第二章 极限与连续本章教学内容本章介绍了数列极限与函数极限的概念、基本知识和基本理论以及函数连续性的基本知识．微积分是一门以变量（函数等）作为研究对象、以极限方法作为基本研究手段的数学学科，无论是微分学、积分学、还是无穷级数问题都需以极限为工具进行研究，整个微积分学就是建立在极限论的基础之上的．连续性是函数的一个重要的分析性质，本章运用极限引入函数连续性的概念．在微积分学中讨论的函数，主要是连续型的函数，它有许多良好的性质，它是本课程的主要研究对象．教学思路1． 学习微积分的一个直接的重要的目的是掌握研究函数的微观性态和宏观性态的方法．这一点无论对学术研究能力的培养还是对研究生入学应试，都是非常重要的．当然，学习微积分的目的还有其更重要的另外一面，那就是培养和训练思维与思考问题的模式，掌握学习未知世界的方法与技巧，不管你将来是否从事数学及其相关学科，如能达到上述境界，则必会长期受益．2．极限的思想、概念与方法是分析数学问题的基本工具和语言．数列极限和函数极限都是高等数学重要的基础，但相对而言，前者是训练和培养极限思维模式的基础．对数列极限的有关概念和方法，站到较高台阶上去思考，将有助于全部微积分内容的学习．因此，极限的基本概念要讲透，使学生能接受并理解其深刻的内涵．要使学生会熟练地求极限．可让学生适当地多做一些练习题．3．用“N -ε”、“δε-”语言定义极限不能省略，不要求学生会做有关的习题，但要领会，以便理解有关的定理的证明．4．函数的连续性作为承上（极限理论与方法）启下（微分、积分概念）的重要环节，它是用极限等工具研究函数局部性质与整体性质的开始．函数在一点处连续的概念描述了函数的局部性质，而在一个区间上的连续性则描述了一个函数的整体性质．也可以说前者涉及的是函数微观性态，而后者则是刻画函数的宏观性态，并且，二者互相渗透，相辅相成．闭区间上连续函数的性质只作介绍，其证明略去．5．本章重点是极限定义与其等价性描述，极限的性质及运算，以及若干重要结论构成的知识层次．学好本章内容，对掌握微积分全部内容与技巧有着重要的影响作用．6．本章新概念多、难点多，又处于学生从初等数学跃上高等数学台阶的转型时期，很不习惯．因此，本章内容讲授完成后可安排一次习题课．教学安排本章教学时数为14学时，课时分配如下：§2.1数列的极限2学时§2.2 函数的极限 2学时§2.3变量的极限，§2.4无穷大量与无穷小量 2学时§2.5极限的运算法则 2学时§2.6两个重要的极限 2学时§2.7函数的连续性 2学时习题课 2学时教学目标理解数列的极限、函数的极限及函数的左、右极限的概念．了解有界变量的概念，了解变量有极限与有界的关系．了解无穷大量、无穷小量的概念及二者之间的关系．了解极限存在的两个准则．熟练掌握极限的运算法则、无穷小量的性质、两个重要极限以及利用函数的连续性求函数极限的方法．理解函数连续的概念，会判断函数在某点的连续性．掌握讨论简单分段函数连续性的方法．理解初等函数在其定义域内都是连续的结论．理解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值与最小值定理、介值定理及其零值性推论）及其简单应用．§2.1 数列的极限教学内容：数列的极限，包括数列极限的概念，数列极限的N -ε定义，数列极限的几何意义等．教学重点：数列极限的概念及数列极限的证明．教学难点：利用“N -ε”定义证明极限．教法建议：1．建立极限概念时，可先从一些简单直观、容易接受的实例（如“一尺之棰，日取其半”、“刘徽割圆”等）出发，建立数学模型，引入并形成极限概念．2．在此基础上，分三步引入极限定义：第一步，先讲描述性定义；第二步，用距离、绝对值为工具，对描述性定义中的话逐一地抽象，用数学语言（四个不等式）来表示，提炼出数列极限的N -ε定义；第三步，对数列极限的N -ε定义给出几何解释，辅之以草图，对ε、N 等作补充说明，加深印象．3．引入定义以后，可用简单的例子介绍用N -ε定义证明数列极限的论证方法，其关键是“由0>∀ε去找)(εN ”，并总结出使用N -ε方法的四个步骤：1o 0>∀ε，令ε<-||A y n ；2o 据ε<-||A y n ，分析并推出)(εϕ>n （含ε的式子）；3o 取)]([εϕ=N （整数部分）；4o 用N -ε定义叙述并下结论．应给学生指出：前三步是分析找N ；第四个步骤综合才是正式的证明．这种分析加综合的叙述方式的优点是思路清晰，N 不是一眼就能看出来的，所以要先分析找N ，不要把它与综合的证明混淆起来了．4．对于N -ε论证法，不要要求过高，这里只是让学生见识一下就可以了，随着后续内容的学习和多次运用N -ε论证法证题，使学生逐步加深体会、理解并接受．§2.2 函数的极限教学内容：函数的极限，包括当∞→x 时函数)(x f 的极限，当0x x →时函数)(x f 的极限，左极限与右极限，函数极限的性质等．教学重点：当0x x →时函数)(x f 的极限．