最近？ 【解析】（1）由万有引力定律和向心力公式得:）（）（h R T m h R GMm B +=+2224π，① mg R GMm=2.② 联立①②得23)(2GRh R T B +=π.③ （2）由题意得（ωB -ω0)t=2π.④由③得ωB =32)(h R gR +,⑤代入④得32)(2ωπ-+=hRgRt.。