教学难点：函数极限的δε-定义．教法建议：1．讲授“当∞→x 时函数)(x f 的极限”时，可以从数列极限的N -ε定义出发，结合几何图形，引出当∞→x 时函数)(x f 的极限的M -ε定义．2．通过两个实例引出当0x x →时函数)(x f 的极限的δε-定义，注意讲清在这个过程中变量x 的变化过程以及相应的函数)(x f 的变化过程．3．从0x x →的不同方式引出左极限、右极限的定义．4．教材中关于函数极限的三个定理：定理2.1（当0x x →时函数)(x f 的极限存在的充分必要条件）；定理2.2（局部保号性定理）；定理2.3（局部保不等式性定理）的内容要求学生能熟记，证明只要能接受即可．定理2.1在证明极限不存在时更为方便．注意定理2.2，定理2.3的条件与结论中关于等号的讨论．§2.3 变量的极限，§2.4 无穷大量与无穷小量教学内容：变量的极限，无穷大量，无穷小量，无穷大量与无穷小量的关系，无穷小量的阶等．教学重点：无穷小量的概念及其运算性质．教学难点：无穷小量概念的理解．教法建议：1．在复习∞→n 时数列的极限，∞→x 时函数的极限，0x x →时函数的极限的基础上概括出一般变量极限的定义．讲解过程中要特别注意对“总有那么一个时刻”的概括．这一定义只有对两种变量、三种过程都适用的情况下才能使用．2．对“变量在某一时刻后有界不一定有极限”除课本上的例子外，还可补充以下两例：（1）x x f 1sin )(=在0=x 附近有界，但xx 1sin lim 0→不存在； （2）x x f sin )(=在),(∞+-∞内有界，但x x sin lim ∞→不存在． 3．讲授无穷大量与无穷小量的概念时要注意：无穷大量和无穷小量是相对某一极限过程而言，离开极限过程，不能直接称某一变量为无穷大量或无穷小量；无穷大量和无穷小量都是一个变量，不能认为是一个非常大或非常小的数．4．无穷小量的运算性质：定理2.5, 定理2.6及其推论今后经常用到，要求学生能熟练掌握．5．无穷小量阶的比较，本次课只要学生能接受基本概念，以后再逐步熟悉，并能用于求极限即可．§2.5极限的运算法则教学内容：极限的运算法则，包括极限的加、减、乘、除四则运算法则及其推论，利用变量极限的运算法则求一些变量的极限等．教学重点：利用变量极限的四则运算法则求一些变量的极限．教学难点：极限的加、减运算法则（定理2.8）的证明,求未定式极限的技巧.教法建议：1．极限的四则运算法则及其推论的证明不要求学生掌握，关键是通过本节的例题要求学生能熟练正确地利用变量极限的四则运算法则求一些变量的极限．2．例1，例2是直接利用法则求多项式函数的极限．3．例3利用了无穷小量与无穷大量的关系求分式的极限．4．例4、例5、例6总结出求有理函数极限的规律．5．例7、例8开始接触利用初等变形求未定式极限，这里只要让学生认识∞∞,00两种未定式极限即可，初等变形的各种方法可通过作业、习题课再去逐步学习、掌握．6．例9是分段函数．分段函数在分段点处的极限，要分别计算左、右极限，看它们是否相等．§2.6 两个重要的极限教学内容：极限存在的两边夹准则、单调有界准则，1sin lim 0=→xx x ，e n n n =+∞→)11(lim 或e xx x =+∞→)11(lim ，利用两个重要极限求极限等． 教学重点：两个重要极限及利用两个重要极限求极限．教学难点：两个重要极限的证明及其应用．教法建议：1．本节课中两个准则是为证明两个重要极限服务的．在证明两个重要极限时要向学生讲清楚用准则证明极限的步骤与方法，以便今后能正确运用准则证明极限．2．利用两个重要极限，可以求许多00型三角函数式的极限与∞1型幂指函数式的极限，这两个公式在下一章中建立导数公式等方面也有重要的作用．3．公式 1sin lim 0=→xx x 可推广成 1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ，其中)(x ϕ的单位是弧度，分子、分母中的)(x ϕ必须完全相同，当0x x →时，必须0)(→x ϕ（即为00型未定式）． 4．公式e x x x =+∞→)11(lim 可推广成 e x x x =+→)(10)()](1[lim ϕϕϕ，要注意：括号内的式子必须分离出含1的项，剩下的项)(x ϕ必须与指数部分互为倒数，当0x x →时，必须0)(→x ϕ（即为∞1型幂指未定式）．§2.7 函数的连续性教学内容：函数改变量，函数)(x f y =在点0x 处连续，函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，函数的间断点，连续函数的运算法则，闭区间上连续函数的性质，利用函数连续性求函数的极限．教学重点：函数连续性的概念，利用函数连续性求函数的极限．教学难点：函数的间断点，闭区间上连续函数的性质．教法建议：1．本次课的教学内容中知识点较多，对以后微积分课程内容的学习影响也较大，但大部分知识点仅作课堂讲解，只要求学生了解，而不要求学生会证明，因此，教师在课堂教学中安排要紧凑、重点应突出．2．为了加深对函数连续性概念的理解，可以简要地列出函数在一点处连续的几种等价的定义．（1）用增量定义：0lim 0=∆→∆y x ； （2）用极限定义：)()(lim 00x f x f x x =→； （3）用δε-定义：0>∀ε，0>∃δ，当δ<-||0x x 时，总有ε<-|)()(|0x f x f ； （4）用左、右极限推出：)()(lim )(lim )()(0000x f x f x f x C x f x x x x ==⇔∈-+→→．3．注意区分函数极限与连续性的δε-定义中，不等式δ<-<||0a x 与δ<-||a x 的不同点，前者不管)(x f 在a x =处有无定义，均可研究其极限；而后者连续性要求)(x f 在点a x =处必须有定义．4．分段函数的间断点只可能在分段点处．可增加函数间断点分类的内容．5．初等函数的的连续性、闭区间上连续函数的连续性不要求学生知道证明，但要求学生能熟悉它们的内容，并能运用这些性质证明一些简单的命题．习 题 课教学内容：本章知识系统复习．教学重点：函数极限与连续的概念，求极限的方法．教学难点：求未定式极限的方法．教法建议：1．本次课不仅是对第二章极限与连续内容的系统复习，还应在复习的基础上使学生加深对本章基本概念的理解、能系统清晰地掌握本章有关知识与方法．2．本章所学极限过程有：∞→n ，∞→x ，+∞→x ，-∞→x ，0x x →，0x x +→，0x x -→共七种；各种极限结果有：A （有限数）含0（无穷小），∞（无穷大），∞+与∞-共五种，将它们搭配有35种极限形式．课堂上可适当选择一些用N -ε，δε-定义表示，其余的可留给学生课后去练习，以加深对极限概念的理解．3．求（证）极限的方法很多，第四章还要讲用洛必达法则去求（证）极限．本章概括为用初等方法去求（证）极限，可归为以下几种方法：（1）利用极限的定义和性质求（证）极限；（2）利用两个重要极限求极限；（3）利用两个重要准则求（证）极限；（4）用极限的运算法则和初等变形法求未定式极限；（5）进行无穷小量的比较，用等价无穷小代换或无穷小性质求极限；（6）用函数的连续性求（证）极限．4．两个重要极限以及利用两个重要极限求极限是学习的重点之一，为加深学生对它们的理解，并会熟练运用它们求极限，可补充以下例题随堂练习：0sin lim =∞→x x x ； 1sin sin lim 1=→x x x ； 0sin lim =∞→n n n ； nm nx mx x =→sin sin lim 0； 11sin lim =∞→n n n ； 0sin lim =∞→n x n ； ⎪⎩⎪⎨⎧=∞≠=→.0,,0,sin sin lim 0000x x x n x n x xe =+→ααα10)1(lim ； ab c bx x e x a =++∞→)1(lim ；ab c be a =++→ααα)1(lim 0． 5．未定式极限，有00、∞∞、∞⋅0、∞-∞、∞1、00和0∞等类型，这里00和∞∞是最基本的两种，其它的可经过适当的变换化为这两种未定式极限．本章主要要求学生能熟练掌握用分解因式、乘以共轭因式法求前两种未定式极限．6．一般常用的等价无穷小有：当0→x 时，1~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~-+x e x x x x x x ，2~cos 12x x -， x x αα~1)1(-+， )1,0(ln ~1≠>-a a a x a x ．第 二 章 测 评 题一 选择题1．数列n nn x n cos +=的极限是（ ）．A ．0 B. 1 C. -1 D. 不存在2. 设⎩⎨⎧>+≤-=1,31,)(x x x x x f ,⎩⎨⎧>-≤=1,121,)(3x x x x x g ,则)]([lim 1x g f x →( )． A ．等于1- B. 等于1 C. 等于4 D. 不存在 3. =-+++∞→)2122321(lim 222n n n n n （ ）．A. 0B. ∞C. 21D. 14．设121)(11++=-x x e e x f ，则)(lim 0x f x →（ ）．A ．是∞ B. 不存在 C. 是0 D. 是215．已知0>a ，=--+-+→22lim a x ax a x a x （ ）．A. 1B. 0C.a 21 D. a 21 6. =+--→23)1sin(lim 21x x x x ( )． A. 0 B. ∞ C. 1 D. -17．当0→x 时，αx 与23sin x 为等价无穷小量的充分条件是=α（ ）．A. 2B. 3C. 5D. 68．下列结果错误的是（ ）．A ．e x x x =++∞→2)11(lim B. e xx x =-∞→)11(lim C. e x x x x =+-→22120)1(lim D. e x x x =--→120)1(lim9. 函数⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0,20,2sin )(x x x x x x f 在分段点0=x 处（ ）．A ．函数有定义且极限存在 B. 函数无定义极限亦不存在C. 极限存在且且连续D. 极限存在但不连续10. 函数nn x x x f 211lim )(++=∞→,讨论)(x f 的间断点, 其结论为( )． A. 不存在间断点 B. 存在间断点1-=xC. 存在间断点0=xD. 存在间断点1=x二 填空题11．已知当∞→x 时，b ax x x x f --++=11)(2为无穷小量，则=a ，=b ．12．=-+→xx x x 20tan 3sin )121(lim ． 13. 已知21)1(lim =-∞→x x x a ,则=a ． 14. =-→x x x 111lim ．15．函数65||ln )(2-+=x x x x f 的全部间断点共有 个,它们是 ．16．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<+≤+=x xb x x x a x x f 1,10,10,)(2 在定义区间内连续，则=a ，=b ．三 计算题17．设141151312-+++=n x n ，求n n x ∞→lim ． 18．求)]11()311)(211[(lim 222n n ---∞→ ．19．求)(lim x x x x x --+∞→．20．求xx x x x 530sin 2)cos 1(sin lim+-→．21．求⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim ． 22．求xx x e x 20)(lim +→．23．设tt t x x f 21lim )(⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→，求)2(ln f ． 24．求xx x sin 30)21(lim +→．25．判断函数111)(--=x x ex f 的间断点，并说明间断点的类型．26．求⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=-0,0,00,sin )(12x e x x x x xx f x 的连续区间．四 证明题27．利用夹逼准则证明112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n ． 28．设函数)(x f ，)(x g 在],[b a 上连续，且)()(a g a f >，)()(b g b f <．证明：在),(b a 内至少存在一点ξ，使得)()(ξξg f =成立． 29．证明方程0cos sin =-x x x 在)23,(ππ内至少有一实根． 30．证明方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +．第二章测评题参考答案一 选择题1. B2. D3. C4. B5. C6. D7. D8. B9. D 10. D二 填空题11．1=a ，1-=b 12. 3 13. 2ln =a 14. 1-e 15. 共有3个，它们是6-=x ，0=x ，1=x 16. 1=a ，2=b三 计算题 17．解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121121513131121n n x n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=121121n ， 21lim =∞→n n x ． 18．解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-22211311211n⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n 1111311311211211 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n 11311211 •⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 11311211 ⎝⎛=23•34•45•…•1-n n •⎪⎭⎫+n n 1• ⎝⎛21•32•43•…•12--n n •⎪⎭⎫-n n 121+=n •nn n 211+= ． 所以 2121lim )]11()311)(211[(lim 222=+=---∞→∞→n n nn n ．19．解 )(lim x x x x x --+∞→xx x x x x -++=+∞→2lim111112lim=-++=+∞→xx x ．20．解 因0→x 时，x x ~sin ，33~sin x x ，2~cos 12x x -故 xx x x x 530sin 2)cos 1(sin lim+-→52322limx x x x x ⋅+⋅=→221221lim 0=+=→x x ． 21．解 利用夹逼准则有∑∑∑===++≤++≤++ni ni ni n n ii n n in n n i 1212121即 )1(2)1()2(21212+++≤++≤++∑=n n n n i n n i n n ni而 21)2(21lim=++∞→n n n ， 21)1(2)1(lim 2=+++∞→n n n n n所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n 22212111lim 21=． 22．解 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+→→→x x x xx x x xx x e x e ex e e x 22020201lim 1lim )(lim22021lim e e x e x x e xe x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+=→•412e e =．23．解 x xx tt t t e x t t x x f 22211lim )1(lim )(=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∞→∞→4)2(ln 2ln 2==e f ． 24．解 xx x x xx x x sin 312210sin 30)21(lim )21(lim ⋅⋅→→+=+6616sin 210])21[(lim e e x xx x x ==+=⨯⋅→．25．解 )(x f 在1=x 及0=x 处无定义，是函数的间断点． 因 111lim 11=--→-x x x e，011lim 11=--→+x x x e，所以1=x 处是)(x f 的跳跃间断点．∞=--→111limx x x e， 所以0=x 处是)(x f 的无穷间断点．26．解 0<x 时，)1(sin )(+=x x xx f ，1-≠x ．0=x 时，111sin lim sin lim )(lim 020=+⋅=+=---→→→x x x xx x x f x ox x ， 0lim )(lim 1==-→→++xx x ex f)(lim 0x f x →不存在，所以)(x f 在0=x 处不连续．0>x 时，)(x f 连续． 综上所述，)(x f 在1-=x 及0=x 点不连续．因此，)(x f 的连续区间为),0()0,1()1,(∞+--∞- ．四 证明题27．证 利用夹逼准则有11211122222+<++++++<+n n nn n n nn n而 1lim2=+∞→nn n n ， 11lim2=+∞→n nn所以 112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n ． 28．证 令)()()(x g x f x F -=，则)(x F 在闭区间],[b a 上连续，且0)()()(>-=a g a f a F ，0)()()(<-=b g b f b F ．由介值定理可知，在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(=ξF ，即0)()(=-ξξg f ，于是有)()(ξξg f =．29．证 令x x x x f cos sin )(-=，则)(x f 在闭区间]23,[ππ上连续，且0cos sin )(>=-=πππππf ，0123cos 2323sin )23(<-=-=ππππf ． 由介值定理，至少存在一点)23,(ππξ∈，使0)(=ξf ，即方程0cos sin =-x x x 在)23,(ππ内至少有一个实根．30．证 令x b x a x f -+=sin )(，则)(x f 在),(∞+-∞上连续，且0)0(>=b f ，0]1)[sin()()sin()(≤-+=+-++=+b a a b a b b a a b a f ．当01)sin(=-+b a 时，b a +就是方程的一个正根．当01)sin(<-+b a 时，0)(<+b a f ，由介值定理，至少存在一点),0(b a +∈ξ，使0)(=ξf ．综上所述，方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个不超过b a +的正根．。